115年消防三等-微積分詳解

115年一般警察人員考試

考 試 別：一般警察人員考試
等 別：三等考試
類科組別：消防警察人員
科 目：微積分

解答:$$對所有實數x而言,\cases{(x+1)^2 \ge0\\ (x-6)^4\ge 0}，因此只需考慮(x-3)^5\ge 0 \Rightarrow x\ge 3\\ \Rightarrow 在區間\bbox[red, 2pt]{[3, \infty)}, f(x)是遞增的$$

解答:$$\textbf{1. }假設x_1,x_2\in [0,3], 使得f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow 9-x_1^2=9-x_2^2 \Rightarrow x_1^2= x_2^2\\ \quad 由於x_1,x_2均在區間[0,3]內，因此x_1=x_2 \Rightarrow f(x)是一對一函數, \bbox[red, 2pt]{故得證} \\ \textbf{2. }y=9-x^2 \Rightarrow x^2= 9-y \Rightarrow x=\sqrt{9-y} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{f^{-1}(x)=\sqrt{9-x}} \\  \quad  x\in [0,3] \Rightarrow \cases{f(0)=9\\f(3)=0} \Rightarrow f(x)的值域為[0,9] \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{f^{-1}的定義域為[0,9]\\ f^{-1}的值域為[0,3]}} \\ \textbf{3. }f^{-1}(x)=\sqrt{9-x } \Rightarrow (f^{-1})'(x) ={- 1\over 2\sqrt{9-x }} \Rightarrow (f^{-1})'(8) ={-1\over 2\sqrt{9-8 }} = \bbox[red, 2pt]{-{1\over 2}}$$

解答:$$\bbox[cyan,2pt]{題目有誤}: g(x)應該是f(x)\\ \textbf{1. }\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} {x^2+x-6\over |x-2|} =\lim_{x\to 2^+} {(x+3)(x-2) \over x-2}=\lim_{x\to 2^+}(x+3)= \bbox[red, 2pt]5 \\ \textbf{2. }\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} {x^2+x-6\over |x-2|} =\lim_{x\to 2^-} {(x+3)(x-2) \over 2-x}=\lim_{x\to 2^-}-(x+3)= \bbox[red, 2pt]{-5} \\ \textbf{3. } \lim_{x\to 2^+}f(x) \ne \lim_{x\to 2^-}f(x) \Rightarrow \lim_{x\to 2}f(x) \bbox[red, 2pt]{不存在}$$

解答:$$ g'(x)=\lim_{h\to 0} {g(x+h)-g(x) \over h} =\lim_{h\to 0} {\sqrt{9-(x+h)}-\sqrt{9-x}\over h}\\  =\lim_{h\to 0} {(\sqrt{9-(x+h)}-\sqrt{9-x})(\sqrt{9-(x+h)}+\sqrt{9-x})\over h ((\sqrt{9-(x+h)}+ \sqrt{9-x}))}  =\lim_{h\to 0} {-h\over h (\sqrt{9-x-h}+\sqrt{9-x})} \\  =\lim_{h\to 0} {-1\over  (\sqrt{9-x-h}+\sqrt{9-x})} =-{1\over \sqrt{9-x}+\sqrt{9-x}} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{g'(x)=-{1\over 2\sqrt{9-x}}} \\  g(x)=\sqrt{9-x} \Rightarrow 9-x \ge 0\Rightarrow  x\le 9 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{g(x)定義域為 (-\infty, 9]} \\g'(x)= -{1\over 2\sqrt{9-x}} \Rightarrow 9-x\gt 0 \Rightarrow x\lt 9 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{g'(x)的定義域為(-\infty,9)}$$

解答:

$$e^x=xe^x\Rightarrow e^x(x-1)=0 \Rightarrow x=1 \\又e^0 =1 \gt 0\cdot e^0 \Rightarrow y_1\ge y_2, x\in [0,1] \Rightarrow 所圍面積=\int_0^1 (e^x-xe^x)\,dx = \left. \left[ 2e^x-xe^x \right] \right|_0^1 \\= \bbox[red, 2pt]{e-2}$$

解答:$$\textbf{1. }y(x)=x^3-12x+12 \Rightarrow y'(x)=3x^2-12 =3(x+2)(x-2) \Rightarrow \begin{cases} y'(x)\ge 0, & x\ge 2, x\le -2\\y'(x)\le 0, & -2\le x\le 2\end{cases} \\\quad \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{遞增區間:(-\infty, -2] \cup [2, \infty) \\ 遞減區間:[-2,2]}} \\\textbf{2. }\cases{y(-2)=28 \\y(2)=-4} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{相對極大值:28\\ 相對極小值:-4}} \\ \textbf{3. }y''(x)=6x=0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow \cases{ x\ge 0\Rightarrow  y''(x)\ge 0\\ x\le 0\Rightarrow y''(x)\le 0\\ y(0)=12} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{上凹區間:[0,\infty)\\ 下凹區間:(-\infty, 0]\\ 反曲點:(0,12)}}$$

解答:$$\textbf{1. } s(t)=t^3-3t \Rightarrow v(t) =s'(t)=3t^2-3 \Rightarrow a(t)=v'(t)=6t \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{速度函數v(t)=3t^2-3 \\ 加速度函數a(t)= 6t}} \\ \textbf{2. }v(t)=0 \Rightarrow 3t^2-3=0 \Rightarrow 3(t^2-1)=0 \Rightarrow t= \pm 1 \Rightarrow \cases{a(1)=6\\ a(-1)=-6 } \\\quad \Rightarrow 速度為0時的加速度為\bbox[red, 2pt]{6或-6}$$

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