臺灣警察專科學校專科警員班二十九期(正期學生組)
新生入學考試甲組數學科試題
新生入學考試甲組數學科試題
壹、單選題
解:x+k為f(x)的因式,必須滿足k是5的因數,故選(A)
解:{log11a=11log11b=5⇒{a=1111b=115⇒log11(a+b)=log11(115+1111)=log11(115(1+116))=5+log11(1+116)≈5+log11(116)=5+6=11,故選(C)
解:此題相當於求y=sinx與y=log2x兩圖形的交點數量,故選(B)
解:
f(x)=x5−8x4+9x3−12x2−13x−4⇒f(7)=75−8×74+9×73−12×72−13×7−4=74(7−8)+9×73−12×72−13×7−4=−74+9×73−12×72−13×7−4=73(−7+9)−12×72−13×7−4=2×73−12×72−13×7−4=72(14−12)−13×7−4=2×72−13×7−4=7(14−13)−4=7−4=3,故選(C)
解:g(x)=x3−4x2+5x−5=(x−2)f(x)+2x+k⇒g(2)=8−16+10−5=−3=4+k⇒k=−7,故選(A)
解:|a372−11314|=0⇒−4a+14+9+21−24−a=0⇒5a=20⇒a=4,故選(D)
解:(A)◯:(A+I)(A−I)=A2−A+A−I2=A2−I(B)×:(A−B)2=A2−AB−BA+B2(AB不一定等於BA)(C)×:(AB)t=BtAt(D)×:A=0⇒AB=AC,但B不一定要等於C,故選(A)
解:Cn2Cn+52=722⇒n(n−1)(n+5)(n+4)=722⇒n2−nn2+9n+20=722⇒22n2−22n=7n2+63n+140⇒15n2−85n−140=0⇒3n2−17n−28=0⇒(3n+4)(n−7)=0⇒n=7,故選(B)。
解:每個獎品有5種選擇,因此共有5×5×5=53種分法,故選(D)。
解:
P(甲中乙沒中)+P(乙中甲沒中)=23×(1−34)+34×(1−23)=16+14=512,故選(C)
解:x+y為偶數⇒{x,y都是偶數x,y都是奇數⇒{P(x,y都是偶數)=12×13=16P(x,y都是奇數)=12×23=13⇒P(x+y為偶數)=16+13=12,故選(A)
解:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)⇒712=13+P(B)−13×P(B)⇒14=23×P(B)⇒P(B)=38,故選(A)
解:
本題(送分)。
解:
平均值μ=(65+66+70+75+80+82)÷6=73⇒當k=μ時,有最小的標準差,故選(D)。
解:依題意迴歸直線通過(ˉx,ˉy)=(5,3)及(0,2),將此兩點代入y=mx+b可得{3=5m+b2=b⇒m=1/5,故選(B)
16. 有一公司錄取新進員工20人,在上班前作了職前訓練。公司對這20名新進員工進行職前訓練前的測驗與職前訓練後的測驗,若訓練前的成績X與訓練後的成績Y經統計的結果後知:ˉx=35,ˉy=50,∑20i=1(xi−ˉx)(yi−ˉy)=72,∑20i=1(xi−ˉx)2=81,∑20i=1(yi−ˉy)2=100。則X與Y的相關係數最接近哪個選項?
(A) 0.1 (B) 0.3 (C) 0.5 (D) 0.8
解:r=∑20i=1(xi−ˉx)(yi−ˉy)√∑20i=1(xi−ˉx)2×√∑20i=1(yi−ˉy)2=72√81×√100=729×10=0.8,故選(D)
解:
直線L:y=mx−5必過C(0,−5),L與線段¯AB相交,代表L的斜率介於兩直線¯CA與¯CB的斜率之間;{¯AC:y=−32x−5¯BC:y=53x−5⇒−32≤m≤53⇒m=−1,0,1,共三個整數值,故選(B)
解:f(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4⇒f(−1)=−4為最小值,但−1不在區間[0,1]內;因此最小值出現在x最靠近−1的地方,即x=0⇒最小值為f(0)=−3,故選(C)
解:11∑k=1k2=11×12×236=506⇒506−x2=47×10⇒x2=36,故選(C)
解:
1a+bi+13−i=3−i+a+bi(a+bi)(3−i)=(a+3)+(b−1)i(3a+b)+(3b−a)i=35⇒{5a+15=9a+3b5b−5=9b−3a⇒{4a+3b=153a−4b=5⇒{a=3b=1⇒a+b=3+1=4,故選(A)
解:
此題相當於問:¯OP與哪一條線的長度最接近?{¯QA?¯QB?¯QC?¯QD?,故選(D)
解:
6−8−10為直角△,同樣以兩邊邊長為6與8的三角形,以直角三角形面積最大,故選(B)
解:
令¯BD=a,見上圖;則{△ABC:cos∠B=¯AB2+¯BC2−¯AC22ׯABׯBC=36+25−162×6×5△ABD:cos∠B=¯AB2+¯BD2−¯AD22ׯABׯBD=36+a2−162×a×6⇒4560=a2+2012a⇒(a−5)(a−4)=0⇒a=4(5不合,違反D≠C),故選(D)。
解:3+4i=5(cosα+isinα),其中sinα=4/5⇒45∘<α<60∘(∵sin60∘=√32≈0.86,sin45∘≈0.71)(3+4i)(cosθ+isinθ)<0⇒α+θ=π(3π,5π,...)⇒180∘−60∘<θ<180∘−45∘⇒120∘<θ<135∘⇒θ在第二象限,故選(B)
解:
各向量長度相等,因此兩向量所夾角度越大則內積越小,故選(C)
解:|4→a−2→b|2=(4→a−2→b)⋅(4→a−2→b)=16|→a|2−16→a⋅→b+4|→b|2=16|→a|2+4|→b|2(∵→a⊥→b⇒→a⋅→b=0)=16×4+4×9=100⇒|4→a−2→b|=√100=10,故選(D)
解:{A(2,0,−1)B(6,−1,4)C(1,−5,3)⇒{→CA=(1,5,−4)→CB=(5,4,1)⇒cos∠C=→CA⋅→CB|→CA||→CB|=5+20−4√1+25+16×√25+16+1=2142=12⇒θ=π3,故選(B)
解:P在E上⇒3a−4b+12c=8,由柯西不等式:⇒((a−1)2+(b+2)2+(c−3)2)(32+(−4)2+122)≥(3(a−1)−4(b+2)+12(c−3))2⇒((a−1)2+(b+2)2+(c−3)2)×169≥(3a−4b+12c−47)2=(8−47)2=392⇒(a−1)2+(b+2)2+(c−3)2≥392132⇒√(a−1)2+(b+2)2+(c−3)2≥3913=3⇒最小值為3,故選(C)
解:離球心O(0,0,0)的距離越近,則所交圓面積越大;球心在平面x−y+z=0上,距離為0,故選(A)
解:球:(x+1)2+(y−1)2+(z−1)2=27⇒{球心O(−1,1,1)球半徑R=3√3⇒dist(O,E)=|−2−2+1−6√4+4+1|=3⇒R2=r2+32,r為圓半徑⇒27=r2+9⇒r2=18⇒圓面積=r2π=18π,故選(B)
貳、多重選擇題
解:(A)◯:g(3)=2⇒loga3=2⇒a2=3⇒f(2)=3(B)×:f(3)=2⇒a3=2⇒a6=4⇒loga4=6⇒g(4)=6≠9(C)×:f與g互為反函數,對稱於x=y(D)◯:f(2010)f(1993)=a2010a993=a17=a99a82=f(99)f(82)(E)×:{g(2010)−g(1993)=loga2010−loga1993=loga20101993g(99)−g(82)=loga99−loga82=loga9982⇒g(2010)−g(1993)≠g(99)−g(82),故選(AD)
解:(A)◯:第n年[甲乙丙]⇒第n+1年[甲′乙′丙′]⇒{0.7甲+0.1乙+0.1丙=甲′0.2甲+0.8乙+0.1丙=乙′0.1甲+0.1乙+0.8丙=丙′⇒[0.70.10.10.20.80.10.10.10.8]為轉移矩陣(B)×:[0.70.10.10.20.80.10.10.10.8][abc]=[abc]⇒{0.7a+0.1b+0.1c=a0.2a+0.8b+0.1c=b0.1a+0.1b+0.8c=c⇒{a=1/4b=5/12c=1/3(C)◯:理由同上(D)×:c=1/3≠1/4(E)◯:三家報社占有率為100%,故選(ACE)
解:(A)×:點數和至少為2,不可能為1⇒P(1)=0≠136(B)◯:5=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),有4種情形,機率為436(C)◯:7=(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)有6種情形,機率為636(D)◯:12=(6,6),只有1種情形,機率為136(E)×:3=(1,2),(2,1)有2種情形;10=(4,6),(5,5),(6,4)有3種情形,兩者機率不同,故選(BCD)
解:a=H310=C1210=C122;正整數解相當於x+y+z=7的非負整數解,即b=H37,故選(BCE)
解:
算術平均數與中位數都增加5,其餘不變,故選(CDE)
解:(A)◯:[0.544,0.736]=[p−2σ,p+2σ]⇒p=(0.544+0.736)÷2=0.64(B)◯:(0.736−0.544)÷2=2σ=2√p(1−p)÷n=2√0.64(1−0.64)÷n⇒n=100(C)◯:p=0.64=m/100⇒m=64(D)×:信賴區間並非此意 (E)×:並非「所有選民」故選(ABC)
解:S(n)=4n2−3(A)◯:a1=S(1)=4−3=1(B)×:a2=S(2)−S(1)=13−1=12≠13(C)◯:a3=S(3)−S(2)=33−13=20(D)×:an=S(n)−S(n−1)=4n2−3−(4(n−1)2−3)=8n−4,n≥2⇒從n=2開始為公差為8的等數列(E)◯:理由同(D),故選(ACE)
解:(A)◯:a=cos2π5+isin2π5⇒a5=cos2π+isin2π=1(B)×:a2=cos4π5+isin4π5≠1+cos2π5+isin2π5(C)◯:a5=1⇒a5−1=0⇒(a−1)(a4+a3+a2+a+1)=0⇒a4+a3+a2+a+1=0(a≠1)⇒f(a)=0(D)◯:由{a5=1a4+a3+a2+a+1=0⇒f(a2)=a8+a6+a4+a2+1=a3+a+a4+a2+1=0;同理,f(a3)=f(a4)=0,因此a,a2,a3,a4均為f(x)=0的四根⇒f(x)=(x−a)(x−a2)(x−a3)(x−a4)(E)×:f(x)=1+x+x2+x3+x4=(x−a)(x−a2)(x−a3)(x−a4)⇒f(1)=5=(1−a)(1−a2)(1−a3)(1−a4)≠0,故選(ACD)
解:
(A)×:|→OA+→OB|2=(→OA+→OB)⋅(→OA+→OB)=(10,11)⋅(10,11)=100+121=221|→OA+→OB|=√221≠21(B)◯:→OA⋅→OB=(6,8)⋅(4,3)=24+24=48(C)◯:C=(6÷2,8÷2)=(3,4)⇒→BC=(3−4,4−3)=(−1,1)(D)×:{→u=→AB=(−2,−5)→v=→AC=(−3,−4)⇒△ABC面積=12√|→u|2|→v|2−(→u⋅→v)2=12√29×25−262=72≠7(E)×:直線¯OA方程式:4x−3y=0,B(4,3)至此直線距離為16−95=75≠2,故選(BC)
解:若圓心(1,1)至直線的距離等於半徑(r=1),則該直線與圓相切(A)◯:3+4−25=1(B)◯:4+3−25=1(C)◯:|4−3−6|5=55=1(D)×:|3−4−6|5=75≠1(E)×:|4−3−5|5=45≠1故選(ABC)
-- END --
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