國立新竹高商106學年度第一次數學科教師甄選
一、填充題
解:x4+ax2+bx+c=(x−1)3(x−c)=(x3−3x2+3x−1)(x−c)⇒x3係數=0=−c−3⇒c=−3⇒{a=3c+3=−6b=−3c−1=8⇒(a,b,c)=(−6,8,−3)解:
此題相當於求兩圖形{y=f(x)=x/3y=g(x)=cos(πx)有幾個交點{g(x)=1⇒x=2k,k∈Zg(x)=−1⇒x=2k+1,k∈Z及{f(x)≥1⇒x≥3f(x)≤−1⇒x≤−3⇒x在區間[−3,3)有交點且在x>0有3個交點,x<0有4個交點,共7個交點
解:{¯AB=10sinθ¯BO=10cosθ⇒¯BH=¯ABׯBO÷¯OA=100sinθcosθ÷10=10sinθcosθ⇒¯AB+¯BO+¯BH=10(sinθ+cosθ)+10sinθcosθ=10√2sin(θ+45∘)+5sin(2θ)顯然θ=45∘時,有最大值10√2+5
解:{n=1m=2⇒7n2−m2=7−4=3為最小值此題並無特定解法!
解:{21x+22y+27z=50⋯(1)22x+23y+28z=51⋯(2)23x+24y+25z=52⋯(3)(2)−(1),(3)−(2)→{x+y+z=1x+y−3z=1⇒{z=0x+y=1代回(1)⇒21x+22(1−x)=50⇒x=−28⇒y=1−x=29⇒(x,y,z)=(−28,29,0)
解:1x+1y=166⇒x+yxy=166⇒xy−66(x+y)=0⇒(x−66)(y−66)=612而612=212×312的因數有(1+12)(1+12)=169個,因此有169組解
解:取1,4,7,...,3k+1,...,2017,共有673個。
解:limn→∞1n2n∑k=1√16n2−(4k)2=limn→∞1nn∑k=1√16−16(kn)2=∫10√16−16x2dx=∫104√1−x2dx=∫π/204cos2θdθ(x=sinθ⇒dx=cosθdθ)=∫π/202cos(2θ)+2dθ=[sin(2θ)+2θ]|π/20=π
解:{a2+b2=4(c−5)2+(d−12)2=36⇒{(a2+b2)(122+(−5)2)≥(12a−5b)2(a2+(−b)2)((d−12)2+(c−5)2)≥(a(d−12)−b(c−5))2⇒{4×169≥(12a−5b)24×36≥(ad−bc−12a+5b)2⇒{26≥12a−5b≥−2612+12a−5b≥ac−bd≥−12+12a−b⇒12+26≥ac−bd≥−12−26⇒38≥ac−bd≥−38⇒ac−bd的最大值為38
解:{A+B+C+D=16A,B,C,D∈NA>B⇒{A+B+C+D=12A,B,C,D∈{0,1,2,⋯,12}A>B⇒ABC+D個數1011H211=C12112010H210=C1110⋯1200H20=C10219H29=C109⋯1110H20=C10⋯651H21=C21750H20=C10⇒總和=6∑n=12n∑k=1k=6∑n=1n(2n+1)=6∑n=12n2+6∑n=1n=282+21=303
解:1,sinθ,√3cosθ為x3+ax+b=0的三根⇒{1+sinθ+√3cosθ=0⋯(1)sinθ+√3sinθcosθ+√3cosθ=a⋯(2)√3sinθcosθ=−b⋯(3)(1)⇒sinθ+√3cosθ=−1⇒12sinθ+√32cosθ=−12⇒sin(θ+30∘)=−12⇒θ=150∘(∵0<θ<π)代入(2)及(3),可得{a=12−√32⋅√32−√3⋅√32=−74b=√32⋅√32=34⇒(a,b)=(−74,34)
解:圓與坐標軸分別交於{A(0,2)B(−2,0)C(0,−2)D(2,0),兩直線斜率均為1,因此兩直線即為↔AB及↔CD⇒m2+n2=22+(−2)2=8
解:
解:{¯AB=10sinθ¯BO=10cosθ⇒¯BH=¯ABׯBO÷¯OA=100sinθcosθ÷10=10sinθcosθ⇒¯AB+¯BO+¯BH=10(sinθ+cosθ)+10sinθcosθ=10√2sin(θ+45∘)+5sin(2θ)顯然θ=45∘時,有最大值10√2+5
解:{n=1m=2⇒7n2−m2=7−4=3為最小值此題並無特定解法!
解:{21x+22y+27z=50⋯(1)22x+23y+28z=51⋯(2)23x+24y+25z=52⋯(3)(2)−(1),(3)−(2)→{x+y+z=1x+y−3z=1⇒{z=0x+y=1代回(1)⇒21x+22(1−x)=50⇒x=−28⇒y=1−x=29⇒(x,y,z)=(−28,29,0)
解:1x+1y=166⇒x+yxy=166⇒xy−66(x+y)=0⇒(x−66)(y−66)=612而612=212×312的因數有(1+12)(1+12)=169個,因此有169組解
解:取1,4,7,...,3k+1,...,2017,共有673個。
解:limn→∞1n2n∑k=1√16n2−(4k)2=limn→∞1nn∑k=1√16−16(kn)2=∫10√16−16x2dx=∫104√1−x2dx=∫π/204cos2θdθ(x=sinθ⇒dx=cosθdθ)=∫π/202cos(2θ)+2dθ=[sin(2θ)+2θ]|π/20=π
解:{a2+b2=4(c−5)2+(d−12)2=36⇒{(a2+b2)(122+(−5)2)≥(12a−5b)2(a2+(−b)2)((d−12)2+(c−5)2)≥(a(d−12)−b(c−5))2⇒{4×169≥(12a−5b)24×36≥(ad−bc−12a+5b)2⇒{26≥12a−5b≥−2612+12a−5b≥ac−bd≥−12+12a−b⇒12+26≥ac−bd≥−12−26⇒38≥ac−bd≥−38⇒ac−bd的最大值為38
解:{A+B+C+D=16A,B,C,D∈NA>B⇒{A+B+C+D=12A,B,C,D∈{0,1,2,⋯,12}A>B⇒ABC+D個數1011H211=C12112010H210=C1110⋯1200H20=C10219H29=C109⋯1110H20=C10⋯651H21=C21750H20=C10⇒總和=6∑n=12n∑k=1k=6∑n=1n(2n+1)=6∑n=12n2+6∑n=1n=282+21=303
解:1,sinθ,√3cosθ為x3+ax+b=0的三根⇒{1+sinθ+√3cosθ=0⋯(1)sinθ+√3sinθcosθ+√3cosθ=a⋯(2)√3sinθcosθ=−b⋯(3)(1)⇒sinθ+√3cosθ=−1⇒12sinθ+√32cosθ=−12⇒sin(θ+30∘)=−12⇒θ=150∘(∵0<θ<π)代入(2)及(3),可得{a=12−√32⋅√32−√3⋅√32=−74b=√32⋅√32=34⇒(a,b)=(−74,34)
解:圓與坐標軸分別交於{A(0,2)B(−2,0)C(0,−2)D(2,0),兩直線斜率均為1,因此兩直線即為↔AB及↔CD⇒m2+n2=22+(−2)2=8
解:
C,F,D為切點⇒{¯AC=¯AD=a+2¯BC=¯BF=a−2¯ED=¯EF=1⇒{¯AB=4¯AE=a+1¯BE=a−1直角△ABE⇒¯AB2=¯AE2+¯BE2⇒42=(a+1)2+(a−1)2⇒a2=7⇒a=√7
解:a+b+c≥33√abc⇒13≥3√abc⇒3√abc的最大值為13√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥33√√a2+b2√b2+c2√c2+a2≥33√√2ab⋅√2bc⋅√2ca=3√23√abc⇒√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥3√23√abc≥√2
解:{原數1000a+100b+10c+d新數1000d+100c+10b+a⇒1000d+100c+10b+a−(1000a+100b+10c+d)=4725⇒999d+90c−90b−999a=4725⇒111(d−a)−10(b−c)=525⇒{d−a=5b−c=3⇒{(d,a)=(6,1),(7,2),(8,4),(9,5)(b,c)=(3,0),(4,1),(5,2),(6,3),(7,4),(8,5),(9,6)⇒共有4×7=28個四位數
解:f(93)=902−f(90)=902−(872−f(87))=902−872+f(87)=902−872+842−f(81)=902−872+842−⋯+302−f(30)=93⇒f(30)=902−872+842−⋯+302−93=10∑k=0(30+6k)2−10∑k=0(33+6k)2+932−93=10∑k=0(−36k−189)+932−93=−36×55−189×11+932−93=4497
解:由長除法可知:f(x)=(x+1)(x2+(a−1)x+(b−a+1))+c−b+a−1又limx→−1f(x)x+1=3⇒{f(x)=(x+1)g(x)g(−1)=3⇒g(x)=x2+(a−1)x+(b−a+1)⇒g(−1)=1+1−a+b−a+1=3⇒b=2a⋯(1)y=f(x)無極值⇒f′(x)=3x2+2ax+b=0無相異實根⇒判別式≤0⇒4a2−12b≤0式(1)⇒4a2−12⋅(2a)≤0⇒4a(a−6)≤0⇒0≤a≤6
解:令log2yx2=M為最大值⇒y=2Mx2,依題意意相當於求{y=2Mx22x+y+2=0的交點;由於M為最大值,兩圖形僅交於一點,即相切,也就是2x+2Mx2+2=0僅有一解,判別式:22−8⋅2M=0⇒2M=12⇒M=−1
解:內接拋物線Γ:y2=4cx正△三頂點{A(α24c,α)B(β24c,β)C(γ24c,γ)⇒{重心G(α2+β2+γ212c,α+β+γ3)↔AB斜率m1=β−α(β2−α2)/4c=4cβ+α↔BC斜率m2=γ−β(γ2−β2)/4c=4cγ+β↔CA斜率m3=α−γ(α2−γ2)/4c=4cα+γ⇒tan60∘=√3=m2−m11+m1m2=m3−m21+m2m3=m1−m31+m1m3⇒4cγ+β−4cβ+α1+16c2(α+β)(β+γ)=4cα+γ−4cβ+γ1+16c2(α+γ)(β+γ)=4cα+β−4cα+γ1+16c2(α+β)(α+γ)=√3⇒4c(α−γ)16c2+(α+β)(β+γ)=4c(β−α)16c2+(β+γ)(γ+α)=4c(γ−β)16c2+(α+β)(α+γ)=√3⇒4c(α−γ)+4c(β−α)+4c(γ−β)48c2+(α+β)(β+γ)+(β+γ)(γ+α)+(γ+α)(α+β)=√3上式分子為0,因此分母亦為0,即48c2+(α+β)(β+γ)+(β+γ)(γ+α)+(γ+α)(α+β)=0⇒48c2+α2+β2+γ2+3(αβ+βγ+γα)=0⇒αβ+βγ+γα=−16c2−(α2+β2+γ2)/3重心G(α2+β2+γ212c=x,α+β+γ3=y)⇒(α+β+γ)2=9y2=α2+β2+γ2+2(αβ+βγ+γα)=12cx+2(αβ+βγ+γα)=12cx+2(−16c2−(α2+β2+γ2)/3)=12cx+2(−16c2−4cx)=4cx−32c2⇒9y2=4cx−32c2
解:a+b+c≥33√abc⇒13≥3√abc⇒3√abc的最大值為13√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥33√√a2+b2√b2+c2√c2+a2≥33√√2ab⋅√2bc⋅√2ca=3√23√abc⇒√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥3√23√abc≥√2
解:{原數1000a+100b+10c+d新數1000d+100c+10b+a⇒1000d+100c+10b+a−(1000a+100b+10c+d)=4725⇒999d+90c−90b−999a=4725⇒111(d−a)−10(b−c)=525⇒{d−a=5b−c=3⇒{(d,a)=(6,1),(7,2),(8,4),(9,5)(b,c)=(3,0),(4,1),(5,2),(6,3),(7,4),(8,5),(9,6)⇒共有4×7=28個四位數
解:f(93)=902−f(90)=902−(872−f(87))=902−872+f(87)=902−872+842−f(81)=902−872+842−⋯+302−f(30)=93⇒f(30)=902−872+842−⋯+302−93=10∑k=0(30+6k)2−10∑k=0(33+6k)2+932−93=10∑k=0(−36k−189)+932−93=−36×55−189×11+932−93=4497
解:由長除法可知:f(x)=(x+1)(x2+(a−1)x+(b−a+1))+c−b+a−1又limx→−1f(x)x+1=3⇒{f(x)=(x+1)g(x)g(−1)=3⇒g(x)=x2+(a−1)x+(b−a+1)⇒g(−1)=1+1−a+b−a+1=3⇒b=2a⋯(1)y=f(x)無極值⇒f′(x)=3x2+2ax+b=0無相異實根⇒判別式≤0⇒4a2−12b≤0式(1)⇒4a2−12⋅(2a)≤0⇒4a(a−6)≤0⇒0≤a≤6
解:令log2yx2=M為最大值⇒y=2Mx2,依題意意相當於求{y=2Mx22x+y+2=0的交點;由於M為最大值,兩圖形僅交於一點,即相切,也就是2x+2Mx2+2=0僅有一解,判別式:22−8⋅2M=0⇒2M=12⇒M=−1
解:內接拋物線Γ:y2=4cx正△三頂點{A(α24c,α)B(β24c,β)C(γ24c,γ)⇒{重心G(α2+β2+γ212c,α+β+γ3)↔AB斜率m1=β−α(β2−α2)/4c=4cβ+α↔BC斜率m2=γ−β(γ2−β2)/4c=4cγ+β↔CA斜率m3=α−γ(α2−γ2)/4c=4cα+γ⇒tan60∘=√3=m2−m11+m1m2=m3−m21+m2m3=m1−m31+m1m3⇒4cγ+β−4cβ+α1+16c2(α+β)(β+γ)=4cα+γ−4cβ+γ1+16c2(α+γ)(β+γ)=4cα+β−4cα+γ1+16c2(α+β)(α+γ)=√3⇒4c(α−γ)16c2+(α+β)(β+γ)=4c(β−α)16c2+(β+γ)(γ+α)=4c(γ−β)16c2+(α+β)(α+γ)=√3⇒4c(α−γ)+4c(β−α)+4c(γ−β)48c2+(α+β)(β+γ)+(β+γ)(γ+α)+(γ+α)(α+β)=√3上式分子為0,因此分母亦為0,即48c2+(α+β)(β+γ)+(β+γ)(γ+α)+(γ+α)(α+β)=0⇒48c2+α2+β2+γ2+3(αβ+βγ+γα)=0⇒αβ+βγ+γα=−16c2−(α2+β2+γ2)/3重心G(α2+β2+γ212c=x,α+β+γ3=y)⇒(α+β+γ)2=9y2=α2+β2+γ2+2(αβ+βγ+γα)=12cx+2(αβ+βγ+γα)=12cx+2(−16c2−(α2+β2+γ2)/3)=12cx+2(−16c2−4cx)=4cx−32c2⇒9y2=4cx−32c2
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