臺灣警察專科學校專科警員班二十八期(正期學生組)
新生入學考試甲組數學科試題
新生入學考試甲組數學科試題
壹、單選題
解:(log23)⋅(log37)⋅(log78)=log3log2×log7log3×log8log7=log8log2=log28=3,故選(C)
解:cos1590∘=cos(360∘×4+150∘)=cos150∘=−cos30∘=−√32,故選(D)
解:令s=(¯AB+¯BC+¯AC)÷2=(5+6+7)÷2=9⇒△ABC面積=√s(s−¯AB)(s−¯BC)(s−¯AC)=√9(9−5)(9−6)(9−7)=√9×4×3×2=6√6,故選(B)
解:
{(A)log27>0(B)log37>0(C)log0.27=log7log0.2=log7log2−log10=log7log2−1<0(D)log0.37=log7log3−1<0,又log27>log37,因此(A)最大,故選(A)
解:與圓相切代表圓心(0,0)至直線的距離等於圓半徑長(5),只有(B)符合此條件,故選(B)
解:球S:x2+y2+z2=49⇒{球心O(0,0,0)球半徑R=7⇒a=dist(O,E)=|12√22+12+(−2)2|=4令圓半徑r⇒R2=r2+a2⇒49=r2+16⇒r2=33⇒圓面積=r2π=33π,故選(D)
解:
令A為原點,各點坐標如上圖⇒{A(0,0,0)B(2,0,0)D(0,3,0)E(0,0,3)⇒{→AB=(2,0,0)→AD=(0,3,0)→EB=(2,0,−3)→ED=(0,3,−3)⇒{→u=→AB×→AD=(0,0,6)→v=→EB×→ED=(9,6,6)⇒cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=366×3√17=2√17⇒sinθ=√13√17,故選(D)
解:|4×2−3×3+6√42+(−3)2|=55=1,故選(A)。
解:→AP=x→AB+y→AC={2→AD+y→ACx→AB+32→AE⇒{2x+y=1x+32y=1⇒{x=1/4y=1/2,故選(C)。
解:
1=180∘π⇒{sin1=sin180∘π≈sin57∘sin2=sin2×180∘π≈sin114∘=sin66∘sin3=sin3×180∘π≈sin171∘=sin9∘sin4=sin4×180∘π≈sin228∘<0⇒sin2最大,故選(B)
解:由題意意知:{a1+2b1+3c1=d1a2+2b2+3c2=d2a3+2b3+3c3=d3⇒{a1⋅4+2b1⋅4+3c1⋅4=4d1a2⋅4+2b2⋅4+3c2⋅4=4d2a3⋅4+2b3⋅4+3c3⋅4=4d3⇒(4,4,4)是{a1x+2b1y+3c1z=4d1a2x+2b2y+3c2z=4d2a3x+2b3y+3c3z=4d3的解,故選(D)
解:|1−2321−5a−54|=0⇒4−30+10a−3a+16−25=0⇒a=5,故選(D)
解:
此題相當於求兩圖形{y=3sinxy=x的交點數量;令Ak為y=3sinx在第一象限的極大值坐標,即Ak=(π2+2kπ,3),k=0,1,2,…,則直線¯OAk的斜率mk=3π2+2kπ⇒{m0=6π>1m1=65π<1直線y=x的斜率m=1⇒m1<m<m0⇒兩圖形在第1象限有一個交點;由於兩圖形皆過原點且對稱原點,因此在第3象限也有一個交點,總共有3個交點,故選(A)。
解:
tanα,tanβ為x2+5x+2=0的兩根⇒{tanα+tanβ=−5tanαtanβ=2⇒tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−5−1=5⇒{sin(α+β)=5√26cos(α+β)=1√26⇒sin2(α+β)+4sin(α+β)cos(α+β)+7cos2(α+β)=2526+2026+726=5226=2,故選(B)。
解:f(x)=√3sinx−cosx+1=2(√32sinx−12cosx)+1=2(cosysinx−sinycosx)+1=2sin(x−y)+1⇒−1≤f(x)≤3,故選(C)
解:a=2+2i1+√3i⇒a2=√3−i⇒a4=2−2√3i⇒a8=−8−8√3i⇒a12=(2−2√3i)(−8−8√3i)=−64,故選(D)
解:{取得1元的機率=1010+6+4=12取得5元的機率=610+6+4=310取得10元的機率=410+6+4=210⇒期望值=1×12+5×310+10×210=4,故選(D)
解:{3球皆白球的機率=C33/C1233球皆黑球的機率=C43/C1233球皆紅球的機率=C53/C123⇒3球皆同色的機率=(C33+C43+C53)/C123=15220=344,故選(B)
解:log12100=100log12=100(log3+2log2)=100(0.4771+0.602)=107.91⇒它是107+1=108位的正整數,故選(B)
解:
利用柯西不等式:(x2+y2+z2)(62+22+32)≥(6x+2y+3z)2⇒9×49≥(6x+2y+3z)2⇒−21≤6x+2y+3z≤21⇒最大值為21,故選(C)
解:x2+2x+7=(x+1)2+6≥6⇒(x2+2x+7)(x+1)(x+2)<0⇒(x+1)(x+2)<0⇒−2<x<−1,故選(A)
解:A=[3512]⇒det(A)=6−5=1⇒A−1=[2−5−13]=[abcd]⇒{c=−1d=3⇒c+d=−1+3=2,故選(A)
解:支持廢除死刑且無政黨傾向的比率支持廢除死刑的比率=0.2×0.40.4×0.6+0.4×0.2+0.2×0.4=0.080.4=0.2=15,故選(B)。
解:(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)全部−(0,0,0)=38−1=37,故選(C)
解:
P為底面正六邊形的中心原點,正六邊形面積=6個正△面積=6×△PAB=6×(r×√32r×12)=3√32r2在直角△APO⇒¯OP=√¯OA2−¯AP2=√36−r2⇒正六角錐體積16×3√32r2×√36−r2=√34r2√36−r2=√34√36r4−r6;令f(r)=36r4−r6⇒f′(r)=144r3−6r5=6r3(24−r2)⇒r2=24時,f(r)有極大值,即r=√24=2√6,故選(D)
解:A=[100030002]⇒A3=[130003300023]=[1000270008]⇒b=27,故選(D)
解:{→u=→AB=(−1,0,3)→v=平面7x+4y−4z=0的法向量=(7,4,−4)⇒→n=→u×→v=(−1,0,3)×(7,4,−4)=(−12,17,−4)⇒E:法向量為→n且過A(2,1,−1)⇒E:−12(x−2)+17(y−1)−4(z+1)=0⇒12x−17y+4z−3=0,故選(B)
解:y=f(x)=x3−6x2+9x−2⇒f′(x)=3x2−12x+9⇒f″(x)=6x−12⇒f″(x)=0⇒6x−12=0⇒x=2⇒反曲點(2,f(2))=(2,0),故選(C)
解:R=∫21f(x)dx=∫21x2dx=[13x3]|21=13(8−1)=73,故選(C)
解:∫10f2(x)πdx=π∫10xdx=π2,故選(A)
貳、多重選擇題
解:ω=cos2π5+isin2π5⇒ω5=cos2π+isin2π=1(A)×:ω5=1⇒ω5−1=0⇒(ω−1)(ω4+ω3+ω2+ω+1)=0⇒ω4+ω3+ω2+ω+1=0⇒ω4+ω3+ω2+ω=−1≠1(B)◯:ω5=1⇒ω10=1(C)×:(1−ω)(1−ω4)(1−ω2)(1−ω3)=(1−ω−ω4+ω5)(1−ω2−ω3+ω5)=(2−ω−ω4)(2−ω2−ω3)=4−2ω2−2ω3−2ω+ω3+ω4−2ω4+ω6+ω7=4−2ω−2ω2−ω3−ω4+ω6+ω7=4−2ω−2ω2−ω3−ω4+ω+ω2=4−ω−ω2−ω3−ω4=4−(−1)=5≠1(D)◯:(1+ω)(1+ω4)(1+ω2)(1+ω3)=(1+ω+ω4+1)(1+ω2+ω3+1)=(2+ω+ω4)(2+ω2+ω3)=4+2ω+2ω2+3ω3+3ω4+ω6+ω7=4+3(ω+ω2+ω3+ω4)=4+3×(−1)=1(E)×:11+ω+11+ω2+11+ω3+11+ω4=(1+ω2)(1+ω3)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω3)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω2)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω2)(1+ω3)(1+ω)(1+ω2)(1+ω3)(1+ω4)=(1+ω2)(1+ω3)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω3)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω2)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω2)(1+ω3)=(2+ω2+ω3)(1+ω4)+(2+ω+ω4)(1+ω3)+(2+ω+ω4)(1+ω2)+(2+ω2+ω3)(1+ω)=(2+ω2+ω3)(2+ω+ω4)+(2+ω+ω4)(2+ω2+ω3)=2(2+ω2+ω3)(2+ω+ω4)=2(4+3(ω+ω2+ω3+ω4))=2(4−3)=2≠1,故選(BD)
解:
y=log2x圖形只經過一、四象限,為一遞增函數(A)◯:y=2為一水平線,與y=log2x交於(4,2)(B)◯:x+y=2為左上右下直線,與遞增圖形只會交於一點(C)×:log2x=x+2⇒4×2x=x⇒無解,即無交點(D)×:2x>log2x⇒兩圖形不會有交點(E)◯:log0.5x=−log2x⇒兩圖形對稱於X軸,即上下對稱,並交於(1,0),故選(ABE)
解:(A)×:z=3為一平面(B)×:2x+3y=6為一平面(C)◯:x−32=y−4−3=4−z−1≡(2t+3,−3t+4,t+4)為一直線(D)◯:不平行的兩平面交集為一直線(E)◯:(2−6t,5,−9+8t)為一直線,故選(CDE)
解:(B)×:f′(1)=limh→0f(1+h)−f(1)h=limh→0|h|h=±1⇒f′(1)不存在其餘導數皆存在,故選(ACDE)公布的答案是(ACE)
解:
(A)◯:|123102030306090|−10r1+r2→|123000306090|=0(B)◯:|123456789|−4r1+r2,−7r1+r3→|1230−3−60−6−12|−2r2+r3→|1230−3−6000|=0(C)◯:|123234345|−2r1+r2,−3r1+r3→|1230−1−20−2−4|−2r2+r3→|1230−1−2000|=0(D)×:|111234223242|−c1+c2,−c1+c3→|10021222512|−2c2+c3→|1002102252|=2≠0(E)◯:|6−931420−34−562333|=6|2−31710−17−562333|−2c3+c1,3c3+c2→6|00141−41−17−12212233|c1+c2→6|001410−17−122033|=0,故選(ABCE)
解:f(x)=x3−3x2+7⇒f′(x)=3x2−6x⇒f′(x)≥0⇒3x2−6x≥0⇒3x(x−2)≥0⇒x≥2或x≤0,故選(ABE)
解:(A)×:{32π<θ<2πcosθ=35⇒sinθ=−45(B)×:32π<θ<2π⇒34π<θ/2<π⇒cosθ2<0⇒cosθ=cos(2⋅θ2)=2cos2θ2−1=35⇒cos2θ2=45⇒cosθ2=−2√5(C)◯:sinθ=2sinθ2cosθ2=−45⇒sinθ2=−45×12×(−√52)=1√5(D)◯:cos2θ=2cos2θ−1=2×925−1=−725(E)◯:sin2θ=2sinθcosθ=2×(−45)×35=−2425,故選(CDE)
解:
(A)◯:面積=4×4×2×12=16(B)◯:f(x,y)=x+y⇒{f(A)=−2f(B)=4f(C)=2f(D)=−4⇒最大值為4(C)◯:g(x,y)=x−y⇒{g(A)=2g(B)=4g(C)=−2g(D)=−4⇒最小值=−4(D)◯:h(x,y)=x+3y⇒{h(A)=−6h(B)=4h(C)=6h(D)=−4⇒最大值=6(E)◯:p(x,y)=x−3y⇒{p(A)=6p(B)=4p(C)=−6p(D)=−4⇒最小值=−6,故選(ABCDE)
解:f(x)=2x3+6x2+13⇒f′(x)=6x2+12x⇒f″(x)=12x+12;f′(x)=0⇒6x2+12x=0⇒6x(x+2)=0⇒x=0,−2⇒{f″(0)=12≠0f″(−2)=−12≠0⇒x=0,−2有極值,故選(CE)
解:(A)◯:{A2={2,4,6,…,60}⇒P(A2)=30/60=1/2A3={3,6,9,…,60}⇒P(A3)=20/60=1/3A2∩A3={6,12,18,…,60}⇒P(A2∩A3)=10/60=1/6⇒P(A2∩A3)=P(A2)P(A3)(B)×:{A7={7,14,…,56}⇒P(A2)=8/60=2/15A3∩A7={21,42}⇒P(A3∩A7)=2/60=1/30⇒P(A3)P(A7)=2/45≠1/30=P(A3∩A7)(C)◯:A2∩A7={14,28,42,56}⇒P(A2∩A7)=4/60=1/15=P(A2)P(A7)(D)◯:{A5={5,10,…,60}⇒P(A5)=12/60=1/5A2∩A3∩A5={30,60}⇒P(A2∩A3∩A5)=2/60=1/30⇒P(A2)P(A3)P(A5)=12×13×15=130=P(A2∩A3∩A5)(E)×:A2∩A3∩A7={42}⇒P(A2∩A3∩A7)=1/60但P(A2)P(A3)P(A7)=12×13×215=145≠1/60故選(ACD)
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