104年鐵路人員特考--工程數學詳解

104 年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及 104 年特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題

等別：高員三級鐵路人員考試
類 科 ：電力工程、電子工程
科 目：工程數學

解： $$(一)det(A-\lambda I)=0\Rightarrow \left|\begin{matrix}-1-\lambda&0\\1&-5-\lambda\end{matrix}\right|=0\Rightarrow (\lambda+5)(\lambda+1)=0\Rightarrow A的特徵值 \bbox[red,2pt]{\lambda=-1,-5}\\ (二)\lambda=-1\Rightarrow \left[\begin{matrix}0&0\\1&-4\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right]=0\Rightarrow x_1=4x_2 \Rightarrow \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right]=k_1\left[\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right]\Rightarrow 取u_1=\left[\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right]\\ \;\;\lambda=-5\Rightarrow \left[\begin{matrix}4&0 \\1&0\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right]=0\Rightarrow x_1=0 \Rightarrow \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right]=k_2\left[\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right]\Rightarrow 取u_2=\left[\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right]\\ 因此特徵向量為\bbox[red,2pt]{\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)及\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)}\\ (三)令P=\left[\begin{matrix}4&0 \\1&1\end{matrix}\right]\Rightarrow P^{-1}=\left[\begin{matrix}1/4&0 \\-1/4&1\end{matrix}\right]\Rightarrow A=P\left[\begin{matrix}-1&0 \\0&-5\end{matrix}\right]P^{-1}\\ \Rightarrow A^{20}=P\left[\begin{matrix}(-1)^{20}&0 \\0&(-5)^{20}\end{matrix}\right]P^{-1} =P\left[\begin{matrix}1&0 \\0&5^{20}\end{matrix}\right]P^{-1}=\left[\begin{matrix}4&0 \\1&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&0 \\0&5^{20}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1/4&0 \\-1/4&1\end{matrix}\right]\\ =\left[\begin{matrix}4&0 \\1&5^{20}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1/4&0 \\-1/4&1\end{matrix}\right]=\bbox[red,2pt] {\left[\begin{matrix}1&0 \\(1-5^{20})/4&5^{20}\end{matrix}\right]}$$

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解： $$a_{ 0 }=\frac { 1 }{ 4 } \left( \int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ 2 }dx } +\int _{ 1 }^{ 4 }{ 1dx }  \right) =\frac { 1 }{ 4 } \left( \frac { 1 }{ 3 } +3 \right) =\frac { 5 }{ 6 } \\ a_{ n }=\frac { 1 }{ 2 } \left( \int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ 2 }\cos { \frac { n\pi x }{ 2 }  } dx } +\int _{ 1 }^{ 4 }{ \cos { \frac { n\pi x }{ 2 }  } dx }  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( \left. \left[ \left( \frac { 2{ x }^{ 2 } }{ n\pi  } -\frac { 16 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } }  \right) \sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  } +\frac { 8x }{ { n }^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 } } \cos { \frac { n\pi x }{ 2 }  }  \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }+\left. \left[ \frac { 2 }{ n\pi  } \sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  }  \right]  \right| _{ 1 }^{ 4 } \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( \left( \frac { 2 }{ n\pi  } -\frac { 16 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } }  \right) \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +\frac { 8 }{ { n }^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 } } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { 2 }{ n\pi  } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  }  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( -\frac { 16 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +\frac { 8 }{ { n }^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 } } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  }  \right) =\frac { 4 }{ { n }^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 } } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { 8 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } \\ b_{ n }=\frac { 1 }{ 2 } \left( \int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ 2 }\sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  } dx } +\int _{ 1 }^{ 4 }{ \sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  } dx }  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( \left. \left[ \left( -\frac { 2{ x }^{ 2 } }{ n\pi  } +\frac { 16 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } }  \right) \cos { \frac { n\pi x }{ 2 }  } +\frac { 8x }{ { n }^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 } } \sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  }  \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }+\left. \left[ -\frac { 2 }{ n\pi  } \cos { \frac { n\pi x }{ 2 }  }  \right]  \right| _{ 1 }^{ 4 } \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( \left( -\frac { 2 }{ n\pi  } +\frac { 16 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } }  \right) \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +\frac { 8 }{ { n }^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 } } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { 16 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } } -\frac { 2 }{ n\pi  } +\frac { 2 }{ n\pi  } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  }  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 16 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +\frac { 8 }{ { n }^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 } } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { 16 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } } -\frac { 2 }{ n\pi  }  \right) \\ =\frac { 8 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +\frac { 4 }{ { n }^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 } } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { 8 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } } -\frac { 1 }{ n\pi  } \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{f\left( x \right) =\frac { 5 }{ 6 } +\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \left[ { a }_{ n }\cos { \frac { n\pi x }{ 2 }  } +{ b }_{ n }\sin { \frac { n\pi x }{ 2 }  }  \right]  } ,\\ 其中{ a }_{ n }=\frac { 4 }{ { n }^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 } } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { 8 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } ,b_{ n }=\frac { 8 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } } \cos { \frac { n\pi  }{ 2 }  } +\frac { 4 }{ { n }^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 } } \sin { \frac { n\pi  }{ 2 }  } -\frac { 8 }{ { n }^{ 3 }{ \pi  }^{ 3 } } -\frac { 1 }{ n\pi  } }$$

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解： $$f(z)=\frac{2z-5}{(z+1)(z^2+4)}=\frac{2z-5}{(z+1)(z-2i)(z-2i)}\\\Rightarrow z=-1,\pm2i為單極點且-1在實軸上,2i在上半圓\\ Res_{z=-1}f(z)=\lim_{z\to -1}{\frac{2z-5}{z^2+4}}=\frac{-2-5}{1+4}=-\frac{7}{5}\\ Res_{z=2i}f(z)=\lim_{z\to 2i}{\frac{2z-5}{(z+1)(z+2i)}}=\frac{4i-5}{(2i+1)(4i)}=\frac{7}{10}-\frac{3}{20}i\\ \int_{-\infty}^{\infty}f(z)\,dz=\pi i\times Res_{z=-1}f(z)+2\pi i\times Res_{z=2i}f(z)=\pi i\times\left(-\frac{7}{5}\right) +2\pi i\times\left(\frac{7}{10}-\frac{3}{20}i\right)\\ =\bbox[red,2pt]{\frac{3\pi}{10}}$$

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解：(一) $$\sigma _{ x }^{ 2 }=2\Rightarrow E\left[ X^{ 2 } \right] -{ \left( E\left[ X \right]  \right)  }^{ 2 }=2\Rightarrow E\left[ X^{ 2 } \right] =2+0^{ 2 }=2\\ E\left[ W^{ 2 } \right] =E\left[ \left( 2X+Y \right) ^{ 2 } \right] =E\left[ 4X^{ 2 }+4XY+Y^{ 2 } \right] =4E\left[ X^{ 2 } \right] +4E\left[ XY \right] +E\left[ Y^{ 2 } \right] \\ =4\times 2+4\times \left( -2 \right) +4=\bbox[red,2pt]{4}$$ (二) $$E\left[ WU \right] =E\left[ \left( 2X+Y \right) \left( -X-3Y \right)  \right] =E\left[ -2X^{ 2 }-7XY-3Y^{ 2 } \right] =-2E\left[ X^{ 2 } \right] -7E\left[ XY \right] -3E\left[ Y^{ 2 } \right] \\ =-2\times 2-7\times \left( -2 \right) -3\times 4=\bbox[red,2pt]{-2}$$ (三) $$\sigma _{ Y }^{ 2 }=E\left[ Y^{ 2 } \right] -{ \left( E\left[ Y \right]  \right)  }^{ 2 }=4-(-1)^ 2=\bbox[red,2pt]{3}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$v'(t) 若非零，則與v(t)正交 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$F=x^2\vec { i } +y^2 \vec { j } +2z^2\vec { k } \Rightarrow \nabla \cdot F=\frac { \partial  }{ \partial x } x^2+\frac { \partial  }{ \partial y } y^2 +\frac { \partial  }{ \partial x } 2z^2\\ =2x+2y+4z \Rightarrow \left. \nabla \cdot F \right| _{ \left( 1,1,-1 \right)  }=2+2-4 =0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} u=z\vec { i } +x\vec { j } +y\vec { k }  \\ v=xy\vec { i } +yz\vec { j } +zx\vec { k }  \end{cases}\Rightarrow u\times v=\left| \begin{matrix} \vec { i }  & \vec { j }  & \vec { k }  \\ z & x & y \\ xy & yz & zx \end{matrix} \right| =x^{ 2 }z\vec { i } +yz^{ 2 }\vec { k } +xy^{ 2 }\vec { j } -x^{ 2 }y\vec { k } -xz^{ 2 }\vec { j } -y^{ 2 }z\vec { i } \\ =\left( x^{ 2 }z-y^{ 2 }z \right) \vec { i } +\left( xy^{ 2 }-xz^{ 2 } \right) \vec { j } +\left( yz^{ 2 }-x^{ 2 }y \right) \vec { k } \Rightarrow \nabla \cdot \left( u\times v \right) \\=\frac { \partial  }{ \partial x } \left( x^{ 2 }z-y^{ 2 }z \right) +\frac { \partial  }{ \partial y } \left( xy^{ 2 }-xz^{ 2 } \right) +\frac { \partial  }{ \partial z } \left( yz^{ 2 }-x^{ 2 }y \right)  =2xz+2xy+2yz，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$C可表示成(t+1,\pi ),0\le t\le 1\Rightarrow F=2(t+1)\cos { (2\pi )\vec { i } -2(t+1)^{ 2 }\sin { (2\pi ) } \vec { j }  } =\left( 2t+2 \right) \vec { i } \\ \Rightarrow \int _{ C }{ F\cdot dR } =\int _{ 0 }^{ 1 } \left( 2t+2 \right) dt=\left. \left[ t^2+2t \right]  \right|_0^1 =3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\left( A \right) \left| \begin{matrix} \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  \\ 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  \end{matrix} \right| =\frac { 1 }{ 2 } \neq \pm 1\\ \left( B \right) \left( -1,1 \right) 不是單位向量\\ \left( D \right) \left( \frac { 2 }{ \sqrt { 3 }  } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \right) 不是單位向量\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$det\left( A \right) =12-2=10\Rightarrow 1=det\left( I \right) =det\left( AA^{ -1 } \right) =det\left( A \right) det\left( A^{ -1 } \right) =10det\left( A^{ -1 } \right) \\ \Rightarrow det\left( A^{ -1 } \right) =\frac { 1 }{ 10 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A=\left[\begin{array}{rrrRR}1&0&-2&1&0\\0&-1&-3&1&3\\-2&-1&1&-1&3\\0&3&9&0&-12\end{array}\right]\xrightarrow{2\times r_1+r_3,\,3\times r_2+r_4}\left[\begin{array}{rrrRR}1&0&-2&1&0\\0&-1&-3&1&3\\0&-1&-3&1&3\\0&0&0&3&-3\end{array}\right] \\\xrightarrow{(-1)r_2+r_3,\,r_4/3}\left[\begin{array}{rrrRR}1&0&-2&1&0\\0&-1&-3&1&3\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&-1\end{array}\right]\xrightarrow{(-1)r_5+r_1,\,(-1)r_5+r_2}\left[\begin{array}{rrrRR}1&0&-2&0&1\\0&-1&-3&0&4\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&-1\end{array}\right]\\  Ax=0\Rightarrow \begin{cases}x_1-2x_3+x_5=0\\-x_2-3x_3+4x_5=0\\x_4-x_5=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_1=2x_3-x_5\\x_2=-3x_3+4x_5=0\\x_3=x_3\\x_4=x_5\\x_5=x_5\end{cases}\\\Rightarrow Null(A)=\left\{s\left(\begin{array}{c}2\\-3\\1\\0\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\4\\0\\1\\1\end{array}\right)\right\}\Rightarrow \text{dim of }Null(A)=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} -2-\lambda  & 2 & -3 \\ 2 & 1-\lambda  & -6 \\ -1 & -2 & -\lambda  \end{matrix} \right| =-\lambda \left( \lambda -1 \right) \left( \lambda +2 \right) +12+12+3\left( \lambda -1 \right) +4\lambda +12\left( \lambda +2 \right) \\ =\lambda ^{ 3 }+\lambda ^{ 2 }-21\lambda -45=(\lambda -5)(\lambda +3)^{ 2 }=0\Rightarrow \lambda =5,-3\\ \lambda =5\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -7 & 2 & -3 \\ 2 & -4 & -6 \\ -1 & -2 & -5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -8 & 0 & -8 \\ 0 & -8 & -16 \\ -1 & -2 & -5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }=-x_{ 3 } \\ x_{ 2 }=-2x_{ 3 } \end{cases}\\ \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =C_{ 1 }\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] ,取特徵向量u_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \\ \lambda =-3\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow x_{ 1 }+2x_{ 2 }=3x_{ 3 }\\ \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =C_{ 2 }\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1/3 \end{matrix} \right] +C_{ 3 }\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2/3 \end{matrix} \right] ,取特徵向量u_{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1/3 \end{matrix} \right] ,u_{ 3 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2/3 \end{matrix} \right] \\ \left( A \right) \left[ \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] =-2u_{ 2 }+u_{ 3 },\; \left( B \right) \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] =u_{ 1 },\; \left( D \right) \left[ \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] =3u_{ 2 }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$z=6+8i=10\left( \frac { 3 }{ 5 } +\frac { 4 }{ 5 } i \right) =10\left( \cos { \theta  } +i\sin { \theta  }  \right) ,其中\begin{cases} \cos { \theta  } =\frac { 3 }{ 5 }  \\ \sin { \theta  } =\frac { 4 }{ 5 }  \end{cases}\Rightarrow \tan { \theta  } =\frac { 4 }{ 3 } \\ \Rightarrow \left( r,\theta  \right) =\left( 10,\tan ^{ -1 }{ \frac { 4 }{ 3 }  }  \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\bbox[red,2pt]{(無解)}$$

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解： $$g\left( z \right) =\frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ x+iy } =\frac { x-iy }{ \left( x+iy \right) \left( x-iy \right)  } =\frac { x-iy }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } =\frac { x }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } +i\frac { -y }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } \\ \Rightarrow 實部\frac { x }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } ,虛部\frac { -y }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$2.5xy應該是2.5xy'，因此\bbox[red,2pt]{無解}$$ 若題目改為$2.5xy'$，則解法如下:
$$y=x^{ m }\Rightarrow y'=mx^{ m-1 }\Rightarrow y''=m(m-1)x^{ m-2 }\Rightarrow x^{ 2 }y''-2.5xy'-2y=m(m-1)x^{ m }-2.5mx^{ m }-2x^{ m }=0\\ \Rightarrow m(m-1)-2.5m-2=0\Rightarrow m^{ 2 }-3.5m-2=0\Rightarrow 2m^{ 2 }-7m-4=0\Rightarrow (2m-1)(m-4)=0\\ \Rightarrow m=1/2,4\Rightarrow y=C_{ 1 }x^{ 1/2 }+C_{ 2 }x^{ 4 }=C_{ 1 }\sqrt { x } +C_{ 2 }x^{ 4 }，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\frac { dr }{ d\theta  } =b\left[ \frac { dr }{ d\theta  } \cos { \theta  } +r\sin { \theta  }  \right] \Rightarrow (1-b\cos { \theta  }) \frac { dr }{ d\theta  } =br\sin { \theta  } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ r } dr=\frac { b\sin { \theta  }  }{ 1-b\cos { \theta  }  } d\theta \Rightarrow \int { \frac { 1 }{ r } dr } =\int { \frac { b\sin { \theta  }  }{ 1-b\cos { \theta  }  } d\theta  } +C\\ \Rightarrow \ln { r } =\ln { \left( 1-b\cos { \theta  }  \right)  } +C\Rightarrow r=K\left( 1-b\cos { \theta  }  \right) \\ r\left( \frac { \pi  }{ 2 }  \right) =\pi \Rightarrow \pi =K\Rightarrow r=\pi \left( 1-b\cos { \theta  }  \right)  ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$y_{ 1 }=x\Rightarrow y_{ 2 }=v(x)\cdot x\Rightarrow y_{ 2 }'=v(x)+v'(x)x\Rightarrow y_{ 2 }''=v''(x)x+2v'(x)\\ \Rightarrow (x^{ 2 }-x)y''-xy'+y=(x^{ 2 }-x)\left( v''(x)x+2v'(x) \right) -x\left( v(x)+v'(x)x \right) +v(x)\cdot x\\ =x(x^{ 2 }-x)v''+\left( x^{ 2 }-2x \right) v'=0\Rightarrow (x^{ 2 }-x)v''=\left( 2-x \right) v'\Rightarrow \frac { v'' }{ v' } =\frac { 2-x }{ x^{ 2 }-x } \\ \Rightarrow \int { v''dv' } =\int { \frac { 2-x }{ x^{ 2 }-x } dx } \Rightarrow \ln { \left| v' \right|  } =\ln { \left| x-1 \right| -2\ln { \left| x \right|  }  } \Rightarrow v'=\frac { x-1 }{ x^{ 2 } } \\ \Rightarrow v=\ln { x } +\frac { 1 }{ x } \Rightarrow y_{ 2 }=\left( \ln { x } +\frac { 1 }{ x }  \right) x=x\ln { x } +1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} L\left\{ u\left( t-1 \right) f\left( t-1 \right)  \right\} ={ e }^{ -s }F\left( s \right)  \\ L\left\{ t\cos { \left( 2t \right)  }  \right\} =\frac { { s }^{ 2 }-4 }{ { \left( { s }^{ 2 }+4 \right)  }^{ 2 } }  \end{cases}\\ \Rightarrow L^{ -1 }\left\{ \frac { \left( { s }^{ 2 }-4 \right) { e }^{ -s } }{ { \left( { s }^{ 2 }+4 \right)  }^{ 2 } }  \right\} =u\left( t-1 \right) \left( t-1 \right) \cos { \left( 2\left( t-1 \right)  \right)  } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$y''(t)+4y'(t)+3y(t)=6,先求y''(t)+4y'(t)+3y(t)=0的解\\ \lambda ^{ 2 }+4\lambda +3=0\Rightarrow (\lambda +3)(\lambda +1)=0\Rightarrow \lambda =-1,-3\Rightarrow y_{ h }=C_{ 1 }e^{ -t }+C_{ 2 }e^{ -2t }\\ 令y_{ p }=k\Rightarrow y''_{ p }+4y'_{ p }+3y_{ p }=3k=6\Rightarrow k=2\Rightarrow y=y_{ h }+y_{ p }=C_{ 1 }e^{ -t }+C_{ 2 }e^{ -2t }+2\\ \lim _{ t\rightarrow \infty  }{ y\left( t \right)  } =\lim _{ t\rightarrow \infty  }{ \left( C_{ 1 }e^{ -t }+C_{ 2 }e^{ -2t }+2 \right)  } =2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$f\left( x \right) =\begin{cases} -1 & -1<x<0 \\ 1 & 0<x<1 \\ 0 & otherwise \end{cases}\Rightarrow F\left( \omega \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \left( \int _{ -1 }^{ 0 }{ - } { e }^{ -i\omega x }dx+\int _{ 0 }^{ 1 }{ { e }^{ -i\omega x }dx } \right) \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \left( \left. \left[ \frac { 1 }{ i\omega } { e }^{ -i\omega x } \right] \right| _{ -1 }^{ 0 }-\left. \left[ \frac { 1 }{ i\omega } { e }^{ -i\omega x } \right] \right| _{ 0 }^{ 1 } \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \left( \frac { 2 }{ i\omega } -\frac { 1 }{ i\omega } \left( { e }^{ i\omega }+{ e }^{ -i\omega } \right) \right) \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi } } \left( \frac { 2 }{ i\omega } -\frac { 2 }{ i\omega } \cos { \omega } \right) =\frac { i }{ \sqrt { 2\pi } } \left( -\frac { 2 }{ \omega } +\frac { 2 }{ \omega } \cos { \omega } \right) =\frac { i\sqrt { 2 } }{ \sqrt { \pi } } \frac { \cos { \omega } -1 }{ \omega }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$C^5_3\times\frac{1}{2^5}=10\times\frac{1}{32}=\frac{5}{16}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\sum _{ y=1 }^{ 3 }{ \sum _{ x=1 }^{ 2 }{ P\left( x,y \right)  }  } =1\Rightarrow A\left( 5+8+11+7+10+13 \right) =54A=1\Rightarrow A=\frac { 1 }{ 54 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$P\left( x=k \right) =\frac { { e }^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ k } }{ k! } \Rightarrow E\left[ X \right] =\lambda =4\\ P\left( x\le 1 \right) =1-P\left( x=0 \right) -P\left( x=1 \right) =1-{ e }^{ -4 }-4{ e }^{ -4 }=1-5{ e }^{ -4 }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考