臺灣警察專科學校專科警員班二十八期(正期學生組)
新生入學考試甲組數學科試題
新生入學考試甲組數學科試題
壹、單選題
解:(log23)⋅(log37)⋅(log78)=log3log2×log7log3×log8log7=log8log2=log28=3,故選(C)
解:cos1590∘=cos(360∘×4+150∘)=cos150∘=−cos30∘=−√32,故選(D)
解:令s=(¯AB+¯BC+¯AC)÷2=(5+6+7)÷2=9⇒△ABC面積=√s(s−¯AB)(s−¯BC)(s−¯AC)=√9(9−5)(9−6)(9−7)=√9×4×3×2=6√6,故選(B)
解:
{(A)log27>0(B)log37>0(C)log0.27=log7log0.2=log7log2−log10=log7log2−1<0(D)log0.37=log7log3−1<0,又log27>log37,因此(A)最大,故選(A)
解:與圓相切代表圓心(0,0)至直線的距離等於圓半徑長(5),只有(B)符合此條件,故選(B)
解:球S:x2+y2+z2=49⇒{球心O(0,0,0)球半徑R=7⇒a=dist(O,E)=|12√22+12+(−2)2|=4令圓半徑r⇒R2=r2+a2⇒49=r2+16⇒r2=33⇒圓面積=r2π=33π,故選(D)
解:
令A為原點,各點坐標如上圖⇒{A(0,0,0)B(2,0,0)D(0,3,0)E(0,0,3)⇒{→AB=(2,0,0)→AD=(0,3,0)→EB=(2,0,−3)→ED=(0,3,−3)⇒{→u=→AB×→AD=(0,0,6)→v=→EB×→ED=(9,6,6)⇒cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=366×3√17=2√17⇒sinθ=√13√17,故選(D)
解:|4×2−3×3+6√42+(−3)2|=55=1,故選(A)。
解:→AP=x→AB+y→AC={2→AD+y→ACx→AB+32→AE⇒{2x+y=1x+32y=1⇒{x=1/4y=1/2,故選(C)。
解:
1=180∘π⇒{sin1=sin180∘π≈sin57∘sin2=sin2×180∘π≈sin114∘=sin66∘sin3=sin3×180∘π≈sin171∘=sin9∘sin4=sin4×180∘π≈sin228∘<0⇒sin2最大,故選(B)
解:由題意意知:{a1+2b1+3c1=d1a2+2b2+3c2=d2a3+2b3+3c3=d3⇒{a1⋅4+2b1⋅4+3c1⋅4=4d1a2⋅4+2b2⋅4+3c2⋅4=4d2a3⋅4+2b3⋅4+3c3⋅4=4d3⇒(4,4,4)是{a1x+2b1y+3c1z=4d1a2x+2b2y+3c2z=4d2a3x+2b3y+3c3z=4d3的解,故選(D)
解:|1−2321−5a−54|=0⇒4−30+10a−3a+16−25=0⇒a=5,故選(D)
解:
此題相當於求兩圖形{y=3sinxy=x的交點數量;令Ak為y=3sinx在第一象限的極大值坐標,即Ak=(π2+2kπ,3),k=0,1,2,…,則直線¯OAk的斜率mk=3π2+2kπ⇒{m0=6π>1m1=65π<1直線y=x的斜率m=1⇒m1<m<m0⇒兩圖形在第1象限有一個交點;由於兩圖形皆過原點且對稱原點,因此在第3象限也有一個交點,總共有3個交點,故選(A)。
解:
tanα,tanβ為x2+5x+2=0的兩根⇒{tanα+tanβ=−5tanαtanβ=2⇒tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−5−1=5⇒{sin(α+β)=5√26cos(α+β)=1√26⇒sin2(α+β)+4sin(α+β)cos(α+β)+7cos2(α+β)=2526+2026+726=5226=2,故選(B)。
解:f(x)=√3sinx−cosx+1=2(√32sinx−12cosx)+1=2(cosysinx−sinycosx)+1=2sin(x−y)+1⇒−1≤f(x)≤3,故選(C)
解:a=2+2i1+√3i⇒a2=√3−i⇒a4=2−2√3i⇒a8=−8−8√3i⇒a12=(2−2√3i)(−8−8√3i)=−64,故選(D)
解:{取得1元的機率=1010+6+4=12取得5元的機率=610+6+4=310取得10元的機率=410+6+4=210⇒期望值=1×12+5×310+10×210=4,故選(D)
解:{3球皆白球的機率=C33/C1233球皆黑球的機率=C43/C1233球皆紅球的機率=C53/C123⇒3球皆同色的機率=(C33+C43+C53)/C123=15220=344,故選(B)
解:log12100=100log12=100(log3+2log2)=100(0.4771+0.602)=107.91⇒它是107+1=108位的正整數,故選(B)
解:
利用柯西不等式:(x2+y2+z2)(62+22+32)≥(6x+2y+3z)2⇒9×49≥(6x+2y+3z)2⇒−21≤6x+2y+3z≤21⇒最大值為21,故選(C)
解:x2+2x+7=(x+1)2+6≥6⇒(x2+2x+7)(x+1)(x+2)<0⇒(x+1)(x+2)<0⇒−2<x<−1,故選(A)
解:A=[3512]⇒det(A)=6−5=1⇒A−1=[2−5−13]=[abcd]⇒{c=−1d=3⇒c+d=−1+3=2,故選(A)
解:支持廢除死刑且無政黨傾向的比率支持廢除死刑的比率=0.2×0.40.4×0.6+0.4×0.2+0.2×0.4=0.080.4=0.2=15,故選(B)。
解:(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)全部−(0,0,0)=38−1=37,故選(C)
解:
P為底面正六邊形的中心原點,正六邊形面積=6個正△面積=6×△PAB=6×(r×√32r×12)=3√32r2在直角△APO⇒¯OP=√¯OA2−¯AP2=√36−r2⇒正六角錐體積16×3√32r2×√36−r2=√34r2√36−r2=√34√36r4−r6;令f(r)=36r4−r6⇒f′(r)=144r3−6r5=6r3(24−r2)⇒r2=24時,f(r)有極大值,即r=√24=2√6,故選(D)
解:A=[100030002]⇒A3=[130003300023]=[1000270008]⇒b=27,故選(D)
解:{→u=→AB=(−1,0,3)→v=平面7x+4y−4z=0的法向量=(7,4,−4)⇒→n=→u×→v=(−1,0,3)×(7,4,−4)=(−12,17,−4)⇒E:法向量為→n且過A(2,1,−1)⇒E:−12(x−2)+17(y−1)−4(z+1)=0⇒12x−17y+4z−3=0,故選(B)
解:y=f(x)=x3−6x2+9x−2⇒f′(x)=3x2−12x+9⇒f″(x)=6x−12⇒f″(x)=0⇒6x−12=0⇒x=2⇒反曲點(2,f(2))=(2,0),故選(C)
解:R=∫21f(x)dx=∫21x2dx=[13x3]|21=13(8−1)=73,故選(C)
解:∫10f2(x)πdx=π∫10xdx=π2,故選(A)
貳、多重選擇題
解:ω=cos2π5+isin2π5⇒ω5=cos2π+isin2π=1(A)×:ω5=1⇒ω5−1=0⇒(ω−1)(ω4+ω3+ω2+ω+1)=0⇒ω4+ω3+ω2+ω+1=0⇒ω4+ω3+ω2+ω=−1≠1(B)◯:ω5=1⇒ω10=1(C)×:(1−ω)(1−ω4)(1−ω2)(1−ω3)=(1−ω−ω4+ω5)(1−ω2−ω3+ω5)=(2−ω−ω4)(2−ω2−ω3)=4−2ω2−2ω3−2ω+ω3+ω4−2ω4+ω6+ω7=4−2ω−2ω2−ω3−ω4+ω6+ω7=4−2ω−2ω2−ω3−ω4+ω+ω2=4−ω−ω2−ω3−ω4=4−(−1)=5≠1(D)◯:(1+ω)(1+ω4)(1+ω2)(1+ω3)=(1+ω+ω4+1)(1+ω2+ω3+1)=(2+ω+ω4)(2+ω2+ω3)=4+2ω+2ω2+3ω3+3ω4+ω6+ω7=4+3(ω+ω2+ω3+ω4)=4+3×(−1)=1(E)×:11+ω+11+ω2+11+ω3+11+ω4=(1+ω2)(1+ω3)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω3)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω2)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω2)(1+ω3)(1+ω)(1+ω2)(1+ω3)(1+ω4)=(1+ω2)(1+ω3)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω3)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω2)(1+ω4)+(1+ω)(1+ω2)(1+ω3)=(2+ω2+ω3)(1+ω4)+(2+ω+ω4)(1+ω3)+(2+ω+ω4)(1+ω2)+(2+ω2+ω3)(1+ω)=(2+ω2+ω3)(2+ω+ω4)+(2+ω+ω4)(2+ω2+ω3)=2(2+ω2+ω3)(2+ω+ω4)=2(4+3(ω+ω2+ω3+ω4))=2(4−3)=2≠1,故選(BD)
解:
y=log2x圖形只經過一、四象限,為一遞增函數(A)◯:y=2為一水平線,與y=log2x交於(4,2)(B)◯:x+y=2為左上右下直線,與遞增圖形只會交於一點(C)×:log2x=x+2⇒4×2x=x⇒無解,即無交點(D)×:2x>log2x⇒兩圖形不會有交點(E)◯:log0.5x=−log2x⇒兩圖形對稱於X軸,即上下對稱,並交於(1,0),故選(ABE)
解:(A)×:z=3為一平面(B)×:2x+3y=6為一平面(C)◯:x−32=y−4−3=4−z−1≡(2t+3,−3t+4,t+4)為一直線(D)◯:不平行的兩平面交集為一直線(E)◯:(2−6t,5,−9+8t)為一直線,故選(CDE)
解:(B)×:f′(1)=lim公布的答案是(ACE)
解:
(A) \bigcirc: \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 10 & 20 & 30 \\ 30 & 60 & 90 \end{vmatrix} \xrightarrow{-10r_1+r_2} \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 \\ 30 & 60 & 90 \end{vmatrix}=0 \\(B) \bigcirc: \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \xrightarrow{-4r_1+r_2,-7r_1+r_3} \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{vmatrix} \xrightarrow {-2r_2+r_3} \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}=0 \\(C)\bigcirc: \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} \xrightarrow{-2r_1+r_2,-3r_1+r_3} \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \end{vmatrix} \xrightarrow {-2r_2+r_3} \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}=0 \\(D)\times: \begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 4 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 \end{vmatrix} \xrightarrow{-c_1+c_2,-c_1+c_3} \begin{vmatrix}1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2 \\ 2^2 & 5 & 12 \end{vmatrix} \xrightarrow{-2c_2+c_3} \begin{vmatrix}1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 2^2 & 5 & 2 \end{vmatrix}=2\ne 0\\(E) \bigcirc: \begin{vmatrix}6 & -9 & 3\\ 14 & 20 & -34 \\ -56 & 23 & 33 \end{vmatrix} =6 \begin{vmatrix}2 & -3 & 1\\ 7 &10 & -17 \\ -56 & 23 & 33 \end{vmatrix} \xrightarrow{-2c_3+c_1,3c_3+c_2} 6 \begin{vmatrix}0 & 0 & 1\\ 41 &-41 & -17 \\ -122 & 122 & 33 \end{vmatrix} \\ \qquad \xrightarrow{c_1+c_2} 6 \begin{vmatrix}0 & 0 & 1\\ 41 & 0 & -17 \\ -122 & 0 & 33 \end{vmatrix} =0\\,故選\bbox[red,2pt]{(ABCE)}
解:f(x)=x^3-3x^2+7 \Rightarrow f'(x)=3x^2-6x \Rightarrow f'(x)\ge 0 \Rightarrow 3x^2-6x \ge 0 \Rightarrow 3x(x-2) \ge 0 \\ \Rightarrow x\ge 2 或x \le 0,故選\bbox[red,2pt]{(ABE)}
解:(A) \times: \cases{{3\over 2}\pi < \theta < 2\pi \\ \cos \theta={3\over 5}} \Rightarrow \sin \theta =-{4\over 5} \\(B) \times: {3\over 2}\pi < \theta < 2\pi \Rightarrow {3\over 4}\pi < \theta/2 < \pi \Rightarrow \cos {\theta \over 2}< 0 \Rightarrow \cos \theta= \cos (2\cdot {\theta \over 2}) =2\cos ^2{\theta \over 2}-1={3\over 5} \\\qquad \Rightarrow \cos ^2{\theta \over 2}= {4\over 5} \Rightarrow \cos {\theta \over 2} =-{2\over \sqrt 5} \\(C)\bigcirc: \sin \theta = 2\sin{\theta \over 2} \cos {\theta \over 2} = -{4\over 5} \Rightarrow \sin{\theta \over 2}=-{4\over 5}\times {1\over 2}\times (-{\sqrt 5 \over 2}) ={1\over \sqrt 5} \\(D) \bigcirc: \cos 2\theta = 2\cos^2\theta -1=2\times {9\over 25}-1 = -{7\over 25} \\(E) \bigcirc: \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta= 2\times (-{4\over 5})\times {3\over 5}= -{24\over 25}\\,故選\bbox[red,2pt]{(CDE)}
解:
(A)\bigcirc: 面積= 4\times 4\times 2\times {1\over 2}=16 \\(B) \bigcirc: f(x,y)=x+y \Rightarrow \cases{f(A)=-2 \\f(B)=4 \\ f(C)=2 \\ f(D)=-4} \Rightarrow 最大值為4 \\ (C) \bigcirc:g(x,y)=x-y \Rightarrow \cases{g(A)=2 \\ g(B)=4 \\ g(C)=-2 \\ g(D)=-4} \Rightarrow 最小值=-4 \\(D)\bigcirc: h(x,y)=x+3y \Rightarrow \cases{h(A)=-6 \\ h(B)=4 \\ h(C)=6 \\ h(D)=-4} \Rightarrow 最大值=6 \\(E) \bigcirc: p(x,y)=x-3y \Rightarrow \cases{p(A)=6 \\ p(B)=4 \\ p(C)=-6 \\ p(D)=-4} \Rightarrow 最小值=-6\\,故選\bbox[red,2pt]{(ABCDE)}
解:f(x)=2x^3+6x^2+13 \Rightarrow f'(x)=6x^2+12x \Rightarrow f''(x)=12x+12;\\ f'(x)=0 \Rightarrow 6x^2+12x=0 \Rightarrow 6x(x+2)=0 \Rightarrow x=0,-2 \Rightarrow \cases{f''(0)=12 \ne 0\\ f''(-2)=-12 \ne 0} \\ \Rightarrow x=0,-2有極值,故選\bbox[red,2pt]{(CE)}
解:(A) \bigcirc:\cases{A_2=\{2,4,6,\dots,60\} \Rightarrow P(A_2)=30/60=1/2 \\A_3=\{3,6,9,\dots, 60\} \Rightarrow P(A_3)=20/60=1/3 \\ A_2\cap A_3= \{6,12,18,\dots,60\} \Rightarrow P(A_2\cap A_3)=10/60=1/6}\\ \Rightarrow P(A_2\cap A_3)=P(A_2)P(A_3) \\(B)\times: \cases{A_7=\{7,14,\dots,56\} \Rightarrow P(A_2)=8/60=2/15 \\A_3\cap A_7= \{21,42\} \Rightarrow P(A_3\cap A_7)=2/60=1/30} \\\Rightarrow P(A_3)P(A_7)=2/45 \ne 1/30 = P(A_3 \cap A_7) \\(C) \bigcirc: A_2\cap A_7=\{ 14,28,42,56\} \Rightarrow P(A_2\cap A_7)=4/60=1/15 = P(A_2)P(A_7) \\(D) \bigcirc: \cases{A_5=\{5,10,\dots,60\} \Rightarrow P(A_5)=12/60=1/5 \\A_2\cap A_3 \cap A_5=\{30,60\} \Rightarrow P(A_2\cap A_3 \cap A_5)=2/60=1/30} \\\qquad \Rightarrow P(A_2)P(A_3)P(A_5)={1\over 2}\times {1\over 3}\times {1\over 5} ={1\over 30} =P(A_2\cap A_3 \cap A_5) \\(E)\times: A_2\cap A_3 \cap A_7= \{42\} \Rightarrow P(A_2\cap A_3 \cap A_7)=1/60 \\\qquad 但 P(A_2)P(A_3)P(A_7) ={1\over 2}\times {1\over 3}\times {2\over 15}={1\over 45}\ne 1/60\\故選\bbox[red, 2pt]{(ACD)}
-- END --
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