96學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分:選擇題一、單選題
解:
z=cos2π7+isin2π7⇒|1−z|=|1−cos2π7−isin2π7|=√(1−cos2π7)2+(sin2π7)2=√1−2cos2π7+cos22π7+sin22π7=√2−2cos2π7=√2−2(2cos2π7−1)=√4−4cos2π7=√4(1−cos2π7)=√4sin2π7=2sinπ7,故選(1)
解:
解:(0,0)10次移動→(5+5log2,5+152log2)⇒{5+5log2=loga1+loga3+⋯+loga95+152log2=loga2+loga4+⋯+loga10⇒{5+5log2=log(a1a3⋯a9)=log(a1⋅a1r2⋯a1r8)=log(a51r20)=5loga1+20logr5+152log2=log(a2a4⋯a10)=log(a1r⋅a1r3⋯a1r9)=log(a51r25)=5loga1+25logr⇒{5+5log2=5loga1+20logr⋯(1)5+152log2=5loga1+25logr⋯(2)(2)−(1)⟹52log2=5logr⇒r5=25/2⇒r=√2代回(1)⇒5+5log2=5loga1+10log2⇒loga1=1−log2⇒a1=5⇒(a1,r)=(5,√2),故選(5)
二、多選題
解:(1)◯:兩次考試成績適合散佈圖(2)×:相關係數0.016非常接近0,也就是兩者幾乎不相關,不適合用直線來表達兩科成績的關連性(3)◯:相關係數σ(x+5,y+5)σ(x+5)σ(y+5)=σ(x,y)σ(x)σ(y)=0.016(4)◯:相關係數σ(100x,100y)σ(100x)σ(100y)=1002σ(x,y)100σ(x)100σ(y)=σ(x,y)σ(x)σ(y)=0.016(5)◯:相關係數σ(x−ˉxsx,y−ˉysy)σ(x−ˉxsx)σ(y−ˉysy)=σ(xsx,ysy)σ(xsx)σ(ysy)=1sxsyσ(x,y)1sxsyσ(x)σ(y)=σ(x,y)σ(x)σ(y)=0.016,故選(1,3,4,5)
{x−32=y−53⋯(1)y−53=z−4⋯(2)xa=z−2⋯(3)y+13=z−2⋯(4),由(2)⇒y−53+2=(z−4)+2⇒y+13=z−2⇒(2)≡(4)由(1)及(2)⇒(x,y,z)=(2t+3,3t+5,t+4),t∈R(1)×:將(2t+3,3t+5,t+4)代入(3)⇒2t+3a=t+2⇒a=2t+3t+2=2−1t+2≠2,∀t∈R(2)◯:將(2t+3,3t+5,t+4)代入(3)⇒t=2a−32−a有唯一解⇒(x,y,z)有唯一解(3)◯:{x−32=y−53xa=z−2⇒(x,y,z)=(2t+3,3t+5,2t+3a+2),t∈R⇒有無限多組解(4)×:{xa=z−2y+13=z−2⇒(x,y,z)=(at,3t−1,t+2),t∈R⇒有無限多組解(5)◯:{x−32=y−53y−53=z−4⇒(x,y,z)=(2t+3,3t+5,t+4),t∈R⇒有無限多組解故選(2,3,5)
解:{A=[100−1]⇒A2=[1001]=IB=[1/2−√3/2√3/21/2]=[cosπ/3−sinπ/3sinπ/3cosπ/3]⇒逆時針旋轉60∘⇒B6=I(1)×:{AB=[100−1][1/2−√3/2√3/21/2]=[1/2−√3/2−√3/2−1/2]BA=[1/2−√3/2√3/21/2][100−1]=[1/2√3/2√3/2−1/2]⇒AB≠BA(2)◯:{A2B=IB=BBA2=BI=B⇒A2B=BA2(3)×:{A11B3=(A2)5A再旋轉180∘=A[cosπ−sinπsinπcosπ]=[100−1][−100−1]=[−1001]B6A5=I(A2)2A=IA=A=[100−1]⇒A11B3≠B6A5(4)◯:{AB12=A(B6)2=AI=AA7=(A2)3A=IA=A⇒AB12=A7(5)◯:(ABA)15=(ABA)(ABA)⋯(ABA)=ABA2BA2B⋯A2BA=ABIBIB⋯IBA=AB15A故選(2,4,5)
解:(1)×:{limx→∞y=∞limx→−∞y=−∞⇒圖形沒有最高點,也沒有最低點(2)×:y′=0⇒3x2+2=0⇒無實數解,即無水平切線(3)◯:y′=3x2+2>0⇒圖形為嚴格遞增⇒圖形與任一水平線只有一個交點(4)◯:(a,b)在圖形上⇒b=a3+2a+3⇒−b=−a3−2a−3⇒−b+6=(−a)3+2(−a)+3⇒(−a,−b+6)在圖形上(5)◯:面積=∫x=1x=0x3+2x+3dx=[14x4+x2+3x]|10=14+1+3>4,故選(3,4,5)
解:
令{A(−2,7)B(−1,6)圓心O⇒直線¯OB的方向向量為(4,3)⇒直線¯OB方程式:x+14=y−63;O在直線¯OB上⇒令O(4t−1,3t+6)⇒¯OA=¯OB⇒√(4t+1)2+(3t−1)2=√(4t)2+(3t)2⇒2t+2=0⇒t=−1⇒O(−5,3)⇒圓半徑r=¯OB=√(−4)2+(−3)2=5⇒圓方程式:(x+5)2+(y−3)2=52⇒x2+y2+10x−6y+9=0⇒{a=10b=−6c=9
解:
假設底面正方形邊長為x,紙盒的高為y,見上圖;由題意知:{灰色面積=4xy+x2=432容量=x2y,由算機不等式x2+2xy+2xy3≥3√x2×2xy×2xy⇒x2+4xy3≥3√4x4y2⇒4323≥3√4x4y2⇒1443≥4x4y2⇒√14434≥x2y⇒864≥x2y⇒容量最大為864,此時x2=2xy,即x=2y⇒容量=x2y=4y2⋅y=4y3=864⇒y=6⇒x=2×6=12
假設底面正方形邊長為x,紙盒的高為y,見上圖;由題意知:{灰色面積=4xy+x2=432容量=x2y,由算機不等式x2+2xy+2xy3≥3√x2×2xy×2xy⇒x2+4xy3≥3√4x4y2⇒4323≥3√4x4y2⇒1443≥4x4y2⇒√14434≥x2y⇒864≥x2y⇒容量最大為864,此時x2=2xy,即x=2y⇒容量=x2y=4y2⋅y=4y3=864⇒y=6⇒x=2×6=12
解:
(1)f(x)=x3−6x2−x+30=(x−3)(x−5)(x+2)⇒f(x)=0的解為x=3,5,−2(2)cos∠ACB=a2+b2−¯AB22ab⇒−12=9+25−¯AB230⇒¯AB=7⇒¯DE=¯AE+¯BD−¯AB=5+3−7=1⇒△CDE△ABC=¯DE¯AB=17⇒△CDE=17△ABC=17×12ׯBCׯACsin∠ACB=114×15×√32=1528√3
解:(1){A(−2,7,15)B(1,16,3)C(10,7,3)⇒{→AB=(3,9,−12)→AC=(12,0,−12)⇒→n=→AB×→AC=(−108,−108,−108)⇒過A且法向量為→n的平面方程式:−108(x+2)−108(y−7)−108(z−15)=0⇒x+y+z=20(2)外心P(a,b,c)⇒{¯PA=¯PB=¯PCP在△ABC平面上⇒{(a+2)2+(b−7)2+(c−15)2=(a−1)2+(b−16)2+(c−3)2(a−1)2+(b−16)2+(c−3)2=(a−10)2+(b−7)2+(c−3)2a+b+c=20⇒{a+3b−4c=−2a−b=−6a+b+c=20⇒(a,b,c)=(3,9,8)
-- END (僅供參考) --
第五題的詳解應該有錯喔 Q(x)必是四次式
回覆刪除且係數均為正數,(2)Q(x)的常數項不可能為-4
謝謝提醒,已修正替換另一個例子!
刪除算幾不等式 不是柯西不等式
回覆刪除選擇C
刪除已修訂, 謝謝!
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