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2020年6月6日 星期六

100年 警專30期乙組數學科詳解


臺灣警察專科學校專科警員班三十期(正期學生組)
新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題


{a=mkb=nk,kmn{mnk=330(m+n)k=176(A)×:k=11{mn=30m+n=16(m,n)(B):k=22{mn=15m+n=8(m,n)=(7,8),(8,7)(C)×:k=33m+n=176/33(D)×:k=66m+n=176/66(B)


13+43=13+212=(1+12)2=1+12=1+23=1+2(1.732),4(D)


nk=11k(k+1)=nk=1(1k1k+1)=11n+1=nn+1=2021n=20(B)



n=1(2x1+x)n|2x1+x|<1{2x1+x<1x>0x<12x1+x<11<x<0{(x+1)(x1)<0x>0x<1(x+1)(3x+1)>01<x<0{0<x<113<x<013<x<1(D)



f(x)=(3x211x+9)(x1)+6=((3x8)(x1)+1)(x1)+6=((3(x1)5)(x1)+1)(x1)+6=3(x1)35(x1)2+(x1)+6c=1(A)


y=logxlog(2x)log(3x)=(log2+logx)(log3+logx)=(y+log2)(y+log3)=1y2+(log6)y+log2log31=0logα+logβ=log6logαβ=log16αβ=16(A)



log2530=log560=60log5=60(1log2)=60(10.301)=41.943×0.301=0.903=log23<0.94<log32=2×0.4771=0.9542{m=41+1=42n=8(C)



cos(90θ)cot(180+θ)sin(270θ)+tan(180+θ)tan(360θ)=sinθcotθcosθ+tanθtanθ=cosθcosθ1=11=2(A)



s=(7+3+5)÷2=15/2ABC=s(s7)(s3)(s5)=152129252=1534(D)





A¯BCD¯DE¯AB¯DF¯AC¯AD=a¯DE=¯DF=32aABC={12¯ABׯACsinA12(¯ABׯDE+¯ACׯDF)={3sin120=33234(2a+3a)=543a332=543aa=65(B)



{a=sin1=sin180π(1)>0b=cos2=cos360π(2)<0c=tan3=tan540π(2)<0d=sec4=sec720π(3)<0(A)



{sinα=22cosβ=35{cosα=22sinβ=45cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ=22×3522×45=7210(D)




(a+b)(a+b)=|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2(61)2=42+2ab+52ab=10cosθ=ab|a||b|=104×5=12θ=60(B)





AP=xAB+yAC={xAB+y43AEx32AD+yAC{x+43y=132x+y=1{x=1/3y=1/2(C)

15. 若一個正四體相鄰兩面的夾角為θ,則sinθ之值為何?
(A)13  (B)23  (C)223  (D)33




{OD=(1,0,1)OC=(1,1,0)DE=(1,1,0)DC=(0,1,1){u=OD×OC=(1,1,1)v=DE×DC=(1,1,1)cosθ=uv|u||v|=13sinθ=223(C)


{A(1,1,1)B(2,3,3)C(3,2,3){u=AB=(1,2,2)v=AC=(2,1,2)ABC=12|u|2|v|2(uv)2=129×9(2+2+4)2=172(B)




x2+y22x4y4=0(x1)2+(y2)2=32{O(2,3)r=3¯OP=42+42=42¯AP=¯OP2r2=329=23(C)





{(x1)2+(y2)2=52{O(2,3)r=5L:3x+4y+9=0dist(O,L)=¯OC=|3+8+932+42|=205=4¯AC=r2¯OC2=5242=3¯AB=2¯OA=6(D)


x22x+4y+9=0(x1)2+4(y+2)=0(x1)2=4(y+2)=|4|=4(B)



x2+4y2+2x+8y+1=0(x+1)2+4(y+1)2=4(x+1)222+(y+1)212=1a=2¯PF1+¯PF2=2a=4(B)



f(x)=(1+x)3+(1+x)4++(1+x)10f(x)x3f(x)=(1+x)3(1+x)111(1+x)=g(x)xg(x)x4C114f(x)x3=C1141=C114(D)



g(x)=10k=1(1x)k=(1x)(1(1x)10)1(1x)=(1x)(1x)11x=f(x)xf(x)x3C113=g(x)x2(C)

23. 某次考試全班數學成績不佳,總平均 55 分,標準差12分。老師決定全班每人數學加15 分,則全班加分後的標準差為多少分?
(A) 6 (B)12 (C)15 (D) 24 。

σ(X)=12σ(X+15)=12(B)

24. 若某校1000位學生的數學段考成績呈現常態分配,其中平均分數是 70 分,標準差是5分,則全校約有多少人數學成績低於 60 分?(設已知常態分配的資料約有 95% 的觀測值,落在距平均數左右各兩個標準差的範圍內)
(A) 25 (B)50 (C)100 (D) 200 。

P(X<60)=P(X<μ2σ)=P(X<μ)12P(2σ<x<2σ)=50%12×95%=2.5%1000×P(X<60)=1000×0.025=25(A)

25. 根據過去紀錄可知,某燈泡工廠檢驗其產品的過程中,將良品檢驗為不良品的機率為 0.1,將不良品檢驗為良品的機率為 0.2 。又知該產品中,良品占 90% ,不良品占10% 。若已知一件產品被檢驗為良品,則該產品實際上為不良品之機率為何?
(A)283   (B)8183   (C)817   (D)917

=10%×0.290%×0.9+10%×0.2=0.020.81+0.02=0.020.83=283(A)


=r×SYSX=0.88×105=1.76(A)



A=[1111]A2=[1111][1111]=[0220]A4=[0220][0220]=[4004]A8=[4004][4004]=[160016](A)



|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|=5|3a1b1c13a2b2c23a3b3c3|=5×3=15|3a1+2b1b1c13a2+2b2b2c23a3+2b3b3c3|=15|3a1+2b13b1c13a2+2b23b2c23a3+2b33b3c3|=15×3=45|3a1+2b13b15c1c13a2+2b23b25c2c23a3+2b33b35c3c3|=45(D)



x2+y2+z24x2y2z3=0(x2)2+(y1)2+(z1)2=9((x2)2+(y1)2+(z1)2)(12+(2)2+(2)2)((x2)2(y1)2(z1))29×9(x2y2z+2)29x2y2z+297x2y2z117(C)



f(x)=x2+4x5g(x)=f(f(x))=(x2+4x5)2+4(x2+4x5)5g(x)=2(x2+4x5)(2x+4)+4(2x+4)g(x)=02(2x+4)((x2+4x5)+4)=04(x+2)(x2+4x1)=0x=2,2±5(2±5[3,3])g(x)=4(x2+4x1)+4(x+1)(2x+4)g(2)=4(481)<0g(2)g(x){g(0)=(5)2+4×(5)5=0g(3)=(8)2+4×(8)5=270(C)

貳、多重選擇題


(A):{a5=4a7=1{a1+4d=4a1+6d=1{a1=10d=3/2(B):(A),d=3/2(C):{a7=a1+6d=106×32=1>0a8=a1+7d=107×32=12<0(D)×:a8S7S8(E):S21=21(a1+a21)2=21(2a1+20d)2=21(a1+10d)=21(1015)=105(ABCE)



(A):f(x)=(2x1)Q(x)+r=2(x12)Q(x)+r2Q(x),r(B)×:f(a)f(b)=0f(a)f(b)<0(C):X(D)×:f(x)(E):f(x)1±3(ACE)


(A)×:log1/412=12



-160^\circ位於第3象限\Rightarrow \cases{\tan (-16 0^\circ)=k >0 \\ \sin (-160^\circ)<0 \\ \cos(-160^\circ) <0} \\(A)\times: \sin 20^\circ >0,但 {-k\over \sqrt{1+k^2}}< 0 \\(E) \times: \csc 20^\circ >0,但{\sqrt{k^2+1} \over -k} < 0\\其餘皆正確,故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}





f(x)=2\sin(x+{\pi \over 6})-2\cos x = 2(\sin x\cos {\pi \over 6}+ \sin{\pi \over 6}\cos x)-2\cos x =2({\sqrt 3\over 2}\sin x+{1\over 2}\cos x)-2\cos x\\ =\sqrt 3\sin x-\cos x = 2))({\sqrt 3\over 2}\sin x-{1\over 2}\cos x) = 2(\cos {\pi \over 6}\sin x-\sin{\pi \over 6}\cos x) =2\sin(x-{\pi \over 6}) \\ \Rightarrow f(x)=\begin{cases}M=2\sin({\pi \over 2}-{\pi \over 6}) =2\sin {\pi \over 3} =\sqrt 3 & x=\pi/2=\alpha \\ m= 2\sin(0-{\pi\over 6}) =-1 & x=0=\beta\end{cases} \\ \Rightarrow \cases{M=\sqrt 3 \\ m=-1 \\ \alpha=\pi/2 \\ \beta=0 \\ M-m=\sqrt 3+1}\\,故選\bbox[red,2pt]{(AD)}


(A) \bigcirc: \omega=\cos {2\pi \over 3} +i\sin {2\pi \over 3} \Rightarrow \omega^3= \cos 2\pi +i\sin 2\pi = 1 \Rightarrow \omega^{30}=1 \\(B)\bigcirc: x^3-1=0 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0 \Rightarrow \cases{x=1\\ \omega^2+\omega+1=0} \\(C) \bigcirc: (1-\omega)(1-\omega^2)= 1-(\omega+\omega^2)+\omega^3=1-(-1)+1=3 \\(D)\times: (1+\omega)(1+\omega^2) = 1+\omega+\omega^2 +\omega^3 =1+(-1)+1=1 \ne 3 \\(E)\bigcirc: {1\over 1-\omega}+ {1\over 1-\omega^2} = {2+\omega \over 1-\omega^2} = {2+\omega \over 1-(-\omega-1)} ={2+\omega \over 2+\omega}=1\\故選\bbox[red,2pt]{(ABCE)}



(A) \times: 可能平行、垂直...\\(E)\times: 有無限多個平面\\其它皆正確,故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}


(C)\times: 可能無解,也可能無限多解\\其他皆正確,故選\bbox[red,2pt]{(ABDE)}


(C)\times:分成三堆,各堆不用再排列,因此有{C^9_5C^6_3C^3_3 \over 2!}種方法\\ (D)\times: 每個人是不同的,三個人要再排列,因此有C^9_5C^4_3C^1_1\times 3!種方法\\其餘正確,故選\bbox[red,2pt]{(ABE)}


(A)\times: \cases{A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} \\ B=\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}} \Rightarrow \cases{AB=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix} \\BA= \begin{bmatrix}0 & 2\\ 0 & 0\end{bmatrix}} \Rightarrow AB\ne BA \\(B)\times: 除非AB=BA,否則(A+B)(A-B)\ne A^2-B^2\\ (C)\times: 由(A)知:A\ne 0且B\ne 0,但AB=0\\ (D)\times: A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix} \Rightarrow A^2=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}= I,但A\ne I,A\ne -I \\(E)\times: \cases{A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} \\ B=\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix} \\C= \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}} \Rightarrow \cases{AB=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix} \\AC= \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}} \Rightarrow AB=AC,但B\ne C\\各選項均錯誤,故選\bbox[red, 2pt]{(ABCDE)}


-- END --

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