105年公務人員特種考試司法人員、法務部調查局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
考試別:調查人員
等 別:三等考試
類 科 組:電子科學組
科 目:工程數學
等 別:三等考試
類 科 組:電子科學組
科 目:工程數學
(一)$$X=\left[ 2\cos { \left( 2t \right) } ,2\sin { \left( 2t \right) } ,3t \right]\\ \Rightarrow 速度=\left[ \frac { d }{ dt } 2\cos { \left( 2t \right) } ,\frac { d }{ dt } 2\sin { \left( 2t \right) } ,\frac { d }{ dt } 3t \right] =\bbox[red,2pt]{\left[ -4\sin { \left( 2t \right) } ,4\cos { \left( 2t \right) } ,3 \right]} \\\Rightarrow 速率=\sqrt { { \left( -4\sin { \left( 2t \right) } \right) }^{ 2 }+{ \left( 4\cos { \left( 2t \right) } \right) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 16+9 } =\bbox[red,2pt]{5}$$(二)$$\\ \int _{ 0 }^{ \pi }{ 5dt } =\bbox[red,2pt]{5\pi} $$
解:$$P=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \Rightarrow P^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \Rightarrow A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow A^{ 2 }\left[ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3^{ 2 } & 0 \\ 0 & 2^{ 2 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} 9 & 8 \\ 9 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 & 10 \\ -5 & 14 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\bbox[red, 2pt]{\left[ \begin{matrix} 26 \\ 22 \end{matrix} \right] }$$
解:$$3,4,\sqrt{3}皆不在(-1,1)之區間,因此g(3)+g(4)+g(\sqrt{3})=0 $$
解:$$令u\left( x,t \right) =F\left( x \right) G\left( t \right) ,由u_{ xx }=u_{ t }\Rightarrow F''\left( x \right) G\left( t \right) =F\left( x \right) G'\left( t \right) \Rightarrow \frac { F''\left( x \right) }{ F\left( x \right) } =\frac { G'\left( t \right) }{ G\left( t \right) } \\ 假設\frac { F''\left( x \right) }{ F\left( x \right) } =\frac { G'\left( t \right) }{ G\left( t \right) } =-\lambda \Rightarrow \begin{cases} F''\left( x \right) +\lambda F\left( x \right) =0 \\ G'\left( t \right) +\lambda G\left( t \right) =0 \end{cases}\\ F''\left( x \right) +\lambda F\left( x \right) =0\Rightarrow F\left( x \right) =A\cos { \left( \sqrt { \lambda } x \right) } +B\sin { \left( \sqrt { \lambda } x \right) } \\ \Rightarrow F'\left( x \right) =-A\sqrt { \lambda } \sin { \left( \sqrt { \lambda } x \right) } +B\sqrt { \lambda } \cos { \left( \sqrt { \lambda } x \right) } \\ 由初始條件u_{ x }\left( 0,t \right) =0\Rightarrow F'\left( 0 \right) =0\Rightarrow B\sqrt { \lambda } \Rightarrow B=0\left( \lambda \neq 0 \right) \\ 又\left( \pi ,t \right) =0\Rightarrow F'\left( \pi \right) =0\Rightarrow -A\sqrt { \lambda } \sin { \left( \sqrt { \lambda } \pi \right) } =0\Rightarrow \sqrt { \lambda } =n,n=0,1,2,\cdots \\ \Rightarrow \lambda ={ n }^{ 2 },n=0,1,2,\cdots \Rightarrow F\left( x \right) =A\cos { \left( nx \right) } 代回F''\left( x \right) +\lambda F\left( x \right) =0\Rightarrow A=1\\ \Rightarrow F\left( x \right) =\cos { \left( nx \right) } ,n=0,1,2,\cdots \\ G'\left( t \right) +\lambda G\left( t \right) =0\Rightarrow G\left( t \right) ={ e }^{ -\lambda t }={ e }^{ -{ n }^{ 2 }t },n=0,1,2,\cdots \\ u\left( x,t \right) =A_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ A_{ n }\cos { \left( nx \right) { e }^{ -{ n }^{ 2 }t } } } \Rightarrow u\left( x,0 \right) =A_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ A_{ n }\cos { \left( nx \right) } } ={ \left( x-\frac { \pi }{ 2 } \right) }^{ 2 } \\\Rightarrow A_{ n }=\frac { 2 }{ \pi } \int _{ 0 }^{ \pi }{ { \left( x-\frac { \pi }{ 2 } \right) }^{ 2 }\cos { \left( nx \right) } dx } \\ =\frac { 2 }{ \pi } \left. \left[ \frac { x^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \sin { \left( nx \right) } +\frac { 2x }{ { n }^{ 2 } } \cos { \left( nx \right) } -\frac { 2 }{ { n }^{ 3 } } \sin { \left( nx \right) } -\frac { \pi }{ { n } } x\sin { \left( nx \right) } -\frac { \pi }{ { n^{ 2 } } } \cos { \left( nx \right) } +\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4n } \sin { \left( nx \right) } \right] \right| _{ 0 }^{ \pi }\\ =\frac { 2 }{ \pi } \left( \left( \frac { 2\pi }{ { n }^{ 2 } } \cos { \left( n\pi \right) } -\frac { \pi }{ { n }^{ 2 } } \cos { \left( n\pi \right) } \right) -\left( -\frac { \pi }{ { n^{ 2 } } } \right) \right) =\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } \cos { \left( n\pi \right) } +\frac { 2 }{ { n^{ 2 } } } \\ \Rightarrow A_{ 6 }=\frac { 2 }{ 36 } +\frac { 2 }{ 36 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 9 } }$$
解:
(一)$$ P\left( X>5 \right) =\int _{ 5 }^{ \infty }{ f\left( x \right) dx } =\int _{ 5 }^{ \infty }{ \lambda { e }^{ -\lambda x }dx } =\left. \left[ -{ e }^{ -\lambda x } \right] \right| _{ 5 }^{ \infty }=0-\left( -{ e }^{ -5\lambda } \right) =\bbox[red,2pt]{{ e }^{ -5\lambda }}$$(二)$$P\left( X>15|X>10 \right) =\frac { \int _{ 15 }^{ \infty }{ \lambda { e }^{ -\lambda x }dx } }{ \int _{ 10 }^{ \infty }{ \lambda { e }^{ -\lambda x }dx } } =\frac { { e }^{ -15\lambda } }{ { e }^{ -10\lambda } } =\bbox[red,2pt]{{ e }^{ -5\lambda }}$$
想請教朱大 第一題瞬時速度跟瞬時速率不是只差一個方向性而已嗎
回覆刪除是我理解有誤嗎?
差一個正負號是在一維的情況下(只有往前或往後),該題是三度空間,方向就不只是正負而已.....
刪除請問第一大題第二小題上下限π/0如何得出
回覆刪除X=[,, 3t=0-3pi] ,因此從0到pi
刪除