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2018年12月21日 星期五

107年特種考試地方政府公務人員考試--工程數學詳解


107年特種考試地方政府公務人員考試試題
等別:三等考試
類科 :電子工程、電力工程
科目:工程數學


(一)AAAT=ATA=I[a00bcosθsinθcsinθcosθ][abc0cosθsinθ0sinθcosθ]=I[a2abacabb2+cos2θ+sin2θbcacbcc2+cos2θ+sin2θ]=[a2abacabb2+1bcacbcc2+1]=I{a=±1b=0c=0(二)det(AλI)=0|aλ000cosθλsinθ0sinθcosθλ|=0(aλ)(cosθλ)2+(aλ)sin2θ=0(aλ)((cosθλ)2+sin2θ)=(λa)(λ22cosθ+1)=0λ1=a,λ2+λ3=2cosθλ1+λ2+λ3=a+2cosθ=±1+2cosθ


ty+(t1)y+y=(tyy)+(ty+y)=(ddt(ty)2y)+(ddt(ty))=ddt(ty)2ddty+ddt(ty)=ddt(ty2y+ty)=0ty2y+ty=C10y(0)2y(0)+0y(0)=0=C1C1=0ty2y+ty=0y+(t2t)y=0I(x)=et2tdt=e(12/t)dt=et+ln1t2=1t2et(1t2ety)=01t2ety=C2y(1)=2C2=2e1t2ety=2ey=t2e1t



(一)a0=12πππx2dx=12π[13x3]|ππ=12π×23π3=π23an=1πππx2cos(nx)dx=1π[x2nsin(nx)+2xn2cos(nx)2n3sin(nx)]|ππ=1π[4πn2cos(nπ)]=4n2(1)nbn=0(x2,sin)f(x)=π23+n=14n2(1)ncos(nx)(二)由 Plancherel/Parseval n=|an|2=12πππ|f(x)|2dx(π23)2+2×n=(2n2(1)n)2=12πππx4dxπ49+2×n=4n4=π458×n=1n4=π45π49=4π445n=1n4=π490



(一)5張牌都是紅桃的情形共有C135,其它三種花色都有相同情形,因此52張取5張都是同花色的機率為4×C135C525
(二)5張牌中都沒有Aces的機率為C485C525;只有1張Aces的機率為C41C484C525;取出2張或更多Aces的機率為1C485C525C41C484C525

乙、測驗題部分:(50分)

MskewsymmetricMT=M[0ab10c230]=[012a03bc0]{a=1b=2c=3(C)


(2xy33y)dx(3x3x2y2+6y)dy=0M(x,y)=2xy33y,N(x,y)=(3x3x2y2+6y)ddyM(x,y)=6xy23=ddxN(x,y)Ψ(x,y)=M(x,y)dx+f(y)=N(x,y)dy+g(x)Ψ(x,y)=x2y33xy+f(y)=x2y33xy+3y2+g(x)Ψ(x,y)=x2y33xy+3y2=K(C)




[123251147](1)r1+r3,(2)r1+r2[1230150210](2)r2+r3[123015000](B)


e002+1=11=1(C)


A=[304001]x1=[340],x2=[001]y1=x1=[340]y1=5y2=x2yT1x2y12y1=x2=[001]y2=1q1=y1y1=15[340],q2=y2y2=[001]Q=[3/504/5001],R=[y1qT1x20y2]=[5001]a=5,b=0,c=1abc=51=4(C)


[2160113112333297](2)r2+r1,(1)r2+r3,3r2+r4[01021131010205010]r3+r1,(5)r3+r4[0000113101020000]r3+r2[0000103101020000]{x2=2x4x1+3x3=x4[x1x2x3x4]=s[101/30]+t[021/31],s,tR[3010]=3[101/30],[1201]=1[101/30]+[021/31](A)


z+1z32z2=z+1z2(z2)z=0,2Cz+1z2(z2)dz=Cf(z)dz=2πi(Resz=2f(z)+Resz=0f(z))=2πi(z+1z2|z=2+ddz(z+1z2)|z=0)=2πi(34+(3(z2)2)|z=0)=2πi(3434)=0(D)


(A)[123456789]4r1+r2,7r1+r3[1230360612]2r2+r3[123036000](B)(C)3(D)


A=P1[100010001]PA50=P1[150000(1)50000(1)50]P=P1[100010001]P=P1P=I(C)


z=3+2iˉzz=32i3+2i=(32i)2(3+2i)(32i)=512i13Im(ˉzz)=Im(512i13)=1213(B)


u=xyu=xy+yxy+y=sinxu=sinxdu=sinxdxu=cosx+cxy=cosx+cy=cosx+cx(A)


(D)y2=3x=3x=3y1(D)


y+y+1=2{yh=C1eλ1t+C2eλ2t+yp=2y=a(t)=yh+yplimta(t)=limt(yh+yp)=limt(2+C1eλ1t+C2eλ2t+)=2(B)



y=n=0Cnxn+r=C0xr+C1xr+1+C2xr+2+y=C0rxr1+C1(r+1)xr+C2(r+2)xr+1+y=C0r(r1)xr2+C1(r+1)rxr1+C2(r+2)(r+1)xr+x2y=C0r(r1)xr+C1(r+1)rxr+1+C2(r+2)(r+1)xr+2+{xy=C0xr+1+C1xr+2+C2xr+3+12y=12C0xr+12C1xr+1+12C2xr+2+(x12)y=12C0xr+(C012C1)xr+1+(C112C2)xr+2+{12xy=12C0rxr+12C1(r+1)xr+1+12C2(r+2)xr+2+2x2y=2C0rxr+1+2C1(r+1)xr+2+2C2(r+2)xr+3+x(12+2x)y=12C0rxr+(2C0r+12C1(r+1))xr+1+(2C1(r+1)+12C2(r+2))xr+2+x2y+x(12+2x)y+(x12)y=(C0r(r1)12C0+12C0r)xr+(C1(r+1)+C012C1+2C0r+12C1(r+1))xr+1+(C2(r+2)(r+1)+C112C2+2C1(r+1)+12C2(r+2))xr+2+C0r(r1)12C0+12C0r=0r2r12+12r=r212r12=0(A)


x(t)+4x(t)=f(t)L{x(t)}+4L{x(t)}=L{f(t)}s2L{x(t)}sx(0)x(0)+4L{x(t)}=s(1e2πs)s2+4(s2+4)L{x(t)}=s(1e2πs)s2+4L{x(t)}=s(1e2πs)(s2+4)2=s(s2+4)2se2πs(s2+4)2x(t)=L1{s(s2+4)2}L1{se2πs(s2+4)2}=L1{14dds2s2+22}L1{se2πs(s2+4)2}=14tsin(2t)L1{e2πss(s2+4)2}=14tsin(2t)14(t2π)sin(2(t2π))u(t2π)x(9π4)=149π4sin(9π2)14π4sin(π2)=9π16π16=π2(D)


:白努利方程式需以u=y1a作變數變換求解,故選(B)


a0=12πππf(x)dx=12ππ0πdx=π22π=π2an=1πππf(x)cos(nx)dx=π0cos(nx)dx=0bn=1πππf(x)sin(nx)dx=π0sin(nx)dx=[1ncos(nx)]|π0=1ncos(nπ)+1n=1n(1(1)n)f(x)=a0+n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))=π2+n=11n(1(1)n)sin(nx)(D)


P(X1X3)=P(X1)P(X3)P(X3)=P(X1)P(X3)=F(1)F(3)=27171579141114=171014=15(B)


2x=13y=1cxy2=1c(1+4+9+2+8+18)=42c=1c=142pX(x)=3y=1cxy2=cx(1+4+9)=14cx=14×142x=x3E[X]=2x=1xpX(x)=13+2×23=53(B)



公正骰子出現任何點數的機率皆為1/6,因此E[X]=4×16=23,而E[X2]=4×16=23。則Var(X)=E[X2](E[X])2=2349=29,故選(C)


考選部未公布申論題答案,解題僅供參考

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