107年特種考試地方政府公務人員考試試題
等別:三等考試
類科 :電子工程、電力工程
科目:工程數學
類科 :電子工程、電力工程
科目:工程數學
(一)A為正交矩陣⇒AAT=ATA=I⇒[a00bcosθsinθc−sinθcosθ][abc0cosθ−sinθ0sinθcosθ]=I⇒[a2abacabb2+cos2θ+sin2θbcacbcc2+cos2θ+sin2θ]=[a2abacabb2+1bcacbcc2+1]=I⇒{a=±1b=0c=0(二)det(A−λI)=0⇒|a−λ000cosθ−λsinθ0−sinθcosθ−λ|=0⇒(a−λ)(cosθ−λ)2+(a−λ)sin2θ=0⇒(a−λ)((cosθ−λ)2+sin2θ)=(λ−a)(λ2−2cosθ+1)=0⇒λ1=a,λ2+λ3=2cosθ⇒λ1+λ2+λ3=a+2cosθ=±1+2cosθ
解:ty″+(t−1)y′+y=(ty″−y′)+(ty′+y)=(ddt(ty′)−2y′)+(ddt(ty))=ddt(ty′)−2ddty+ddt(ty)=ddt(ty′−2y+ty)=0⇒ty′−2y+ty=C1⇒0⋅y′(0)−2y(0)+0⋅y(0)=0=C1⇒C1=0⇒ty′−2y+ty=0⇒y′+(t−2t)y=0⇒I(x)=e∫t−2tdt=e∫(1−2/t)dt=et+ln1t2=1t2et⇒(1t2ety)′=0⇒1t2ety=C2y(1)=2代入⇒C2=2e⇒1t2ety=2e⇒y=t2e1−t
解:
(一)a0=12π∫π−πx2dx=12π[13x3]|π−π=12π×23π3=π23an=1π∫π−πx2cos(nx)dx=1π[x2nsin(nx)+2xn2cos(nx)−2n3sin(nx)]|π−π=1π[4πn2cos(nπ)]=4n2⋅(−1)nbn=0(∵x2是偶函數,sin是奇函數)f(x)=π23+∞∑n=14n2⋅(−1)n⋅cos(nx)(二)由 Plancherel/Parseval 定理⇒∞∑n=−∞|an|2=12π∫π−π|f(x)|2dx⇒(π23)2+2×∞∑n=−∞(2n2⋅(−1)n)2=12π∫π−πx4dx⇒π49+2×∞∑n=−∞4n4=π45⇒8×∞∑n=−∞1n4=π45−π49=4π445⇒∞∑n=−∞1n4=π490
解:
(一)5張牌都是紅桃的情形共有C135,其它三種花色都有相同情形,因此52張取5張都是同花色的機率為4×C135C525;
(二)5張牌中都沒有Aces的機率為C485C525;只有1張Aces的機率為C41C484C525;取出2張或更多Aces的機率為1−C485C525−C41C484C525
解:M為skew−symmetric⇒MT=−M⇒[0ab10c230]=[0−1−2−a0−3−b−c0]⇒{a=−1b=−2c=−3,故選(C)
解:(2xy3−3y)dx−(3x−3x2y2+6y)dy=0令M(x,y)=2xy3−3y,N(x,y)=−(3x−3x2y2+6y)⇒ddyM(x,y)=6xy2−3=ddxN(x,y)⇒Ψ(x,y)=∫M(x,y)dx+f(y)=∫N(x,y)dy+g(x)⇒Ψ(x,y)=x2y3−3xy+f(y)=x2y3−3xy+3y2+g(x)⇒Ψ(x,y)=x2y3−3xy+3y2=K,故選(C)
解:[1−232−511−4−7](−1)r1+r3,(−2)r1+r2→[1−230−1−50−2−10](−2)r2+r3→[1−230−1−5000],故選(B)
解:e002+1=11=1,故選(C)
解:A=[30−400−1]⇒x1=[3−40],x2=[00−1]y1=x1=[3−40]⇒‖y1‖=5y2=x2−yT1x2‖y1‖2y1=x2=[00−1]⇒‖y2‖=1⇒q1=y1‖y1‖=15[3−40],q2=y2‖y2‖=[00−1]⇒Q=[3/50−4/500−1],R=[‖y1‖qT1x20‖y2‖]=[5001]⇒a=5,b=0,c=1⇒a−b−c=5−1=4,故選(C)
解:[2160113−1123−3−32−9−7](−2)r2+r1,(−1)r2+r3,3r2+r4→[0−102113−1010−2050−10]r3+r1,(−5)r3+r4→[0000113−1010−20000]−r3+r2→[00001031010−20000]⇒{x2=2x4x1+3x3=−x4⇒[x1x2x3x4]=s[10−1/30]+t[02−1/31],s,t∈R[−3010]=−3[10−1/30],[−1201]=−1[10−1/30]+[02−1/31],故選(A)
解:z+1z3−2z2=z+1z2(z−2)⇒z=0,2為奇異點且皆在圓內⇒∮Cz+1z2(z−2)dz=∮Cf(z)dz=2πi(Resz=2f(z)+Resz=0f(z))=2πi(z+1z2|z=2+ddz(z+1z−2)|z=0)=2πi(34+(−3(z−2)2)|z=0)=2πi(34−34)=0,故選(D)
解:(A)[123456789]−4r1+r2,−7r1+r3→[1230−3−60−6−12]−2r2+r3→[1230−3−6000]⇒只有兩個獨立向量(B)只有兩個獨立向量(C)基底只需要3個獨立向量,故選(D)
解:A=P−1[1000−1000−1]P⇒A50=P−1[150000(−1)50000(−1)50]P=P−1[100010001]P=P−1P=I,故選(C)
解:z=3+2i⇒ˉzz=3−2i3+2i=(3−2i)2(3+2i)(3−2i)=5−12i13⇒Im(ˉzz)=Im(5−12i13)=−1213,故選(B)
解:u=xy⇒u′=xy′+y⇒xy′+y=sinx⇒u′=sinx⇒du=sinxdx⇒u=−cosx+c⇒xy=−cosx+c⇒y=−cosx+cx,故選(A)
解:(D)y2=3x=3⋅x=3y1,故選(D)
解:y″+y′+1=2⇒{yh=C1e−λ1t+C2e−λ2t+⋯yp=2⇒y=a(t)=yh+yp⇒limt→∞a(t)=limt→∞(yh+yp)=limt→∞(2+C1e−λ1t+C2e−λ2t+⋯)=2,故選(B)
解:y=∞∑n=0Cnxn+r=C0xr+C1xr+1+C2xr+2+⋯⇒y′=C0rxr−1+C1(r+1)xr+C2(r+2)xr+1+⋯⇒y″=C0r(r−1)xr−2+C1(r+1)rxr−1+C2(r+2)(r+1)xr+⋯⇒x2y″=C0r(r−1)xr+C1(r+1)rxr+1+C2(r+2)(r+1)xr+2+⋯⇒{xy=C0xr+1+C1xr+2+C2xr+3+⋯12y=12C0xr+12C1xr+1+12C2xr+2+⋯(x−12)y=−12C0xr+(C0−12C1)xr+1+(C1−12C2)xr+2+⋯⇒{12xy′=12C0rxr+12C1(r+1)xr+1+12C2(r+2)xr+2+⋯2x2y′=2C0rxr+1+2C1(r+1)xr+2+2C2(r+2)xr+3+⋯x(12+2x)y′=12C0rxr+(2C0r+12C1(r+1))xr+1+(2C1(r+1)+12C2(r+2))xr+2+⋯⇒x2y″+x(12+2x)y′+(x−12)y=(C0r(r−1)−12C0+12C0r)xr+(C1(r+1)+C0−12C1+2C0r+12C1(r+1))xr+1+(C2(r+2)(r+1)+C1−12C2+2C1(r+1)+12C2(r+2))xr+2+⋯⇒C0r(r−1)−12C0+12C0r=0⇒r2−r−12+12r=r2−12r−12=0,故選(A)
解:x″(t)+4x(t)=f(t)⇒L{x″(t)}+4L{x(t)}=L{f(t)}⇒s2L{x(t)}−sx(0)−x′(0)+4L{x(t)}=s(1−e−2πs)s2+4⇒(s2+4)L{x(t)}=s(1−e−2πs)s2+4⇒L{x(t)}=s(1−e−2πs)(s2+4)2=s(s2+4)2−se−2πs(s2+4)2⇒x(t)=L−1{s(s2+4)2}−L−1{se−2πs(s2+4)2}=L−1{14⋅−dds2s2+22}−L−1{se−2πs(s2+4)2}=14tsin(2t)−L−1{e−2πs⋅s(s2+4)2}=14tsin(2t)−14(t−2π)sin(2(t−2π))u(t−2π)⇒x(9π4)=14⋅9π4sin(9π2)−14π4sin(π2)=9π16−π16=π2,故選(D)
解:白努利方程式需以u=y1−a作變數變換求解,故選(B)
解:a0=12π∫π−πf(x)dx=12π∫π0πdx=π22π=π2an=1π∫π−πf(x)cos(nx)dx=∫π0cos(nx)dx=0bn=1π∫π−πf(x)sin(nx)dx=∫π0sin(nx)dx=[−1ncos(nx)]|π0=−1ncos(nπ)+1n=1n(1−(−1)n)⇒f(x)=a0+∞∑n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))=π2+∞∑n=11n(1−(−1)n)sin(nx),故選(D)
解:P(X≤1∣X≤3)=P(X≤1)且P(X≤3)P(X≤3)=P(X≤1)P(X≤3)=F(1)F(3)=27−17157−914−1114=171014=15,故選(B)
解:2∑x=13∑y=1cxy2=1⇒c(1+4+9+2+8+18)=42c=1⇒c=142⇒pX(x)=3∑y=1cxy2=cx(1+4+9)=14cx=14×142x=x3⇒E[X]=2∑x=1xpX(x)=13+2×23=53,故選(B)
解:
公正骰子出現任何點數的機率皆為1/6,因此E[X]=4×16=23,而E[X2]=4×16=23。則Var(X)=E[X2]−(E[X])2=23−49=29,故選(C)
沒有留言:
張貼留言