99學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$x=1代入\Rightarrow 3+2+1=(a+1)+(b-1)+(c+1)+(d-3)+(e+4)\\ \Rightarrow  6=2+a+b+c+d+e  \Rightarrow a+b+c+d+e=4，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$\overrightarrow{AB}=(1-2,3-1)=(-1,2),  \overrightarrow{AC}=(4-2,k-1)=(2,k-1)\\ \overline{AB}垂直\overline{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow , (-1,2)\cdot (2,k-1)=-2+2k-2=0\\ \Rightarrow k=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$p=2^4=16, q=2^3=8\Rightarrow p-q=16-8=8，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$\sum _{ k=1 }^{ 30 }{ \left( 3k-2 \right)  } =3\sum _{ k=1 }^{ 30 }{ k } -\sum _{ k=1 }^{ 30 }{ 2 } =3\times \frac { 31\times 30 }{ 2 } -2\times 30\\ =1395-60=1335，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $${ \left( \sin { m\pi  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  }  \right)  }^{ 2 }=0^{ 2 }+0^2=0，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$\overline{AB}=\sqrt{3^2+4^2}=5；令\overline{AC}=x, 則\overline{BC}=\frac{2x}{3}\\  \Rightarrow  \overline{AB}=\overline{AC}+\overline{BC}=x+\frac{2x}{3}=5 \Rightarrow  x=3，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$A\left(\sec{\theta},\tan{\theta}\right)在第四象限\Rightarrow  \sec{\theta}>0及\tan{\theta}<0\\  \Rightarrow  \cos{\theta}>0及\sin{\theta}<0\Rightarrow  \theta在第四象限，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$ 。

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解： $$\sin{\theta}+\cos{\theta}=\sqrt{2}\Rightarrow{\left(\sin{\theta}+\cos{\theta}\right)}^2= 2\\ \Rightarrow  1+2\sin{\theta}\cos{\theta}=2\Rightarrow  \sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{1}{\sin{\theta}}+\frac{1}{\cos{\theta}}=\frac{\sin{\theta}+\cos{\theta}}{\sin{\theta}\cos{\theta}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$\sin{A}:\sin{B}:\sin{C}=1:\sqrt{3}:2=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:1\\ \Rightarrow \sin{A}+\cos{B}+\sin{C}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解：

$$D在\overline{AB}上，且\overline{AB}\bot\overline{CD}如上圖\\\Rightarrow  \overline{CD}= \overline{AC}\times\sin{60°}=3, \overline{AD}=\overline{AC}\times\cos{60°}=\sqrt{3}\\  {\overline{BD}}^2= {\overline{BC}}^2- {\overline{CD}}^2\Rightarrow   \overline{BD}=3\sqrt{3}\Rightarrow  \triangle  ABC=\overline{AB}\times\overline{DC}\div  2 \\=4\sqrt{3}\times 3\div 2 = 6\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$f\left( x \right) =g\left( x \right) { \left( x-1 \right)  }^{ 2 }+x+1\Rightarrow f\left( 1 \right) =1+1=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解：
2x+y=20與x軸y軸的交點分別為(10,0)及(0,20)，兩點代入x+y+6可得16,26，所以最小值為16，故選(A)。

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解： $$\begin{cases} L_{ 2 }:2x-3y-13=0 \\ L_{ 3 }:x+y+1=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x-3y-13=0 \\ 2x+2y+2=0 \end{cases}\Rightarrow 5y+15=0\Rightarrow y=-3\Rightarrow x=2\\ \Rightarrow \left( 2,-3 \right) 至L_{ 1 }:3x-4y-3=0的距離=\frac { 6+12-3 }{ \sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 } }  } =\frac { 15 }{ 5 } =3，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $${ 16 }^{ x }-{ 4 }^{ x }-2=0\Rightarrow { \left( { 2 }^{ 4 } \right)  }^{ x }-{ \left( { 2 }^{ 2 } \right)  }^{ x }-2=0\Rightarrow { 2 }^{ 4x }-{ 2 }^{ 2x }-2=0\\ \Rightarrow \left( { 2 }^{ 2x }-2 \right) \left( { 2 }^{ 2x }+1 \right) =0\Rightarrow { 2 }^{ 2x }=2\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$\log _{ 4 }{ \sqrt { 8 }  } +\log _{ 9 }{ \sqrt { 243 }  } =\log _{ { 2 }^{ 2 } }{ { 2 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } } +\log _{ { 3 }^{ 2 } }{ { 3 }^{ \frac { 5 }{ 2 }  } } =\frac { 3 }{ 4 } \log _{ 2 }{ 2 } +\frac { 5 }{ 4 } \log _{ 3 }{ 3 } \\ =\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 5 }{ 4 } =\frac { 8 }{ 4 } =2，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$\begin{cases} f\left( a \right) =1 \\ f\left( b \right) =2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { 3 }^{ a }=1 \\ { 3 }^{ b }=2 \end{cases}\Rightarrow { 3 }^{ a }\times { 3 }^{ b }=1\times 2\Rightarrow { 3 }^{ a+b }=2\Rightarrow f\left( a+b \right) =2，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$76\times \frac { 3 }{ 3+2+x } +81\times \frac { 2 }{ 3+2+x } +90\times \frac { x }{ 3+2+x } =\frac { 228+162+90x }{ 5+x } =80\\ \Rightarrow 390+90x=400+80x\Rightarrow 10x=10\Rightarrow x=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解：
第1次已擲出6點，後面兩次至少要擲出1次6點。
後面兩次都不擲出6點，共有5x5=25種可能。
因此後面兩次至少要擲出1次6點機率=1-後面兩次都不擲出6點的機率=1-25/36=11/36，故選(A)。

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解： $${ x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }係數={ C }_{ 2 }^{ 6 }{ 2 }^{ 2 }=\frac { 6! }{ 4!2! } \times 4=15\times 4=60，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解：
先把甲乙丙當成一個人，則原五個人看成三個人，共有3!=6種排法；
甲乙丙三人相鄰亦有6種排法，所以總共有6x6=36種坐法，故選(C) 。

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解：

$$圓:x^{ 2 }+y^{ 2 }+6x+4y=12\Rightarrow { (x+3) }^{ 2 }+{ (y+2) }^{ 2 }=5^{ 2 }\Rightarrow 圓心(-3,-2),半徑=5\\ 圓心至切點的斜率=\frac { -2-2 }{ -3+6 } =\frac { -4 }{ 3 } \Rightarrow 切線斜率=\frac { 3 }{ 4 } \\ (1,1)至圓心的斜率=\frac { 1+2 }{ 1+3 } =\frac { 3 }{ 4 } \Rightarrow (1,1)至圓心的直線與切線剛好垂直\\ \Rightarrow (1,1)至切線的距離=圓半徑=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ x+1 & 2 & 4 \\ x^{ 2 }+2 & 5 & 7 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2 & 4 \\ x^{ 2 }+2 & 5 & 7 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ x & 0 & 1 \\ x^{ 2 } & 1 & 1 \end{matrix} \right| =2\left( 3x+2x^{ 2 }-2x-1 \right) \\ =2\left( 2x^{ 2 }+x-1 \right) =2(2x-1)(x+1)\Rightarrow 兩根為\frac { 1 }{ 2 } 及-1\\ \Rightarrow 兩根和=\frac { 1 }{ 2 } +(-1)=-\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$S=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } +1 } +\frac { 1 }{ 3+\sqrt { 3 }  } +\frac { 1 }{ 3\sqrt { 3 } +3 } +\cdots \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  } S=\frac { 1 }{ 3+\sqrt { 3 }  } +\frac { 1 }{ 3\sqrt { 3 } +3 } +\cdots \\ \Rightarrow \left( 1-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \right) S=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \Rightarrow S=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \times \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 3 } -1 } \\ =\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$\overrightarrow { a } =\left( \cos { 75° } +\cos { 15° } ,\sin { 75° } +\sin { 15° }  \right) =\left( \sin { 15° } +\cos { 15° } ,\cos { 15° } +\sin { 15° }  \right) \\ \Rightarrow \left| \overrightarrow { a }  \right| =\sqrt { 2{ \left( \sin { 15° } +\cos { 15° }  \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { 2\left( 1+2\sin { 15° } \cos { 15° }  \right)  } =\sqrt { 2\left( 1+\sin { 30° }  \right)  } \\ =\sqrt { 2\left( 1+\frac { 1 }{ 2 }  \right)  } =\sqrt { 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right| \cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } \Rightarrow \left( -1,2 \right) \cdot \left( 1,x \right) =\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right| \times \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } \\ \Rightarrow -1+2x=\sqrt { 5 } \times \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } \times \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } \Rightarrow \frac { 2\left( 2x-1 \right)  }{ \sqrt { 10 }  } =\sqrt { { x }^{ 2 }+1 } \\ \Rightarrow \frac { 4{ \left( 2x-1 \right)  }^{ 2 } }{ 10 } ={ x }^{ 2 }+1\Rightarrow \frac { 8{ x }^{ 2 }-8x+2 }{ 5 } ={ x }^{ 2 }+1\Rightarrow 3{ x }^{ 2 }-8x-3=0\\ \Rightarrow (3x+1)(x-3)=0\Rightarrow x=3,\frac { -1 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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-- end --