109年桃連區大園高中特招數學詳解

桃連區桃園市立大園國際高級中等學校

109 學年度高級中等學校特色招生考試

數學能力測驗詳解

解：

$$(1+{9\over 7}) \times (-3{1\over 2})-(-2{1\over 3})\div {7\over 9} ={16\over 7}\times (-{7\over 2})-(-{7\over 3})\times {9\over 7} =-8+3=-5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$(6\times 10^{2022} + 6.6\times 10^{2020}) \div \left[(2\times 10^{673})^3-5\times 10^{2019} \right] \\ =(600\times 10^{2020} + 6.6\times 10^{2020}) \div \left[8\times 10^{2019}-5\times 10^{2019} \right] \\= (606.6\times 10^{2020}) \div \left[3\times 10^{2019} \right] =202.2 \times 10=2022，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}。$$

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解：
$$T=126與84的最大公因數 = 2\times 3\times 7=42 \Rightarrow {126\over 42} +{84\over 42} =3+2=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
$$取\cases{b=2\\ c=-1\\ a=b+c=1}符合題意，可得 b>a >c，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

$$成本為a元\Rightarrow a(1+20\%) = 9000\times 0.8 \Rightarrow a= {7200 \over 1.2} = 6000，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

$$\cases{d=2 \\a_{10}=60} \Rightarrow a_1+9\times 2=60 \Rightarrow a_1=42 \Rightarrow S_{20}= (2a_1+19d)\times 20 \div 2\\ = (84+ 38)\times 10=1220，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
$$x=3時，有最小值8 \Rightarrow y=a(x-3)^2+8, a>0 \Rightarrow y=ax^2-6ax+9a+8 \\ \Rightarrow {1\over a}=9a+8 \Rightarrow 9a^2+8a-1=0 \Rightarrow (9a-1)(a+1)=0 \Rightarrow a={1\over 9}(a=-1不合，違反a>0)\\ \Rightarrow y={1\over 9}x^2-{2\over 3}x+9 \Rightarrow \cases{a=1/9 \\ b=-2/3},故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

$$\overline{OF}=2\overline{OD} =2a \Rightarrow F=-2a；又\overline{FE}=3 \Rightarrow E=-2a+3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$8與x之間的數字為27-8-x=19-x；將8、19-x、x，這3個數字一組，重複出現\\，則y=19-x \Rightarrow x+y=19，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：
$$在累積相對次數百分比=50\%的地方畫一條水平線，此時乙班家庭人數約為6，甲班約為4\\，因此乙班平均數大於甲；又圖形最陡的部份，甲在3-4人間，乙在6-7人間\\，而乙的部分比甲變化更大，因此乙的眾數大於甲，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

$$由於\angle ABC= \angle CBD=60^\circ \Rightarrow \overline{BC}是\angle ABD的角平分線\\，因此以\overline{BC}為對稱軸，將 D對映到D'，見上圖；\\ 因此\angle EDC = \angle CD'E；又\angle D'EB= \angle BED=60^\circ = \angle ACB \Rightarrow \overline{D'E} \parallel \overline{AC}\\ \Rightarrow D'ECA 為等腰梯形 \Rightarrow \angle CD'E =\angle D'CA = \angle EAC = 60^\circ-22^\circ =38^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：
$$甲說實話、乙丙說謊\Rightarrow \cases{乙是小偷\\ 乙是小偷\\ 丙是小偷} \Rightarrow 矛盾\\ 乙說實話、甲丙說謊\Rightarrow \cases{乙不是小偷\\ 乙不是小偷\\ 丙是小偷} \Rightarrow 丙是小偷\\ 丙說實話、甲乙說謊\Rightarrow \cases{乙不是小偷\\ 乙是小偷\\ 丙不是小偷} \Rightarrow 矛盾\\因此丙是小偷，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$x^2-4x-5=0 \Rightarrow (x-5)(x+1)=0 \Rightarrow 5,-1為相異兩實根\Rightarrow a^2+b^2=25+1=26\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

$$令\cases{小正方形邊長為a\\ 大正方形邊長為b} \Rightarrow \triangle CDE=9 =a\overline{CE} \div 2 \Rightarrow \overline{CE}=18/a \\ 在直角\triangle ABE\Rightarrow \overline{AE}^2=a^2+(a+\overline{CE})^2 =a^2+(a+{18\over a})^2 =(3\sqrt{10})^2 = 90 \\ \Rightarrow 2a^2-54+ {18^2\over a^2}=0 \Rightarrow (a-{18\over a})(a-{9\over a})=0 \Rightarrow a=\cases{3\\3\sqrt 2} \Rightarrow \overline{CE}=\cases{6\\ 3\sqrt 2}\\ \Rightarrow b^2=a^2+\overline{CE}^2 = \cases{3^2+ 6^2 =45 \\ (3\sqrt 2)^2+(3\sqrt 2)^2 =36} \Rightarrow b=\cases{3\sqrt 5 \\ 6} \\ \Rightarrow a^2+b^2+ 2\times 9 =\cases{9+45+18 \\ 18+36+18} = 72，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解： $$先求最接近小數後第208位的n，令f(n)=\overbrace{1+2+\cdots +n}^{0的數量} + \overbrace{n}^{1的數量} =(n^2+3n)/2\\ \Rightarrow f(19)=209 \Rightarrow \cases{第208位是0\\ 第209位是1 \\ 第210位是0} \Rightarrow 0，1，0，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：
$$假設同時取到\cases{黑球與白球a次\\ 黑球與紅球b次\\ 紅球與白球c次} \Rightarrow \cases{取到黑球a+b次\\ 取到白球a+c次\\  取到紅球b+c次\\} \\ \Rightarrow 由長條圖得知\cases{a+b=12 \\ a+c=16 \\ b+c=10 \\ a+b+c=(12+16+10)\div 2=19} \Rightarrow \cases{a=9 \\ b=3 \\ c=7}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$100-999共有900個三位數，當M=10^2,11^2,\dots,31^2(961)符合要求，共有22個M值\\，機率為{22\over 900} ={11\over 450}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：
$$\cases{P((白,紅)) ={1\over 6} \times {5\over 6} ={5\over 36}\\ P((紅,白)) ={5\over 6} \times {1\over 6} ={5\over 36}} \Rightarrow P((白,紅))+P((紅,白)) ={10\over 26} ={5\over 18}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

$$x+2 < 3x-8 < {5x+1\over 2} \Rightarrow \cases{x+2 < 3x-8 \\ 3x-8 < {5x+1\over 2} } \Rightarrow \cases{x > 5\\ x< 17} \Rightarrow x=6,7,\dots,16，共11個正整數\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解： $$直線不通過第二象限\Rightarrow \cases{斜率\ge 0\\ x截距\ge 0 \\ y截距 \le 0} \Rightarrow \cases{ab\le 0 \\ ac \le 0 \\ bc \ge 0} \Rightarrow (ac,bc)=(-,+)在第二象限，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$令圓心O，半徑r，切點為D，見上圖；\\D、C均為切點\Rightarrow \overline{BD}= \overline{BC}=5，又\overline{AB}= \sqrt{5^2+12^2}=13 \Rightarrow \overline{AD}=13-5=8\\ 在直角\triangle ADO: \overline{AO}^2 = \overline{AD}^2+ \overline{DO}^2 \Rightarrow (12-r)^2= 8^2+r^2 \Rightarrow r=10/3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$令\angle A=a \Rightarrow \cases{\triangle DAB為等腰\Rightarrow \angle A= \angle ABD=a\\ \triangle ABC為等腰\Rightarrow \angle C=(180-a)\div 2=90-a/2 \\ \triangle BCD為等腰\Rightarrow \angle BDC = \angle C=90-a/2}\\ 又\angle BDC=\angle A+ \angle ABD \Rightarrow 90-{a\over 2}=a+a \Rightarrow a=36，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}。$$

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解：

$$直\triangle ABC \Rightarrow \overline{AC}= \sqrt{8^2+15^2} =17\\I為內心，也是內切圓圓心，假設內切圓半徑為r \\\Rightarrow \triangle ABC 面積= {1\over 2}\overline{AB}\times \overline{AC}= {1\over 2}r(\overline{AB}+\overline{BC} +\overline{CA})\\ \Rightarrow {1\over 2} \times 8\times 15 = {1\over 2}\times r \times (8+15+17) \Rightarrow r=3 \\ 在直角\triangle CIF \Rightarrow \overline{CI}^2 = r^2+(15-r)^2 = 9+144=154 \Rightarrow \overline{CI} =3\sqrt{17}\\ 由於 \overline{EP} \parallel \overline{IF} \Rightarrow {\overline{EP} \over \overline{IF}} ={\overline{CP} \over \overline{CF}} \Rightarrow {\overline{EP} \over r} ={\overline{BC}/2 \over \overline{BC}-r} \Rightarrow {\overline{EP} \over 3} ={15/2 \over 12} \Rightarrow \overline{EP}=15/8\\ 直角\triangle EPC \Rightarrow \overline{EC} =\sqrt{(15/8)^2+(15/2)^2} ={15\over 8}\sqrt{17} \Rightarrow {\overline{IE} \over \overline{CE}} ={3\sqrt{17}-{15\over 8}\sqrt{17} \over {15\over 8}\sqrt{17}} = {9\over 15}= {3\over 5}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：
$$體積與高度的平方呈正比，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：
$$大圓面積:小圓面積=9:4 \Rightarrow 大圓半徑:小圓半徑=3:2 \Rightarrow \cases{大圓半徑=3k \\ 小圓半徑=2k};\\假設大圓剩下扇形圓心角為\theta \Rightarrow 扇形弧長=3k\theta 需大於小圓圓周長=2\pi\times 2k=4k\pi\\ \Rightarrow 3k\theta \ge 4k\pi \Rightarrow \theta \ge {4\over 3}\pi=240^\circ \Rightarrow 剪掉的圓心角最大為360^\circ -240^\circ=120^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$\overline{BD} =\overline{DC} \Rightarrow \triangle ADC ={1\over 2}\triangle ABC，又{\overline{AG} \over \overline{GD}} ={2\over 1} \Rightarrow \triangle CDG = {1\over 3}\triangle ADC = {1\over 6}\triangle ABC;\\ 假設{\overline{DE} \over \overline{EC}} ={1\over k} \Rightarrow \triangle GDE = {1\over k+1}\triangle GDC ={1\over 6(k+1)} \triangle ABC ={1\over 24}\triangle ABC \Rightarrow k=3 \\ \Rightarrow {\overline{EC} \over \overline{CD}}= {k\over k+1}={3\over 4}，由於\overline{CD}=  \overline{BD}，因此 \overline{BD}: \overline{CE}= 4:3，故選\bbox[ red, 2pt]{(B)}$$

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解：

過B點作直線$\overline{BF}$;使得$\overline{CD}\parallel \overline{BF}$;見上圖;由於$\overline{CD}\parallel \overline{BF} \Rightarrow \angle FBE=\angle C > \angle ABE$ ;又$\angle B+\angle ABC=180^\circ$ ;因此$\angle B+\angle C > 180^\circ$ ;

同理作$\overline{DH}\parallel \overline{BC}$ ;則$\angle GDH=\angle C< \angle GDA$;又$\angle D+\angle GDA=180^\circ \Rightarrow \angle D+\angle C < 180^\circ$
故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
從家中走到會面點，小明走了距離為S，大華走了距離為2S；
回程小明花了時間:S/(v+5)，大華花了時間2S/(2v+5)；
由於${S\over v+5} ={2S \over 2v+10} < {2S\over 2v+5}$，也就是小明先到家，故選$\bbox[red, 2pt]{(A)}$。

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解：
假設底面半徑為r，則$\cases{圓周長為2\pi r\\ 底面積為r^2\pi}$
丁：$\cases{側面面積約為12.5\\ 圓周長約12.5 = 2\pi r \Rightarrow r\approx 2 \Rightarrow 底面積=2^2\pi \approx 12.5}$
故選$\bbox[red, 2pt]{(D)}$

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解：

$$令\overline{AE}=a \Rightarrow \overline{BE}=10-a \Rightarrow {\overline{BD} \over \overline{CA}} = {\overline{BE} \over \overline{AE}} \Rightarrow {2\over 4} ={10-a\over a} \Rightarrow a={20\over 3}\\ 在直角\triangle ACE \Rightarrow \overline{AE}^2 = \overline{AC}^2 +\overline{CE}^2 \Rightarrow ({20\over 3})^2=4^2+\overline{CE}^2 \Rightarrow \overline{CE}^2 = {256\over 9} \Rightarrow \overline{CE} =16/3\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：
該二次函數為凹向下，因此我們可以假設球升高的距離$=f(s)=ax^2+bx+c$，其中$s$為飛行的秒數；將表格數據代入可得 $$\cases{f(0)=0\\ f(1)=25 \\ f(2)=40} \Rightarrow \cases{c=0\\ a+b+c =25 \\ 4a+2b+c =40} \Rightarrow \cases{a+b=25 \\ 2a+b=20} \Rightarrow \cases{a=-5\\ b=30 \\ c=0} \\ \Rightarrow f(s)=-5s^2+30s =-5(s-3)^2+45 \Rightarrow f(s)的最大值為f(3)=\bbox[red, 2pt]{45}公尺$$

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解：

延長$\overline{AD}至G$點，使得$\overline{AD}=\overline{DG}$，見上圖；由於$\cases{\overline{AD}=\overline{DG} \\ \overline{ED}= \overline{DC} \\ \angle EDG =\angle ADC} \Rightarrow \triangle ADC \cong \triangle GDE \Rightarrow  \cases{\overline{AC}= \overline{EG} \\ \angle EGD = \angle DAC= \angle 2}$；
又$\overline{AB}\parallel \overline{EF} \Rightarrow \angle EFD= \angle BAD=\angle 1$；由於$\angle 1=\angle 2 \Rightarrow \overline{EF}= \overline{EG}= \overline{AC} \Rightarrow \overline{EF}=\overline{AC}$，故得證。

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- END -