臺灣警察專科學校專科警員班三十期(正期學生組)
新生入學考試乙組數學科試題
新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題
解:令{a=mkb=nk,其中k為最大公因數且m與n為自然數且互質⇒{mnk=330(m+n)k=176(A)×:k=11⇒{mn=30m+n=16,無(m,n)符合此條件(B)◯:k=22⇒{mn=15m+n=8⇒(m,n)=(7,8),(8,7)(C)×:k=33⇒m+n=176/33非整數(D)×:k=66⇒m+n=176/66非整數,故選(B)
解:√13+4√3=√13+2√12=√(1+√12)2=1+√12=1+2√3=1+2(1.732),整數部份為4,故選(D)
解:n∑k=11k(k+1)=n∑k=1(1k−1k+1)=1−1n+1=nn+1=2021⇒n=20,故選(B)
解:
∞∑n=1(2x1+x)n收斂⇒|2x1+x|<1⇒{2x1+x<1如果x>0或x<−1−2x1+x<1如果−1<x<0⇒{(x+1)(x−1)<0如果x>0或x<−1(x+1)(3x+1)>0如果−1<x<0⇒{0<x<1−13<x<0⇒−13<x<1,故選(D)
解:利用長除法⇒f(x)=(3x2−11x+9)(x−1)+6=((3x−8)(x−1)+1)(x−1)+6=((3(x−1)−5)(x−1)+1)(x−1)+6=3(x−1)3−5(x−1)2+(x−1)+6⇒c=1,故選(A)
解:令y=logx⇒log(2x)log(3x)=(log2+logx)(log3+logx)=(y+log2)(y+log3)=1⇒y2+(log6)y+log2log3−1=0⇒logα+logβ=−log6⇒logαβ=log16⇒αβ=16,故選(A)
解:log2530=log560=60log5=60(1−log2)=60(1−0.301)=41.94又3×0.301=0.903=log23<0.94<log32=2×0.4771=0.9542⇒{m=41+1=42n=8,故選(C)
解:cos(90∘−θ)cot(180∘+θ)sin(270∘−θ)+tan(180∘+θ)tan(360∘−θ)=sinθcotθ−cosθ+tanθ−tanθ=cosθ−cosθ−1=−1−1=−2,故選(A)。
解:令s=(7+3+5)÷2=15/2⇒△ABC面積=√s(s−7)(s−3)(s−5)=√152⋅12⋅92⋅52=15√34,故選(D)。
解:
∠A的內角平分線交¯BC於D,並作¯DE⊥¯AB及¯DF⊥¯AC,如上圖;令¯AD=a⇒¯DE=¯DF=√32a⇒△ABC面積={12¯ABׯACsin∠A12(¯ABׯDE+¯ACׯDF)={3sin120∘=3√32√34(2a+3a)=54√3a⇒3√32=54√3a⇒a=65,故選(B)
解:{a=sin1=sin180∘π(第1象限角)>0b=cos2=cos360∘π(第2象限角)<0c=tan3=tan540∘π(第2象限角)<0d=sec4=sec720∘π(第3象限角)<0,故選(A)
解:{sinα=√22cosβ=−35⇒{cosα=√22sinβ=45⇒cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=√22×−35−√22×45=−7√210,故選(D)
解:
(→a+→b)⋅(→a+→b)=|→a+→b|2=|→a|2+2→a⋅→b+|→b|2⇒(√61)2=42+2→a⋅→b+52⇒→a⋅→b=10⇒cosθ=→a⋅→b|→a||→b|=104×5=12⇒θ=60∘,故選(B)。
解:
→AP=x→AB+y→AC={x→AB+y⋅43→AEx⋅32→AD+y→AC⇒{x+43y=132x+y=1⇒{x=1/3y=1/2,故選(C)。
15. 若一個正四體相鄰兩面的夾角為θ,則sinθ之值為何?
(A)13 (B)√23 (C)2√23 (D)√33
解:
{→OD=(1,0,1)→OC=(1,1,0)→DE=(−1,1,0)→DC=(0,1,−1)⇒{→u=→OD×→OC=(−1,1,1)→v=→DE×→DC=(−1,−1,−1)⇒cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=−13⇒sinθ=2√23,故選(C)
解:{A(1,1,1)B(2,3,3)C(3,2,3)⇒{→u=→AB=(1,2,2)→v=→AC=(2,1,2)⇒△ABC面積=12√|→u|2|→v|2−(→u⋅→v)2=12√9×9−(2+2+4)2=√172,故選(B)
解:
x2+y2−2x−4y−4=0⇒(x−1)2+(y−2)2=32⇒{圓心O(2,3)半徑r=3⇒¯OP=√42+42=4√2⇒切線長¯AP=√¯OP2−r2=√32−9=√23,故選(C)
解:
{(x−1)2+(y−2)2=52⇒{圓心O(2,3)半徑r=5L:3x+4y+9=0⇒dist(O,L)=¯OC=|3+8+9√32+42|=205=4⇒¯AC=√r2−¯OC2=√52−42=3⇒¯AB=2¯OA=6,故選(D)
解:x2−2x+4y+9=0⇒(x−1)2+4(y+2)=0⇒(x−1)2=−4(y+2)⇒正焦弦長=|−4|=4,故選(B)
解:
x2+4y2+2x+8y+1=0⇒(x+1)2+4(y+1)2=4⇒(x+1)222+(y+1)212=1⇒a=2⇒¯PF1+¯PF2=2a=4,故選(B)
解:令f(x)=(1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)10,則f(x)的x3係數即為所求;f(x)=(1+x)3−(1+x)111−(1+x)=g(x)−x⇒g(x)的x4係數為−C114⇒f(x)的x3係數=−C114−1=C114,故選(D)
解:g(x)=10∑k=1(1−x)k=(1−x)(1−(1−x)10)1−(1−x)=(1−x)−(1−x)11x=f(x)x⇒f(x)的x3係數為C113=g(x)的x2係數,故選(C)
23. 某次考試全班數學成績不佳,總平均 55 分,標準差12分。老師決定全班每人數學加15 分,則全班加分後的標準差為多少分?
(A) 6 (B)12 (C)15 (D) 24 。
解:σ(X)=12⇒σ(X+15)=12,故選(B)。
24. 若某校1000位學生的數學段考成績呈現常態分配,其中平均分數是 70 分,標準差是5分,則全校約有多少人數學成績低於 60 分?(設已知常態分配的資料約有 95% 的觀測值,落在距平均數左右各兩個標準差的範圍內)
(A) 25 (B)50 (C)100 (D) 200 。
解:P(X<60)=P(X<μ−2σ)=P(X<μ)−12P(2σ<x<2σ)=50%−12×95%=2.5%⇒1000×P(X<60)=1000×0.025=25,故選(A)
25. 根據過去紀錄可知,某燈泡工廠檢驗其產品的過程中,將良品檢驗為不良品的機率為 0.1,將不良品檢驗為良品的機率為 0.2 。又知該產品中,良品占 90% ,不良品占10% 。若已知一件產品被檢驗為良品,則該產品實際上為不良品之機率為何?
(A)283 (B)8183 (C)817 (D)917
解:檢驗為良品但其實是不良品檢驗為良品=10%×0.290%×0.9+10%×0.2=0.020.81+0.02=0.020.83=283,故選(A)
解:迴歸直線斜率=r×SYSX=0.88×105=1.76,故選(A)
解:A=[11−11]⇒A2=[11−11][11−11]=[02−20]⇒A4=[02−20][02−20]=[−400−4]⇒A8=[−400−4][−400−4]=[160016],故選(A)
解:|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|=5⇒|3a1b1c13a2b2c23a3b3c3|=5×3=15⇒|3a1+2b1b1c13a2+2b2b2c23a3+2b3b3c3|=15⇒|3a1+2b13b1c13a2+2b23b2c23a3+2b33b3c3|=15×3=45⇒|3a1+2b13b1−5c1c13a2+2b23b2−5c2c23a3+2b33b3−5c3c3|=45,故選(D)
解:x2+y2+z2−4x−2y−2z−3=0⇒(x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=9⇒((x−2)2+(y−1)2+(z−1)2)(12+(−2)2+(−2)2)≥((x−2)−2(y−1)−2(z−1))2⇒9×9≥(x−2y−2z+2)2⇒9≥x−2y−2z+2≥−9⇒7≥x−2y−2z≥−11⇒最大值為7,故選(C)
解:f(x)=x2+4x−5⇒g(x)=f(f(x))=(x2+4x−5)2+4(x2+4x−5)−5⇒g′(x)=2(x2+4x−5)(2x+4)+4(2x+4)⇒g(x)=0⇒2(2x+4)((x2+4x−5)+4)=0⇒4(x+2)(x2+4x−1)=0⇒x=−2,−2±√5(−2±√5不在區間[−3,3]內)又g″(x)=4(x2+4x−1)+4(x+1)(2x+4)⇒g(−2)=4(4−8−1)<0⇒g(−2)為極大值⇒g(x)的極小值出現在區間端點⇒{g(0)=(−5)2+4×(−5)−5=0g(−3)=(−8)2+4×(−8)−5=27⇒極小值為0難,故選(C)
貳、多重選擇題
解:(A)◯:{a5=4a7=1⇒{a1+4d=4a1+6d=1⇒{a1=10d=−3/2(B)◯:理由同(A),d=−3/2(C)◯:{a7=a1+6d=10−6×32=1>0a8=a1+7d=10−7×32=−12<0(D)×:a8開始為負值,所以S7最大,不是S8(E)◯:S21=21(a1+a21)2=21(2a1+20d)2=21(a1+10d)=21(10−15)=−105,故選(ABCE)
解:(A)◯:f(x)=(2x−1)Q(x)+r=2(x−12)Q(x)+r⇒商為2Q(x),餘式為r(B)×:有可能f(a)f(b)=0,不一定f(a)f(b)<0(C)◯:奇次多項式圖形一定是左上右下或右上左下,與X軸一定有相交(D)×:f(x)必須是實係數,共軛根才會成對出現(E)◯:f(x)為實係數,1±√3皆為其根,故選(ACE)
解:(A)×:log1/412=12≯
解:-160^\circ位於第3象限\Rightarrow \cases{\tan (-16 0^\circ)=k >0 \\ \sin (-160^\circ)<0 \\ \cos(-160^\circ) <0} \\(A)\times: \sin 20^\circ >0,但 {-k\over \sqrt{1+k^2}}< 0 \\(E) \times: \csc 20^\circ >0,但{\sqrt{k^2+1} \over -k} < 0\\其餘皆正確,故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}
解:
f(x)=2\sin(x+{\pi \over 6})-2\cos x = 2(\sin x\cos {\pi \over 6}+ \sin{\pi \over 6}\cos x)-2\cos x =2({\sqrt 3\over 2}\sin x+{1\over 2}\cos x)-2\cos x\\ =\sqrt 3\sin x-\cos x = 2))({\sqrt 3\over 2}\sin x-{1\over 2}\cos x) = 2(\cos {\pi \over 6}\sin x-\sin{\pi \over 6}\cos x) =2\sin(x-{\pi \over 6}) \\ \Rightarrow f(x)=\begin{cases}M=2\sin({\pi \over 2}-{\pi \over 6}) =2\sin {\pi \over 3} =\sqrt 3 & x=\pi/2=\alpha \\ m= 2\sin(0-{\pi\over 6}) =-1 & x=0=\beta\end{cases} \\ \Rightarrow \cases{M=\sqrt 3 \\ m=-1 \\ \alpha=\pi/2 \\ \beta=0 \\ M-m=\sqrt 3+1}\\,故選\bbox[red,2pt]{(AD)}
解:(A) \bigcirc: \omega=\cos {2\pi \over 3} +i\sin {2\pi \over 3} \Rightarrow \omega^3= \cos 2\pi +i\sin 2\pi = 1 \Rightarrow \omega^{30}=1 \\(B)\bigcirc: x^3-1=0 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0 \Rightarrow \cases{x=1\\ \omega^2+\omega+1=0} \\(C) \bigcirc: (1-\omega)(1-\omega^2)= 1-(\omega+\omega^2)+\omega^3=1-(-1)+1=3 \\(D)\times: (1+\omega)(1+\omega^2) = 1+\omega+\omega^2 +\omega^3 =1+(-1)+1=1 \ne 3 \\(E)\bigcirc: {1\over 1-\omega}+ {1\over 1-\omega^2} = {2+\omega \over 1-\omega^2} = {2+\omega \over 1-(-\omega-1)} ={2+\omega \over 2+\omega}=1\\故選\bbox[red,2pt]{(ABCE)}
解:(A) \times: 可能平行、垂直...\\(E)\times: 有無限多個平面\\其它皆正確,故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}
解:(C)\times: 可能無解,也可能無限多解\\其他皆正確,故選\bbox[red,2pt]{(ABDE)}
解:(C)\times:分成三堆,各堆不用再排列,因此有{C^9_5C^6_3C^3_3 \over 2!}種方法\\ (D)\times: 每個人是不同的,三個人要再排列,因此有C^9_5C^4_3C^1_1\times 3!種方法\\其餘正確,故選\bbox[red,2pt]{(ABE)}
解:(A)\times: \cases{A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} \\ B=\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}} \Rightarrow \cases{AB=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix} \\BA= \begin{bmatrix}0 & 2\\ 0 & 0\end{bmatrix}} \Rightarrow AB\ne BA \\(B)\times: 除非AB=BA,否則(A+B)(A-B)\ne A^2-B^2\\ (C)\times: 由(A)知:A\ne 0且B\ne 0,但AB=0\\ (D)\times: A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix} \Rightarrow A^2=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}= I,但A\ne I,A\ne -I \\(E)\times: \cases{A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} \\ B=\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix} \\C= \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}} \Rightarrow \cases{AB=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix} \\AC= \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}} \Rightarrow AB=AC,但B\ne C\\各選項均錯誤,故選\bbox[red, 2pt]{(ABCDE)}
-- END --
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