109年基北區師大附中特招數學詳解

基北區國立臺灣師範大學附屬高級中學

109 學年度高級中等學校特色招生考試

數學能力測驗詳解

解：

$$正方形面積=115=x^2 \\ 中間矩形:\cases{周長=2(x+a+c)=4x \Rightarrow c=x-a\\ 面積=90=c(x+a) \Rightarrow c=90/(x+a)} \Rightarrow x-a={90\over x+a} \Rightarrow x^2-a^2=90 \\\Rightarrow a^2=x^2-90 =115-90=25 \Rightarrow a=5;\\右邊矩形:\cases{周長=2(x-b+d)=4x \Rightarrow c=x+b\\ 面積=99=d(x-b) \Rightarrow d=99/(x-b)} \Rightarrow x+b={99\over x-b} \Rightarrow x^2-b^2=99 \\\Rightarrow b^2=x^2-99  =115-99=16 \Rightarrow b=4;\\ 因此a:b=5:4，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

過B點作直線$\overline{BF}$，使得$\overline{CD}\parallel \overline{BF}$，見上圖；由於$\overline{CD}\parallel \overline{BF} \Rightarrow \angle FBE=\angle C > \angle ABE$，又$\angle B+\angle ABC=180^\circ$，因此$\angle B+\angle C > 180^\circ$；

同理作$\overline{DH}\parallel \overline{BC}$，則$\angle GDH=\angle C < \angle GDA$，又$\angle D+\angle GDA=180^\circ \Rightarrow \angle D+\angle C< 180^\circ$；
故選$\bbox[red, 2pt]{(3)}$。

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解：

$$\overline{GD}是\overline{AC}的中垂線\Rightarrow \overline{AD} =\overline{DC}=5; 在直角\triangle ABD中: \cases{\overline{AD}=5 \\ \overline{AB}=3} \Rightarrow \overline{BD}=4 \\ \Rightarrow \overline{BF} =\overline{FD} =\overline{BD}\div 2=2 (\because \overline{EF}是\overline{BD}的中垂線)\\ 又\overline{EF}\parallel \overline{AB} \Rightarrow {\overline{CE} \over \overline{AC}} ={\overline{CF} \over \overline{CB}} = {5+2\over 5+4} ={7 \over 9} \Rightarrow {\overline{CE} \over \overline{AE}}={ 7\over 9-7} ={7\over 2} \Rightarrow \overline{AE}: \overline{CE}=2:7，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：
$$\cases{P((白,紅)) ={1\over 6} \times {5\over 6} ={5\over 36}\\ P((紅,白)) ={5\over 6} \times {1\over 6} ={5\over 36}} \Rightarrow P((白,紅))+P((紅,白)) ={10\over 36} ={5\over 18}，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解：

$$延長\overline{ED}及\overline{BA}交於C'，並令\cases{\overline{AE}=a \\\overline{DE}=b \\ \overline{AB}=c}見上圖；\\ \cases{\overline{ED} \parallel \overline{AC} \Rightarrow \angle DEC =\angle ECA =60^\circ \Rightarrow \angle C'EA=60^\circ \\ \overline{AB} \parallel \overline{EC} \Rightarrow \angle BAC =\angle ACE =60^\circ \Rightarrow \angle C'AE=60^\circ } \Rightarrow \triangle CAE \cong \triangle C'EA \\ \Rightarrow C'AEC 為菱形 \Rightarrow \text{dist}(\overline{C'D}, \overline{AC}) = \text{dist}(\overline{C'B}, \overline{EC}) =h \\ \Rightarrow \cases{梯形ACDE面積=27+15=42 = (a+b)\times h\div 2 \\ 梯形ACDC'面積=27+15+27=69 = (2a+b)\times h\div 2} \Rightarrow {a+b\over 2a+b} ={14\over 23} \\\Rightarrow b={5\over 9}a \Rightarrow 2b > a \Rightarrow \overline{AE} < 2\overline{DE} \\同理\cases{梯形ABCE面積=27+12=39 = (a+c)\times h\div 2 \\ 梯形BCEC'面積=27+12+27=66 = (2a+c)\times h\div 2} \Rightarrow {a+c\over 2a+c} ={13\over 22} \\\Rightarrow c={4\over 9}a \Rightarrow 2c < a \Rightarrow \overline{AE} > 2\overline{AB}\\ ，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

$$\cases{\triangle OAB為等腰\\ \angle OAB=40^\circ } \Rightarrow \angle AOB = 180^\circ-2\times 40^\circ =100^\circ ;\\ 又\stackrel{\huge{\frown}}{AC} =\stackrel{\huge{\frown}}{BC} \Rightarrow \angle AOC = \angle BOC=(360^\circ -100^\circ)\div 2=130^\circ \\ 在等腰\triangle OAC \Rightarrow \angle OAC=\angle OCA = (180^\circ-130^\circ)\div 2= 25^\circ;\\ A為切點\Rightarrow \angle OAD=90^\circ \Rightarrow \angle CAD =90^\circ -25^\circ =65^\circ\\ \triangle CAD為等腰\Rightarrow \angle ACD= 180^\circ-2\times 65^\circ= 50^\circ\\ \Rightarrow \angle OCD=\angle OCA+ \angle ACD= 25^\circ +50^\circ =75^\circ ，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：
$$一開始\overline{甲乙}=5 \Rightarrow \overline{A甲}=5\times 2=10；\\由表格可知:每分鐘甲比乙快0.6公里，因此18分鐘後，甲追乙0.6\times 18=10.8公里\\，也就是甲追過了乙，還超過了A地；\\因此甲車在乙車的西方，也在A地的西方,故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解：

$$\overline{OC}= \overline{OF} \Rightarrow \angle FCO= \angle CFO = (180^\circ-52^\circ)\div 2=64^\circ; \\ 又\cases{\overline{AB} =\overline{OD} \\ \overline{OB}=\overline{CD} \\ \overline{OC}=\overline{OA}} \Rightarrow \triangle ABO \cong \triangle ODC \Rightarrow \angle BOA=\angle FCO =64^\circ \Rightarrow \angle EOA = 64^\circ-28^\circ =36^\circ\\ \overline{OA}=\overline{OE} \Rightarrow  \angle A= (180^\circ-36^\circ)\div 2=72^\circ = \angle COD (\because \triangle ABO \cong \triangle ODC) = 52^\circ+ \angle FOD\\ \Rightarrow \angle FOD=72^\circ-52^\circ =20^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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解： $$平均值在第二組，即61-80，因此選項(1)與(2)是錯誤；\\又第二組人數少於第一組，因此Q_1在第一組，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：
$$abc > 0 \Rightarrow \cases{a,b,c>0\\ a>0; b,c<0\\ b>0; a,c<0 \\ c>0; a,b<0} \Rightarrow \overline{AB}:\overline{AC} =\cases{a/2: a/2=1:1 \\ 5a/2:3a/2 = 5:3 \\ 5a/2:a/2=5:1 \\ a/2: 3a/2=1:3}，故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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解：
$$令a=b^2 \Rightarrow b=10,11,\dots, 31\\(1) \bigcirc:b=30\Rightarrow a有質因數2,3,5，即m=3>2 \\(2) \bigcirc: b=11 \Rightarrow a有質因數11，即m=1 < 2\\ (3)\bigcirc: 10\sqrt a至少有質因數2,5，即n>2；若a=11^2，則n >m\\，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解：

$$\triangle APC 面積=m = \overline{AP}\times \overline{CA'} \div 2= \overline{AP}\\ \triangle APD面積= \cases{四邊形ABCP面積=m+23 \\ \overline{AP}\times \overline{A'D'}\div 2= {7\over 2}\overline{AP} ={7\over 2}m} \Rightarrow m+23={7\over 2}m \Rightarrow m=46/5=9.2\\，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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解： $$y=-(x-h)^2+k \Rightarrow 圖形凹向下，(h,k)為頂點，k為最大值;\\因此拋物線上的點，其X坐標離h越遠，Y坐標越低 \Rightarrow a> b> c；\\ 現在 \cases{a= k-1\\ b=k-4\\ c=k-9\\ |a| > |c| > |b| } \Rightarrow \cases{|k-1| > |k-9|\\|k-9| > |k-4| }\Rightarrow \cases{k> 5\\ k< 13/2} \Rightarrow 5< k < 13/2 \Rightarrow \cases{a> 0 \\ b>0 \\c <0}\\,故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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解： $$10個連續整數的個位數相加=0+1+2+\cdots +9=45 \Rightarrow 十位數相加=92-45=47;\\ 假設最小的數=10x+y, 其中1\le x \le 9, 0\le y\le 9\\，並假設前a個數的十位數是x，後(10-a)個數的十位數是x+1 \Rightarrow ax+(10-a)(x+1)=47 \\ \Rightarrow 10x+10-a=47 \Rightarrow \cases{x=4\\ a=3} \Rightarrow 10個連續整數為47,48,49,50,\dots,56\\ \Rightarrow 最小的是47，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解： $$由於第1次相遇與第2次相遇之間兩人共跑了一圈 =第2次相遇與第3次相遇之間兩人共跑了一圈 \\\Rightarrow \cases{一圈的距離=300+120=420公尺 \\ 小明與文武的速度比為300:120=5:2}\\ \Rightarrow 第1次相遇小明跑了80公尺\Rightarrow 文武跑了80\times{5\over 2}=200公尺 \\ 兩人第12次相遇，文武跑了300\times 11+200=3500 = 420\times 8+140，相當於8圈又140公尺\\，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：
$$切第n刀可多得n個區域，n=10時可得1+1+2+\cdots+10  =\bbox[red,2pt]{56}$$

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解：
$$\cases{B(0,0)\\ A(a,b) \\ C(c,d)} \Rightarrow G=(A+B+C)/3=({a+c\over 3},{b+d \over 3}) \Rightarrow \cases{D=(G+A+B)/3 = ({4a+c\over 9},{4b+d\over 9}) \\ E= (G+A+C)/3 = ({4a+4c\over 9}, {4b+4d \over 9})} \\ \Rightarrow \overline{DE} =\sqrt{(c/3)^2 + (d/3)^2} ={1\over 3}\sqrt{c^2+d^2} ={1\over 3}\overline{BC} ={1\over 3}\times 45=\bbox[red, 2pt]{15}$$

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解：
$$先求最接近小數後第208位的n，令f(n)=\overbrace{1+2+\cdots +n}^{0的數量} + \overbrace{n}^{1的數量} =(n^2+3n)/2\\ \Rightarrow f(19)=209 \Rightarrow \cases{第208位是0\\ 第209位是1 \\ 第210位是0} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{010}$$

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解：

$$\cases{{\triangle DEG \over \triangle DGC}={12\over 12} ={\overline{EG} \over \overline{GC}} = {\triangle EGP \over \triangle GPC} ={\triangle EGP \over 甲} \\ {\triangle ABF \over \triangle BFP}={14\over 14} ={\overline{AF} \over \overline{FP}} = {\triangle AEF \over \triangle EFP} ={ 10 \over \triangle EFP}} \Rightarrow \cases{\triangle EGP= 甲\\ \triangle EFP=10} \\ 又\cases{\triangle CDE=12+12=24 \\ \triangle ABE=14+10=24} \Rightarrow {\triangle ABE \over \triangle CDE} ={1\over 1}= {\overline{AE} \over \overline{ED}} ={\triangle AEP\over \triangle DEP} ={10+10 \over 12+甲} \Rightarrow 甲=\bbox[red, 2pt]{8}$$

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解： $$A-B-\cases{C\\D\\E\\F} \Rightarrow 4個\triangle， \quad A-C-\cases{D\\E\\F} \Rightarrow 3個\triangle, \quad B-C-\cases{D\\ E\\ F} \Rightarrow 3個\triangle,\\ B-D-\cases{E\\ F} \Rightarrow 2個\triangle, B-E-F \Rightarrow 1個\triangle, C-D-\cases{E\\ F} \Rightarrow 2個\triangle, \\ C-E-F\Rightarrow 1個\triangle ，因此共有4+3+3+2+1+2+1 = \bbox[red, 2pt]{16} 個\triangle$$

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解：

$$令\cases{小正方形邊長為a\\ 大正方形邊長為b} \Rightarrow \triangle CDE=9 =a\overline{CE} \div 2 \Rightarrow \overline{CE}=18/a \\ 在直角\triangle ABE\Rightarrow \overline{AE}^2=a^2+(a+\overline{CE})^2 =a^2+(a+{18\over a})^2 =(3\sqrt{10})^2 = 90 \\ \Rightarrow 2a^2-54+ {18^2\over a^2}=0 \Rightarrow (a-{18\over a})(a-{9\over a})=0 \Rightarrow a=\cases{3\\3\sqrt 2} \Rightarrow \overline{CE}=\cases{6\\ 3\sqrt 2}\\ \Rightarrow b^2=a^2+\overline{CE}^2 = \cases{3^2+ 6^2 =45 \\ (3\sqrt 2)^2+(3\sqrt 2)^2 =36} \Rightarrow b=\cases{3\sqrt 5 \\ 6} \\ \Rightarrow a^2+b^2+ 2\times 9 =\cases{9+45+18 \\ 18+36+18} = \bbox[red, 2pt]{72}$$

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解：
$$A\xrightarrow{1}C \xrightarrow{4}B\\ A\xrightarrow{1}C \xrightarrow{1}D \xrightarrow{1}E\xrightarrow{2}B\\ A\xrightarrow{1}C \xrightarrow{1}D \xrightarrow{1}F\xrightarrow{2}B \\ A\xrightarrow{2}D \xrightarrow{1}E \xrightarrow{2}B\\ A\xrightarrow{2}D \xrightarrow{1}F \xrightarrow{2}B\\ A\xrightarrow{3}F \xrightarrow{2}B\\ 共\bbox[red, 2pt]{6}種不同走法，時間均是5小時$$

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解：
$$100(0)\to 50(1)\equiv \cases{40(1) \to 20(3)\\ 10(1)} \Rightarrow (a,b)=(3,1) \\ 100(0) \equiv \cases{20(0)\\ 80(0) \to 40(1) \to 20(3) \to 10(7)} \Rightarrow (a,b)=(0,7) \\ 100(0)\equiv \cases{40(0) \to 20(1)\\\cases{40(0)\to 20(1)\\ 20(0)} \to 20(2) \to 10(5) } \Rightarrow (a,b)=(1,5) \\ 100(0)\equiv \cases{\cases{40(0)\to 20(1)\\ 20(0)} \to 20(2)  \\40(0) \to 20(1)\to 10(3) } \Rightarrow (a,b)=(2,3)\\ 共有\bbox[red, 2pt]{4}種組合$$

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解：
$$(40+30)^2\pi -(40-30)^2\pi = \bbox[red, 2pt]{4800}\pi$$

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解：

$$N(x,y) 代表在(x,y)的糖果數量，則\\0 = N(0,0) = N(0,1-1)=N(1,0) \xrightarrow{a=0,b=0}N(0,1)=N(1,0)+1=1 \\ \xrightarrow{a=2}N(2,0)=N(0,1)=1 \xrightarrow{a=1,b=0}N(1,1)=N(0,1)+1=2 \xrightarrow{a=0,b=1}N(0,2)=N(1,1)+1=2\\ \cdots 見上圖，可得N(2,3)=\bbox[red, 2pt]{13}$$

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- END -