115年高中運動績優甄試-數學詳解

 115 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試 

說明：單選題共 40 題，請在「答案卡」上劃記。每題 2.5 分，共 100 分。

解答:$$(A) 2-3=-1\lt0\\ (B){1\over 3}-{1\over 2} ={2\over 6}-{3\over 6} =-{1\over 6}\lt 0\\ (C)\sqrt2-\sqrt 3={(\sqrt 2-\sqrt 3)(\sqrt 2+\sqrt 3) \over \sqrt 2+\sqrt 3}={-1\over \sqrt 2+\sqrt 3} \lt 0 \\(D) \log {1\over 10} =\log 10^{-1}=-1 \lt 0\\(E) 0.\bar 3-0.\overline{32} ={3\over 9}-{32\over 99} ={33\over 99}-{32\over 99}={1\over 99} \gt 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答:$$x-{1\over x}=3 \Rightarrow \left( x-{1\over x} \right)^2=9\Rightarrow x^2-2+{1\over x^2}=9 \Rightarrow x^2+{1\over x^2}=11，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$2026^0 \times 2026^{1/3}\times 2026^{2/3}= 2026^{0+1/3+2/3}=2026^1=2026，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$L=10^{\log 115} \Rightarrow \log L=\log 115\cdot \log 10=\log 115 \Rightarrow L=115，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:

$$利用長除法(如上圖)可得餘式為2x+7，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$f(x)= x^2-6x+10 =(x-3)^2+1 \ge 1 \Rightarrow 最小值1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$圖形為右上左下\Rightarrow x^3係數為正值\Rightarrow 僅(C),(D),(E)符合\\ 圖形與x軸交於三點\Rightarrow y=0有相異三根\Rightarrow 僅(D) y=x^3-x=x(x-1)(x+1)=0有三相異根\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$\cases{\overline{GH}, \overline{HA}斜率為正值\\ \overline{AB}, \overline{BC}斜率為負值\\ \overline{AE}斜率為0}, 又圓心角\angle GOH=\angle AOH={360^\circ\over 8}=45^\circ \\\Rightarrow \angle OGH=OAH ={180^\circ-45^\circ\over 2}=67.5^\circ \Rightarrow \cases{\overline{GH}與水平線的夾角為90^\circ-67.5^\circ=22.5^\circ \\ \overline{HA}與水平線的夾角=\angle OAH=67.5^\circ} \\ \Rightarrow \overline{HA}的斜率\gt \overline{GH}的斜率，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$y=0代入直線L \Rightarrow 2x+6=0 \Rightarrow x=-3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{2026x-2025y=2024\\ 2026x-2025y=2023} 為兩平行線\Rightarrow 無交點，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答:$$f(x,y)=3x-2y+6 \Rightarrow \cases{f(0,0)=6 \not \le 0\\ f(2,2)=8\not \le 0 \\ f(-3,1)=-5\le 0\\ f(-3,-2)=1 \not \le 0\\ f(2026,0) =3\cdot 2026+6\not \le 0}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$r^2=5 \Rightarrow 半徑r=\sqrt 5，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$假設\cases{圓心O(0,0)\\ A(4,3)} \Rightarrow \overline{OA}斜率m={3\over 4} \Rightarrow 切線與\overline{OA}垂直\Rightarrow 切線斜率=-{4\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$7+11+15+\cdots +39 \Rightarrow \cases{首項a_1=7\\ 公差d=11-7=4} \Rightarrow S_9={9(2\cdot 7+(9-1)\cdot 4) \over 2} =9\times 23=207\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\\hline1& 2& 3& 5& 8&13&8+13=21&13+21=34 \end{array}，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答:$${5\times 10+4\times 8+3\times 6+2\times 5+1\times 1\over 10+8+6+5+1} ={111\over 30} =3.7，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$標準差越小代表分布越集中，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$y-4=0.8\times {\sqrt 2\over \sqrt 3}(x-6) 通過(6,4)，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答:$$兩科都及格最多有 \min\{25,20\}=20，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$${6!\over 4! 2!} =15，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$C^5_2= {5!\over 2!3!}=10，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$想像成將這10顆球隨機排成一列,甲拿走第 1 顆球,乙拿走第 2 顆球,丙拿走第 3 顆球,丁拿走第 4 顆球\\ 每個人拿到紅球的機率都是{紅球數\over 全部} ={6\over 10}，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答:$$期望值={1\over 5}(1+2+3+4+5)={15\over 5}=3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\overline{AB}=\overline{AD} \Rightarrow \angle ADB= \angle ABD=\theta \Rightarrow \angle CAB=\angle ADB+\angle ABD=2\theta=45^\circ \\ \Rightarrow \angle BDA=\theta={45^\circ\over 2}=22.5^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\overline{AB}^2= \overline{AC}^2+ \overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot \overline{BC} \cos \angle C =3^2+2^2-2\cdot 3\cdot 2\cdot {1\over 2} =7 \Rightarrow \overline{AB}=\sqrt7，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$正\triangle面積={\sqrt 3\over 4}\times 邊長^2={\sqrt 3\over 4}\times (2\sqrt 3)^2=3\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cos \pi=\cos 180^\circ =-1，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\sin x的週期為2\pi \Rightarrow \sin {x\over 2}的週期為2\pi\times 2=4\pi，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答:$$f(x)=\log x為嚴格遞增函數 \Rightarrow \overline{PQ}斜率\gt 0，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\log 4+ \log 75-\log 3=\log  {4\times 75\over 3} =\log 100=2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$(3,4)=x(-1,2)+y(2,1)=(-x+2y, 2x+y) \Rightarrow \cases{-x+2y=3\\ 2x+y=4} \Rightarrow \cases{x=1\\ y=2} \Rightarrow x+y=3\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cos \angle A=1\cdot 1\cdot \cos 60^\circ =\cos 60^\circ ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\vec a\bot \vec b \Rightarrow \vec a\cdot \vec b=0 \Rightarrow 2(t-1)-3\times 4=2t-14=0 \Rightarrow t=7，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

解答:$$正立方體八個頂點坐標\cases{A(0,0,0)\\ B(2,0,0) \\C(2,2,0)\\ D(0,2,0) \\E(0,0,2) \\ F(2,0,2) \\G(2,2,2)\\ H(0,2,2)} \Rightarrow 最遠兩點距離\overline{AG} =\sqrt{2^2+2^2+2^2}= 2\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$(a,b,c)在x軸的投影點為(a,0,0)，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$${X與Y皆發生的機率\over X發生的機率}= {P(X\cap Y)\over P(X)}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$${女生戴眼鏡的比率\over 男生戴眼鏡的比率+女生戴眼鏡的比率} ={40\% \times 40\% \over 60\%\times 60\%+40\% \times 40\%} ={16\over 36+16}= {4\over 13}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$2 \begin{bmatrix}x& y\\115& 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2x& 2y\\ 230& 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2026& 66\\ k& w \end{bmatrix} \Rightarrow 2x=2026 \Rightarrow x=1013，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$P^2 = \begin{bmatrix}1& 1\\2& 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& 1\\2& 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3& 3\\ 6& 6 \end{bmatrix} =3 \begin{bmatrix}1& 1\\2& 2 \end{bmatrix} \Rightarrow m=3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{3x-2y=4\\ 2x+5y=9} \Rightarrow \begin{bmatrix}3& -2\\2& 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}4\\9 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3& -2\\2& 5 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}4\\9 \end{bmatrix}，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

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