109年基北區麗山高中特招數學詳解

基北區臺北市立麗山高級中學

109 學年度高級中等學校特色招生考試

數學能力測驗詳解

解：

$$招生前\cases{男童人數:m\\ 女童人數:n \\ m< n\\ {m\over m+n}=a} \Rightarrow 招生後\cases{男童人數:m+k\\ 女童人數:n+k \\  {m+k \over m+n+2k}=b}\\ (4)\bigcirc: b-a= {m+k \over m+n+2k}-{m\over m+n}= {(m+k)(m+n)-m(m+n+2k) \over (m+n)(m+n+2k)} \\ \qquad = {(n-m)k \over (m+n)(m+n+2k)} >0  \Rightarrow b> a\\ 其餘皆不正確，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解： $$\cases{A(-8,-8) \\ B(1,0) \\ C(2,0)} \Rightarrow \cases{\overline{AB}: 9y=8x-8 \Rightarrow 81=8a_1-8 \Rightarrow a_1=11{1\over 8}\\ \overline{AC}: 5y=4x-8 \Rightarrow 45=4a_2-8 \Rightarrow a_2=13{1\over 4}} \\ \Rightarrow a \in [a_1,a_2] = [11{1\over 8},13{1\over 4}]，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}。$$

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解：
$$假設\cases{以甲方式移動a+3次\\ 以乙方式移動a次} \Rightarrow \cases{x坐標移動2(a+3)+a=3a+6 \\ y坐標移動2(a+3)+3a=5a+6} \\\Rightarrow (6,8) \to (12+3a,14+5a) =(51,y) \Rightarrow 12+3a=51 \Rightarrow a=13\\ \Rightarrow y=14+5a= 14+65=79，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

$$\cases{\triangle ABF \Rightarrow \angle AFB+\angle ABF = 180^\circ - \angle FAB=180^\circ -118^\circ=62^\circ; \\ \overline{EF} \parallel \overline{BC} \Rightarrow \angle EFB+ \angle FBC=180^\circ} \Rightarrow \angle F+\angle B= 180^\circ +62^\circ =242^\circ \\ 六邊形內角和=180^\circ(6-2)=720^\circ \Rightarrow \angle D= 720^\circ-(\angle F+ \angle B)-\angle FAB-\angle BCD -\angle DEF \\ =720^\circ-242^\circ-118^\circ-115^\circ-123^\circ=122^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：

$$\overline{BD} =\overline{DC} \Rightarrow \triangle ADC ={1\over 2}\triangle ABC，又{\overline{AG} \over \overline{GD}} ={2\over 1} \Rightarrow \triangle CDG = {1\over 3}\triangle ADC = {1\over 6}\triangle ABC;\\ 假設{\overline{DE} \over \overline{EC}} ={1\over k} \Rightarrow \triangle GDE = {1\over k+1}\triangle GDC ={1\over 6(k+1)} \triangle ABC ={1\over 24}\triangle ABC \Rightarrow k=3 \\ \Rightarrow {\overline{EC} \over \overline{CD}}= {k\over k+1}={3\over 4}，由於\overline{CD}=  \overline{BD}，因此 \overline{BD}: \overline{CE}= 4:3，故選\bbox[ red, 2pt]{(2)}$$

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解：
$$假設同時取到\cases{黑球與白球a次\\ 黑球與紅球b次\\ 紅球與白球c次} \Rightarrow \cases{取到黑球a+b次\\ 取到白球a+c次\\  取到紅球b+c次\\} \\ \Rightarrow 由長條圖得知\cases{a+b=12 \\ a+c=16 \\ b+c=10 \\ a+b+c=(12+16+10)\div 2=19} \Rightarrow \cases{a=9 \\ b=3 \\ c=7}，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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解：
$$\cases{A國(08:00)=台灣(x) \\ A國(x)=台灣(22:00)} \Rightarrow x=(22+8)\div 2= 15 \Rightarrow 台灣比A國快22-15=7小時\\ \Rightarrow 截止時間為台灣(17:00)=A國(17-7=10),故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

$$取\cases{b=2\\ c=-1\\ a=b+c=1}符合題意，可得 b>a >c，故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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解：

$$令直線\overline{DC}交 \overline{BC'}於E點，見上圖；由於\overline{BC'} \parallel \overline{AD} \Rightarrow \angle C'EP = 180^\circ -\angle D=180^\circ -88^\circ =92^\circ;\\ \overline{AP}為對稱軸\Rightarrow \angle BPC= \angle BPC'=108^\circ \Rightarrow \angle EPC' =2\times 108^\circ -180^\circ=36^\circ \\\Rightarrow \angle C' =180^\circ - \angle C'EP - \angle EPC' =180^\circ -92^\circ -36^\circ=52^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：
$$平均值在第二組，即61-80，因此選項(1)與(3)是錯誤；\\又第二組人數少於第一組，因此Q_1在第一組，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解：
$$由於第1次相遇與第2次相遇之間兩人共跑了一圈 =第2次相遇與第3次相遇之間兩人共跑了一圈 \\\Rightarrow \cases{一圈的距離=300+120=420公尺 \\ 小明與文武的速度比為300:120=5:2}\\ \Rightarrow 第1次相遇小明跑了80公尺\Rightarrow 文武跑了80\times{5\over 2}=200公尺 \\ 兩人第12次相遇，文武跑了300\times 11+200=3500 = 420\times 8+140，相當於8圈又140公尺\\，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：
$$\cases{y=2(x+2)(x+a) =2\left[ (x+{a+2\over 2})^2+2a-{(a+2)^2 \over 4} \right] \\ y=3(x-6)(x+b)=3\left[(x+{b-6\over 2})^2-6b-{(b-6)^2 \over 4} \right]} \\ L與M相距10 \Rightarrow {6-b\over 2} +{a+2\over 2}=10 \Rightarrow a-b+8=20 \Rightarrow a-b=12，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

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解： $$令a=b^2 \Rightarrow b=10,11,\dots, 31\\(1) \bigcirc:b=30\Rightarrow a有質因數2,3,5，即m=3>2 \\(2) \bigcirc: b=11 \Rightarrow a有質因數11，即m=1 < 2\\ (3)\bigcirc: 10\sqrt a至少有質因數2,5，即n>2；若a=11^2，則n >m\\，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解：

$$先求最接近小數後第208位的n，令f(n)=\overbrace{1+2+\cdots +n}^{0的數量} + \overbrace{n}^{1的數量} =(n^2+3n)/2\\ \Rightarrow f(19)=209 \Rightarrow \cases{第208位是0\\ 第209位是1 \\ 第210位是0} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{010}，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

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解： $${20172017^2 \over 20172020} ={20172017 \over 20172020}\times 20172017 =(1-{3\over 20172020})\times 20172017 =20172017-3\times {20172017\over 20172020} \\ \approx 20172017-3\times 1=2017201\color{blue}4，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

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解：
$$假設需先倒出a公克的生命之泉酒 \Rightarrow {(800-a)\times 80\% \over 800}= 75\% \Rightarrow 640-0.8a=600 \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{50}$$

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解：
$$第1次抽到白球\cases{第2次抽到黃球\cases{第3次抽到綠球\cases{第4次抽到黃球 \\第4次抽到白球} \\第3次抽到白球\cases{第4次抽到黃球 \\第4次抽到綠球}} \\第2次抽到綠球\cases{第3次抽到黃球\cases{第4次抽到白球 \\第4次抽到綠球} \\第3次抽到白球\cases{第4次抽到黃球 \\第4次抽到綠球}}} \\ 第1次抽到白球且第4次抽到白球的機率為{2\over 8}= \bbox[red, 2pt]{1\over 4}$$

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解：
$$9a^2-b^2 =(3a+b)(3a-b) = 7^2\times 53 = 49\times 53 \Rightarrow (3a+b)(3a-b) = 53\times 49 =(51+2)(51-2) \\ =(3\times 17+2)( 3\times 17-2) \Rightarrow  \cases{a=\bbox[red, 2pt]{17}\\ b=2}$$

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解：

$$直角\triangle OPQ:\cases{\overline{OP}=r=1\\ \overline{OQ}=r/2=1/2} \Rightarrow \angle POB=60^\circ  \Rightarrow \cases{扇形OPBR面積=1^2\pi \times {120^\circ \over 360^\circ}={1\over 3}\pi \\ \triangle OPR面積=\sqrt 3\times {1\over 2}\times {1\over 2} ={\sqrt 3\over 4}} \\ \Rightarrow 藍色面積= {1\over 3}\pi-{\sqrt 3\over 4}\Rightarrow 灰色面積=圓面積-4塊藍色面積=\pi -4({1\over 3}\pi-{\sqrt 3\over 4})\\ =\bbox[red, 2pt]{\sqrt 3-{1\over 3}\pi}$$

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解：

$$\overline{AB}= 2\Rightarrow \overline{BC}= 2\sqrt 2\Rightarrow \overline{BD}= 4\Rightarrow \overline{BE}= 4\sqrt 2 \Rightarrow \overline{BF}= 8 \Rightarrow \overline{DH}= \overline{DB}+\overline{BH} \\ =\overline{DB}+\overline{BF} =4+8=12 \Rightarrow \overline{GD} =\sqrt{\overline{GH}^2+ \overline{DH}^2} =\sqrt{64+144} = \bbox[red, 2pt]{4\sqrt{13}}$$

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解：

$$假設共有n(n=2k+1)項 \Rightarrow \cases{奇數項總和=(a_1+a_{2k+1})(k+1)\div 2 =(a_1+kd)(k+1)\\ 偶數項總和=(a_2+a_{2k})\times k\div 2 =(a_1+kd)\times k} \\ \Rightarrow (a_1+kd)(k+1)= (a_1+kd)\times k+104 \Rightarrow a_1+kd=104 \Rightarrow 13+{7\over 9}k=104 \\ \Rightarrow k=117 \Rightarrow n=2k+1= \bbox[red, 2pt]{235}$$

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解：

$$\cases{\overline{CD} \parallel Y軸 \Rightarrow \angle CDB = \angle DBO \\\overline{CB}=\overline{CD}=半徑=r \Rightarrow \angle CBD=\angle CDB} \Rightarrow \angle DBO =\angle CBD \Rightarrow \overline{BD} 為\angle B 的角平分線 \\ \Rightarrow \cases{\overline{DA}= \overline{DO}= 4 \\ \overline{AB}=\overline{BO}=1} \Rightarrow 直角\triangle CAD \Rightarrow r^2=(r-1)^2+4^2 \Rightarrow r={17\over 2 } \Rightarrow C坐標為\bbox[red, 2pt]{\left( 4,{17\over 2}\right)}$$

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解：

$$\overline{OC}= \overline{OF} \Rightarrow \angle FCO= \angle CFO = (180^\circ-52^\circ)\div 2=64^\circ; \\ 又\cases{\overline{AB} =\overline{OD} \\ \overline{OB}=\overline{CD} \\ \overline{OC}=\overline{OA}} \Rightarrow \triangle ABO \cong \triangle ODC \Rightarrow \angle BOA=\angle FCO =64^\circ \Rightarrow \angle EOA = 64^\circ-28^\circ =36^\circ\\ \overline{OA}=\overline{OE} \Rightarrow  \angle A= (180^\circ-36^\circ)\div 2=72^\circ = \angle COD (\because \triangle ABO \cong \triangle ODC) = 52^\circ+ \angle FOD\\ \Rightarrow \angle FOD=72^\circ-52^\circ =\bbox[red,2pt]{20^\circ}$$

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解：

$$直角\triangle ABC 面積={1\over 2}\overline{AB}\times\overline{BC} = {1\over 2} \overline{AC} \times r \Rightarrow 4\times 3=5r \Rightarrow r=12/5\\ \Rightarrow \cases{上圓錐體表面積=rh_1\pi ={48\over 5}\pi \\ 下圓錐體表面積=rh_2\pi ={36\over 5}\pi} \Rightarrow 總表面積={48\over 5}\pi +{36\over 5}\pi =\bbox[red, 2pt]{{84 \over 5}\pi}$$

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解：

$$梯形面積=\cases{\triangle ODA+ \triangle OAB+ \triangle OBC ={1\over 2}(3r+2r+4r)={9\over 2}r \\ {1\over 2} r(\overline{AB}+\overline{CD}) ={1\over 2}r(2+\overline{CD})} \Rightarrow {9\over 2}r={1\over 2}r(2+\overline{CD}) \\ \Rightarrow \overline{CD}=7$$

$$\cases{\overline{DE} =\sqrt{3^2-r^2} \\ \overline{EF}=\overline{AB}=2 \\ \overline{FC} =\sqrt{4^2-r^2}} \Rightarrow \overline{DC}=\overline{DE} +\overline{EF} + \overline{FC} \Rightarrow 7=\sqrt{3^2-r^2}+2+\sqrt{4^2-r^2} \Rightarrow r=12 /5\\ \Rightarrow 梯形面積={9\over 2}r =\bbox[red, 2pt]{54 \over 5}$$

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- END -