2018年12月30日 星期日

P在三角形ABC內部,xPA+yPB+zPC=0,求x, y, z


PPABCABC內部一點且xPA+yPB+zPC=0xPA+yPB+zPC=0,求x:y:zx:y:z
類似的題型有許多種,用漸近的方式來求取不同的P點所帶來的不同x:y:z .........

範例1PABC的底邊¯BC上,且¯BP:¯PC=m:n,則AP=mm+nAC+nm+nAB
證明AP=AB+BP=AB+mm+nBC=AB+mm+n(BA+AC)=AB+mm+n(AB+AC)=(1mm+n)AB+mm+nAC=nm+nAB+mm+nAC

範例2:若PABC的重心,則PA+PB+PC=0
證明:{PA=PD+DA=12PC12ABPB=PE+EB=12PA12BCPC=PF+FC=12PB12CAPA+PB+PC=12(PA+PB+PC)12(AB+BC+CA)PA+PB+PC=12(PA+PB+PC)032(PA+PB+PC)=0PA+PB+PC這特性反推也成立,即PA+PB+PC=0P為重心。

範例3:若PABC內部一點且xPA+yPB+zPC=0,則x:y:z=PBC:PAC:PAB

證明

{PA=xPAPB=yPBPC=zPCPA+PB+PC=xPA+yPB+zPC=0PABCPABPAB=12¯PA¯PBsinAPB12¯PA¯PBsinAPB=¯PA¯PB¯PA¯PB=¯PA¯PB¯xPAy¯PB=1xy;PBCPBC=1yzPCAPCA=1xz;PAB:PBC:PCA=1xy:1yz:1zx=z:x:yx:y:z=PBC:PCA:PAB

範例4:若PABC的內心且xPA+yPB+zPC=0,則x:y:z=¯BC:¯AC:¯AB
證明
P是內心PAB:PBC:PCA=¯AB:¯BC:¯CA
x:y:z=PBC:PAC:PAB=¯BC:¯AC:¯AB
x:y:z=¯BC:¯AC:¯AB


範例5:若PABC的外心且xPA+yPB+zPC=0,則x:y:z=¯BCcosA:¯ACcosB:¯ABcosC
證明:
PBC=12¯BCׯPD=12¯BC×(RcosBPD)=12¯BC×(Rcos(12BPC))=12¯BC×(Rcos(12×2A))=12¯BC×(RcosA)=R2¯BC×cosAPCA=R2¯AC×cosB,PAB=R2¯AB×cosCx:y:z=PBC:PAC:PAB=R2¯BCcosA:R2¯ACcosB:R2¯ABcosC=¯BCcosA:¯ACcosB:¯ABcosC

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