115年高雄聯合轉學考-升高三-數學B詳解

高雄區公立高中115學年度聯合招考轉學生《升高三數學 B》科試卷

一、 單選題(60 分)：

解答:$${\pi\over 2} \lt 2\lt {2\pi\over 3} \Rightarrow  \sin(\frac{2\pi}{3}) < \sin(2) < \sin(\frac{\pi}{2}) \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} < \sin(2) < 1 ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\log x=5+\log 7.456 =\log 10^5+ \log 7.456 =\log (10^5\times 7.456) =\log 745600 \\ \Rightarrow x=745600，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$ AB \parallel DC \Rightarrow  \frac{\overline{VD}}{\overline{VA}} = \frac{\overline{VC}}{\overline{VB}} \Rightarrow  \frac{4}{5} = \frac{\overline{VC}}{4} \Rightarrow \overline{VC}={16\over 5} \\ \Rightarrow  \overline{BC} = \overline{VB} - \overline{VC}  = 4 - \frac{16}{5}  = \frac{4}{5} ，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{L_1: 2x+y=3\\ L_2: 2x-y=7} \Rightarrow \cases{L_1方向向量\vec u=(1,-2) \\L_2方向向量\vec v=(1,2) } \Rightarrow \cos \theta ={\vec u\cdot \vec v \over |\vec u||\vec v|} ={1-4\over \sqrt{5} \cdot \sqrt 5}=-{3\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$A= \begin{bmatrix}1& 1\\3& 4 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2= \begin{bmatrix}4& 5\\15 & 19 \end{bmatrix}\\B=I+A +A^{-1} \Rightarrow BA=(I+A+A^{-1})A=A+A^2+I =\begin{bmatrix}1& 1\\3& 4 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}4& 5\\15 & 19 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}1&0\\0& 1 \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}6& 6\\18& 24 \end{bmatrix}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$(A)\times: 由圖形可知y(0)\lt 2,因此y=\sin x+2不符此要求\\(C) \times: y=2\sin(x+2)+2 不經過(-2,0) \\(D)\times: 由圖形可知y(2)\lt 0,因此y=2\sin(x-2)不符此要求\\故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$第一次取出一顆紅球後 \cases{剩下的紅球數量: 3 - 1 = 2 顆\\ 剩下的白球數量:2 顆},\\此時進行第二次抽取，要抽中紅球的機率={2\over 2+2}={1\over 2},故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{ P  點位於北緯  60^\circ \Rightarrow  P 與 xy 平面的夾角為 60^\circ \\P 點位於東經 30^\circ\Rightarrow  P 在 xy 平面上的投影線段與 x 軸正向的夾角為 30^\circ} \\ \Rightarrow z=r\sin 60^\circ=4\times {\sqrt 3\over 2}=2\sqrt 3 \Rightarrow  P  在  xy  平面上的投影距離r_{xy} =r\cos 60^\circ=4\times{1\over 2}=2 \\ \Rightarrow \cases{x = r_{xy} \cos(30^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \\  y = r_{xy} \sin(30^\circ) = 2 \times \frac{1}{2} = 1 } \Rightarrow P(\sqrt 3,1,2\sqrt 3), 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$ f(x) = 10 \times (\frac{1}{2})^{x/10}  \Rightarrow 原本濃度f(0)=10 \Rightarrow  10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{x/10} = 5 \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{x/10}={1\over 2} \\ \Rightarrow {x\over 10}=1 \Rightarrow x=10,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\log 3+\log k= 2\log 6 \Rightarrow \log (3k)=\log 6^2 \Rightarrow 3k=36 \Rightarrow k=12，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$(A)\times: x=0 \Rightarrow \cases{(0.7)^0=1\\ (0.49)^0=1} \Rightarrow (0.7)^{x^2} \not \gt (0.49)^x \\ (B)\bigcirc: x=1\Rightarrow \cases{(0.7)^{1} =0.7\\ (0.49)^1=0.49} \Rightarrow (0.7)^{x^2}   \gt (0.49)^x \\(C) \times: x=2 \Rightarrow  (0.7)^{4} =(0.49)^2  \Rightarrow (0.7)^{x^2} \not \gt (0.49)^x  \\(D)\times: x=3 \Rightarrow \cases{(0.7)^9 =((0.7)^2)^4\cdot 0.7=0.49^4 \cdot 0.7\\ (0.49)^3} \Rightarrow (0.7)^{x^2}   \lt (0.49)^x\\ 故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cos 60^\circ ={\vec a\cdot \vec b\over |\vec a||\vec b|} \Rightarrow {1\over 2}={\vec a\cdot \vec b \over 2\cdot 3} \Rightarrow \vec a\cdot \vec b=3 \Rightarrow \left|3\vec a-2\vec b \right|^2 =(3\vec a-2\vec b) \cdot (3\vec a-2\vec b) \\=9|\vec a|^2-12\vec a\cdot \vec b+4|\vec b|^2=36-36+36 =36 \Rightarrow \left|3\vec a-2\vec b \right|=6, 故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{ P 到 x 軸的距離為 \sqrt{b^2 + c^2} = 5\Rightarrow  b^2 + c^2 = 25\\ P 到 y 軸的距離為 \sqrt{a^2 + c^2} = 4\Rightarrow a^2 + c^2 = 16 \\P 到 z 軸的距離為 \sqrt{a^2 + b^2} = 3 \Rightarrow a^2 + b^2 = 9   } \Rightarrow 三式相加:2(a^2+b^2+c^2)=50 \\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2=25 \Rightarrow  \overline{OP} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} =5, 故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$ P(\text{恰一人解出}) = P(\text{甲解出}) \times P(\text{乙沒解出}) + P(\text{甲沒解出}) \times P(\text{乙解出}) \\=  (\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) ={7\over 12}, 故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$旋轉出來的圖形為z=0, 為一平面，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

二、 多選題(40 分)：

解答:$$L: 6x - 4y + 7 = 0 \Rightarrow 法向量為(6,-4)或與其平行的向量，故選\bbox[red, 2pt]{(AB)}$$

解答:$$(A)\times:直線  AB  與直線  IJ  共同交會於點  I \Rightarrow 非歪斜\\ (B)\times: 直線 EF 與直線 IJ 皆位於同一個平面 ABFE 上，且兩者方向不同 \Rightarrow 非歪斜\\ (C)\bigcirc: 直線 GH 位於對側的平面 DCGH 上，且平面 DCGH 與平面 ABFE 互相平行 \Rightarrow 歪斜\\ (D) \times: 直線LM與直線IJ平行,非歪斜\\ (E)\bigcirc: 直線 DH 位於平面 DCGH 上的一條垂直邊, 由於所在平面與平面 ABFE 平行，\\\qquad 直線 DH 與直線 IJ 不會相交。同時，直線 DH 為垂直走向，\\\qquad 而直線 IJ 為平面 ABFE 上的斜向線段，兩者不平行 \Rightarrow 歪斜\\ 故選\bbox[red, 2pt]{(CE)}$$

解答:$$(A)\times: A,B獨立\Rightarrow P(A\cap B)= P(A)\times P(B)={1\over 3}\times {2\over 3}={2\over 9} \ne 0 \Rightarrow 非互斥 \\(B)\times: 由(A)知P(A\cap B)= {2\over 9} \ne {1\over 3} \\(C)\bigcirc: A,B獨立\Rightarrow A,B'獨立\Rightarrow P(A\cap B')=P(A)\times P(B')={1\over 3} \times \left( 1-{2\over 3} \right) ={1\over 9} \\(D)\times:A,B獨立\Rightarrow A',B獨立\Rightarrow P(A'\cap B)=P(A')\times P(B)= \left( 1-{1\over 3} \right)\times {2\over 3}={4\over 9} \ne {2\over 9} \\(E) \bigcirc: A,B獨立\Rightarrow A',B'獨立\Rightarrow P(A' \cap B')=P(A')\times P(B')=\left( 1-{1\over 3} \right)\times\left( 1-{2\over 3} \right) ={2\over 9}\\ 故選\bbox[red, 2pt]{(CE)}$$

解答:$$(A)\times: \cases{A(0,4) \\B(3,0)} \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(3-0,0-4)=(3,-4) \ne (-3,4) \\(B) \bigcirc: \cases{A(0,4) \\C(5,5)} \Rightarrow \overrightarrow{AC}=(5-0,5-4)=(5,1) \\(C)\times: 正射影\overrightarrow{AH}  = \left( \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}}{\vert{}\overrightarrow{AB} \vert{}^2} \right) \overrightarrow{AB} = \frac{11}{25} (3, -4) = \left( \frac{33}{25}, -\frac{44}{25} \right) \\(D)\bigcirc: 見(C) \\(E)\bigcirc: H= \left( \frac{33}{25}, -\frac{44}{25} \right)+A= \left( \frac{33}{25},  \frac{56}{25} \right) \\故選\bbox[red, 2pt]{(BDE)}$$

解答:$$(A)\bigcirc: \log x為嚴格遞增函數 \Rightarrow 若t\gt 0, t\log x仍為嚴格遞增函數 \\(B)\times: \log x為凹向下\Rightarrow t\log x仍為凹向下 \\(C)\bigcirc: f(1)=t\log 1=0 \Rightarrow (1,0)在y=t\log x圖形上 \\(D)\times: 鉛直線x=-1與y=t\log x不相交\\ (E)\times: 對數函數的定義域為 x > 0 \Rightarrow 不會通過(0,t) \\ 故選\bbox[red, 2pt]{(AC)}$$

解答:$$(A)\times: 顯然 CD \parallel AB ,非歪斜\\ (B) \bigcirc: 直線 CG 與直線 $AB$ 分別位於不同的平面且不相交,故歪斜\\ (C) \bigcirc: 兩線不相交,且不平行,故歪斜\\ (D)\times: 兩線相交於A點,非歪斜 \\(E)\times: 兩線平行,非歪斜\\ 故選\bbox[red, 2pt]{(BC)}$$

解答:$$\triangle NBC \sim \triangle NOP \Rightarrow  \frac{\overline{BC}}{\overline{OP}} = \frac{\overline{CN}}{\overline{PN}} = \frac{\overline{CN}}{\overline{PC} + \overline{CN}} \Rightarrow  \overline{BC} =  \overline{OP} \times \frac{1}{\frac{\overline{PC}}{\overline{CN}} + 1}  \\(A) \bigcirc:當\overline{CN} 愈遠(越大)，分母中的 \frac{\overline{PC}}{\overline{CN}}會變小\\\quad 因此，整體分式的值會變大，\overline{BC} 的長度隨之增加，代表 B 點高度愈高 \\(B)\bigcirc: 當 N 點與畫布的距離 \overline{CN} 趨近於無窮遠時， \frac{\overline{PC}}{\overline{CN}} 會趨近於 0\\ \qquad 此時  \overline{BC} = \overline{OP} \times \frac{1}{0 + 1} = \overline{OP} 。由於畫布上的投影高度  B  點與畫家眼睛高度  O  點完全相同，\\\qquad 視線  OB  會與水平地面平行 \\ (C)\times: \overline{PC}越大, \overline{BC}就越小，B點變低\\(D) \bigcirc:\overline{PC}越小, \overline{BC}就越大，B點變高\\ (E)\times:  \frac{\overline{BC}}{\overline{OP}} = \frac{\overline{CN}}{\overline{PN}} = \frac{\overline{CN}}{\overline{PC} + \overline{CN}} \ne {\overline{CN} \over \overline{PC}} \\ 故選\bbox[red, 2pt]{(ABD)}$$

解答:$$(A)\bigcirc: A 的行數為 2，B 的列數為 2。因為 2 = 2，所以乘積有意義\\(B)\times: B 的行數為 3，A 的列數為 2。因為 3 \neq 2，所以乘積無意義\\(C) \times:  A 的行數為 2， C  的列數為 3。因為 2 \neq 3，所以乘積無意義\\(D)\bigcirc:B 的行數為 3， C 的列數為 3。因為 3 = 3，所以乘積有意義 \\(E)\bigcirc: C 的行數為 2，B 的列數為 2。因為 $2 = 2，所以乘積有意義\\ 故選\bbox[red, 2pt]{(ADE)}$$

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