若PP為△ABC△ABC內部一點且x→PA+y→PB+z→PC=0x−−→PA+y−−→PB+z−−→PC=0,求x:y:zx:y:z。
類似的題型有許多種,用漸近的方式來求取不同的P點所帶來的不同x:y:z .........
類似的題型有許多種,用漸近的方式來求取不同的P點所帶來的不同x:y:z .........
範例1:P在△ABC的底邊¯BC上,且¯BP:¯PC=m:n,則→AP=mm+n→AC+nm+n→AB。
證明:→AP=→AB+→BP=→AB+mm+n→BC=→AB+mm+n(→BA+→AC)=→AB+mm+n(−→AB+→AC)=(1−mm+n)→AB+mm+n→AC=nm+n→AB+mm+n→AC
範例2:若P為△ABC的重心,則→PA+→PB+→PC=0。
範例3:若P為△ABC內部一點且x→PA+y→PB+z→PC=0,則x:y:z=△PBC:△PAC:△PAB。
證明:
令{→PA′=x→PA→PB′=y→PB→PC′=z→PC⇒→PA′+→PB′+→PC′=x→PA+y→PB+z→PC=0⇒P為△A′B′C′之重心又△PAB△PA′B′=12⋅¯PA⋅¯PB⋅sin∠APB12⋅¯PA′⋅¯PB′⋅sin∠APB=¯PA⋅¯PB¯PA′⋅¯PB′=¯PA⋅¯PB¯xPA⋅y¯PB=1xy;同理,△PBC△PB′C′=1yz及△PCA△PC′A′=1xz;因此△PAB:△PBC:△PCA=1xy:1yz:1zx=z:x:y⇒x:y:z=△PBC:△PCA:△PAB
範例4:若P為△ABC的內心且x→PA+y→PB+z→PC=0,則x:y:z=¯BC:¯AC:¯AB。
證明:
P是內心⇒△PAB:△PBC:△PCA=¯AB:¯BC:¯CA
⇒x:y:z=△PBC:△PAC:△PAB=¯BC:¯AC:¯AB
⇒x:y:z=¯BC:¯AC:¯AB
範例5:若P為△ABC的外心且x→PA+y→PB+z→PC=0,則x:y:z=¯BCcos∠A:¯ACcos∠B:¯ABcos∠C。
證明:
△PBC=12¯BCׯPD=12¯BC×(Rcos∠BPD)=12¯BC×(Rcos(12∠BPC))=12¯BC×(Rcos(12×2∠A))=12¯BC×(Rcos∠A)=R2¯BC×cos∠A同理△PCA=R2¯AC×cos∠B,△PAB=R2¯AB×cos∠C⇒x:y:z=△PBC:△PAC:△PAB=R2¯BCcos∠A:R2¯ACcos∠B:R2¯ABcos∠C=¯BCcos∠A:¯ACcos∠B:¯ABcos∠C
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