臺灣警察專科學校專科警員班二十八期(正期學生組)
新生入學考試乙組數學科試題
新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題
解:本題(送分)
解:z=x+yi,其中x,y∈R⇒|z+2−3i|=|(x+2)+(y−3)i|=√(x+2)2+(y−3)2=1⇒(x+2)2+(y−3)2=1為一圓,故選(D)
解:令f(x)=x6−18x5−16x4−50x3−132x2+4=(x−19)(x5+x4+3x3+7x2+x+19)+365⇒f(19)=365,故選(C)
解:
x=a×10n其中1≤a≤10⇒logx=n+loga,其中{n是首數loga是尾數{logx的首數與log325.78的首數相同⇒n=2logx的尾數與log5.082的尾數相同⇒a=5.082⇒x=5.082×102=508.2,故選(B)
解:cos∠C=a2+b2−c22ab=9+16−1324=12⇒sin∠C=√32⇒csin∠C=2R⇒√13√3/2=2R⇒R=√133,故選(C)
解:sin(270∘+θ)tan(180∘+θ)cos(90∘−θ)cos(270∘+θ)tan(540∘+θ)=sin(270∘+θ)cos(90∘−θ)cos(270∘+θ)=−cosθsinθsinθ=−cosθ,故選(D)
解:
{cosθ=4/57π/2<θ<4π⇒{sinθ=−3/57π/4<θ/2<2π⇒sin(θ/2)<0;又cosθ=2cos2θ2−1⇒45=2cos2θ2−1⇒cosθ2=3√10⇒sinθ2=−1√10,故選(D)
解:令→AM=t→AP,由→AM=x→AB+y→AC⇒t→AP=x→AB+y→AC⇒→AP=xt→AB+yt→AC=47→AB+67→AC⇒{xt=4/7yt=6/7→AP⇒{x=47ty=67t;由B,M,C在一直線上,可得x+y=1⇒47t+67t=1⇒t=710⇒x=47t=47×710=25,故選(C)。
解:|→a+2→b|2=(→a+2→b)⋅(→a+2→b)=|→a|2+4→a⋅→b+4|→b|2⇒(2√13)2=22+4→a⋅→b+4×32⇒52=40+4→a⋅→b⇒→a⋅→b=3⇒cosθ=→a⋅→b|→a||→b|=32×3=12⇒θ=60∘,故選(C)。
解:
(A)×:|−3|=3(B)◯:√22+(−3)2=√13(C)×:|−1−4−3+3√12+(−2)2+12|=5√6(D)×:√(−1)2+12+(−1)2=√3,故選(B)
解:{E1:2x−y+2z−1=0E2:2x−y+2z+3/2=0⇒dist(E1,E2)=|−1−3/2√22+(−1)2+22|=5/23=5/6,故選(B)
解:{E1:x−2y+3z+1=0E2:2x−y+z+2=0⇒{E1的法向量→n1=(1,−2,3)E2的法向量→n2=(2,−1,1)⇒→n1×→n2=(1,5,3)=(1,a,b)⇒a+b=5+3=8,故選(A)
解:
x2+y2−4x+2y+1=0⇒(x−2)2+(y+1)2=4⇒圓心O(2,−1)⇒圓方程式(x−2)2+(y+1)2=r2,經過(4,5)⇒22+62=40=r2⇒r=2√10(A)×:圓心(2,−1)≠(−2,1)(B)◯:r=2√10(C)×:(2,−1)=(a,b)⇒a+b=1≠2(D)×:40π−4π=36π≈113≯150,故選(B)。
解:
¯F1F2=|−4−2|=6=¯PF1+¯PF2⇒P在線段¯F1F2上,P軌跡為一線段,故選(C)。
15. 已知雙曲線x216−y29=1上一點P到其中一焦點F1的距離為6,那麼P到另一焦點F2的焦點距離是多少?
(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16
解:x216−y29=1⇒a=4⇒|¯PF1−¯PF2|=2a=8⇒|6−¯PF2|=8⇒¯PF2=14,故選(C)
解:a3=2a2+a1=6−1=5⇒a4=2a3+a2=10+3=13⇒a5=2a4+a3=26+5=31⇒a6=2a5+a4=62+13=75,故選(A)
解:只有(D)正確,故選(D)
解:(B)×:測量高度無需抽樣(C)×:樣本多的結果不一定比樣本少的結果更接近母體(D)×:各學期抽樣是獨立的,機率相同,故選(A)
19. 若某校1000位學生的國文成績平均分數是70分,標準差是5分。若已知成績呈常態分配,試問全校約有多少同學的國文成績低於60分?
(A) 約320人 (B) 約160人 (C) 約50人 (D) 約25人
解:P(X≤60)=P(X≤μ−2σ)=(1−P(μ−2σ≤X≤μ+2σ))÷2=12(1−95%)=2.5%⇒人數為1000×2.5%=25,故選(D)
20. 同時投擲3個硬幣,若出現3正面可得18元、2正面可得12元、1正面可得6元,為了公平起見(期望值為0),出現3反面時應賠多少元?
(A) 18元 (B) 36元 (C) 54 元 (D) 72元
解:
假設3反面應賠a元,則{3正面機率為1/8,期望值為18×18=18/82正面機率為3/8,期望值為12×38=36/81正面機率為3/8,期望值為6×38=18/83反面機率為1/8,期望值為−a/8⇒總期望值為0⇒188+368+188−a8=0⇒a=72,故選(D)
21. 某種診斷方法可有效的檢驗出初期的癌症,依過去的經驗知道,該方法對於癌症患者的檢出率高達0.95,同時對於健康的人誤判為罹癌者的比例亦低至0.05。假設一群人中有5%的人罹患癌症,現從中任選一人加以檢驗,若此人被檢驗出患有癌症,求此人確實罹癌的機率。
(A) 0.05 (B) 0.5 (C) 0.75 (D) 0.95
解:檢出有癌症且確實罹癌檢出有癌症=5%×0.955%×0.95+95%×0.05=12,故選(B)
解:身長越長則體重越重,兩者正相關,斜率為正值,故選(A)
解:(D)|21216|=12−12=0,故選(D)。
解:3A−2X=4B⇒3[−1532]−2[abcd]=4[1−321/2]⇒[−3−2a15−2b9−2c6−2d]=[4−1282]⇒{−3−2a=415−2b=−129−2c=86−2d=2⇒{a=−7/2b=27/2c=1/2d=2,故選(A)
解:
(A)×:A=[100−1]⇒A2=I,但A≠I且A≠−I(B)×:A=[0100]⇒A2=0,但A≠0(C)×:[0100][0002]=[0100][0102]=[0200],但[0100]≠[0002],故選(D)
解:柯西不等式:(x2+(2y)2)(22+(32)2)≥(2x+3y)2⇒(x2+4y2)×254≥25⇒x2+4y2≥4,故選(B)
解:x2−6x+9=(x−3)2≥0,故選(B)
解:−2≤x≤12⇒(x−12)(x+2)≤0⇒x2+32x−1≤0⇒−2x2−3x+2≥0⇒{a=−2b=−3⇒a+b=−5,故選(B)
解:
所圍區域包含原點⇒{x−y≥−22x+3y≤6x−2y≤5⇒{a−b≥−22a+3b≤6a−2b≤5,故選(C)
解:x+x+x+y4≥4√x3y⇒2≥4√x3y⇒16≥x3y,故選(C)
貳、多重選擇題
解:{甲→癸=1→10子→亥=1→12⇒農歷年=(1,1)(2,2)..(10,10)(1,11)(2,12)(3,1)...(辛己)=(8,6),往前推60年⇒農曆年數量(8,6)⋯(3,1)(2,12)(1,11)(10,10)(9,9)10(8,8)…(1,1)(10,12)(9,11)10(8,10)…(1,3)(10,2)(9,1)10(8,12)⋯(1,5)(10,4)(9,3)10(8,2)(7,1)(6,12)…(1,7)(10,6)(9,5)10(8,4)(7,3)(6,2)(5,1)(4,12)…(1,9)(10,8)(9,7)1060{(A)(甲戌)=(1,11)(B)己午=(6,7)(C)庚寅=(7,3)(D)壬巳=(9,6)(E)癸酉=(10,10),故選(BD)
(A)×:<an>不一定是等差數列(B)×:未定義S0,無法計算a1=S1−S0(C)×:<an>=1,1,1,...,則<an>是等差(d=0),也是等比(r=1)數列(D)◯:<an>為等差⇒{a4=a1+3da7=a1+6da10=a1+9d⇒a1,a4,a7,a10為等差(公差=3d)(E)◯:<an>為等比⇒{a1+a2=a1+a1ra3+a4=a1r2+a1r3=(a1+a2)r2a5+a6=a1r4+a1r5=(a3+a4)r2a7+a8=a1r6+a1r7=(a5+a6)r2⇒為等比數列,公比為r2,故選(DE)
解:(A)◯:limn→∞6=6(B)×:limn→∞3×(−1)n=±3(C)◯:limn→∞7n2+171003n2−1=73(D)×:limn→∞32n5n=limn→∞9n5n=limn→∞(9/5)n=∞(E)◯:limn→∞logn2n=0,故選(ACE)
解:f(x)=2x2−ax+b3x2+x+3⇒{f(0)=b/3f(1)=2−a+b7f(−1)=2+a+b5⇒{f(0)=f(1)f(0)=f(−1)⇒{3a+4b=63a−2b=−6⇒{a=−2/3b=2⇒k=b/3=2/3⇒{3a+b=−2+2=0ab=−4/3<0,故選(CD)
解:
(A)◯:log23×log35=log3log2×log5log3=log5log2=log25(B)◯:log32+log34=log3(2×4)=log38(C)×:log57−log59=log579≠log57log59(D)×:log235=log2(5×7)=log25+log27≠log25×log27(E)◯:log427=log227log24=log233log222=3log232log22=32log23,故選(ABE)
解:(B)×:a+b=1+2=3≯c=3(E)×:cos∠B=a2+c2−b22ac⇒12=a2+16−98a⇒a2−4a+7=0⇒判別式16−28<0無實解,其餘皆正確,故選(ACD)
解:{(A)[3,π3]=(3cosπ3,3sinπ3)=(32,3√32)(B)[3,−π3]=(3cos(−π3),3sin(−π3))=(32,−3√32)(C)[3,2π3]=(3cos2π3,3sin2π3)=(−32,3√32)(D)[3,−5π3]=[3,π3]=(32,3√32)(E)[3,7π3]=[3,π3]=(32,3√32),故選(ADE)
解:
(A)◯:2x−3y+1=0⇒y=23x+13⇒斜率為2/3(B)◯:法向量為(2,−3)⇒2×(2,−3)=(4,−6)為L之法向量(C)◯:L:2x−3y+1=0⇒L上的點可表示成(3t−12,t),t∈R⇒(32,1)為方向向量;(D)×:{x=1+2ty=1−3t⇒2x−3y+1=2+4t−3+9t+1=13t≠0(E)×:M:3x−2y+1=0⇒M之斜率為32⇒M斜率×L斜率=32×23≠−1,故選(ABC)
解:(A)×:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)⇒34=13+P(B)−13P(B)⇒P(B)=58≠512(B)◯:P(A∩B)=P(A)P(B)=13×58=524(C)◯:P(A′∪B′)=1−P(A∩B)=1−524=1924(D)×:P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)=13≯13(E)◯:P(B)=58>12,故選(BCE)
40. 某座海島上所有的食物皆由A,B,C 三間海產店供應,根據在地人提供的調查記錄,原本選擇在A店消費的顧客,次月仍選擇在A消費的比例有80%,有10%會改至B店消費,剩餘10%則選擇至C店消費;原本選擇在B店消費的顧客,次月仍選擇在B店消費的比例有50%,有30%會改至A店消費,剩餘20%則選擇至C店消費;原本選擇在C店消費的顧客,次月仍選擇在C店的比例有60%,有20%會改至A店消費,剩餘20%則選擇至B店消費。請問長期而言,下列關於三間海產店市佔率PA,PB,PC的估計何者正確?
(A) PA>PB>PC (B)PA>PB+PC (C) PA+PB+PC=1 (D) PA>0.6 (E)|PB−PC|<0.1
解:{A→{0.8A0.1B0.1CB→{0.8A0.1B0.1CC→{0.8A0.1B0.1C⇒轉移矩陣P=[0.80.30.20.10.50.20.10.20.6]⇒穩定狀態:PX=X⇒[0.80.30.20.10.50.20.10.20.6][ABC]=[ABC]⇒{−0.2A+0.3B+0.2C=00.1A−0.5B+0.2C=00.1A+0.2B−0.4C=0⇒{A=8B/3C=7B/6又A+B+C=1⇒83B+B+76B=1⇒B=629⇒{A=16/29B=6/29C=7/29故選(BCE)
-- END --
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