1. △ABC中,A坐標為(-2,5),∠B與∠C的內角平分線方程式分別 為L:2x−3y+4=0與M:x+2y+2=0,則C點的坐標為_____。 |
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解:a,b,c,d成等差⇒{a=m−3nb=m−nc=m+nd=m+3n(公差為2n)⇒a+b+c+d=4m=60⇒m=15因此az+bu+cx+dy=168⇒az+bu+cx+dy=(15−3n)z+(15−n)u+(15+n)x+(15+3n)y=15(x+y+z+u)−3nz−nu+nx+3ny=15×12−3nz−nu+nx+3ny=168⇒3nz+nu−nx−3ny=180−168=12欲求之ay+bx+cu+dz=(15−3n)y+(15−n)x+(15+n)u+(15+3n)z=15(x+y+z+u)−3ny−nx+nu+3nz=15×12+12=192
3.
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解:
令{¯AB=a¯AP=b¯AQ=c,見上圖;∠BAP=∠CAQ⇒△BAP△CAQ=¯BP¯CQ=¯AB⋅¯AP¯AC⋅¯AQ⇒129=ab20c⇒bc=803a⋯(1)同理,∠BAQ=∠CAP⇒2724=ac20b⇒bc=2a45⋯(2)(1)=(2)⇒803a=2a45⇒a2=600⇒a=10√6
4. 設國文考科分成兩部分,一部分是測驗成績、另一部分是寫作成績。某校某次國文測驗成績平均為 62 分,標準差為 15分;寫作成績平均為 18 分,標準差為 5 分。測驗成績與寫作成績的相關係數為 0.6,國文考科的總成績為測驗成績與寫作成績之和,則總成績的標準差為________分。 |
解:已知{σ(X)=15σ(Y)=5ρX,Y=0.6,由ρX,Y=Cov(X,Y)σ(X)σ(Y)⇒Cov(X,Y)=0.6×15×5=45⇒σ(X+Y)=√σ2(X)+σ2(Y)+2Cov(X,Y)=√152+52+2⋅45=√340
5. 對所有滿足a>b>c>d>0的實數a,b,c,d,欲使loga/b2018+logb/c2018+logc/d2018≥k⋅loga/d2018恆成立,則k的最大值為_____。 |
解:
令{x=log2018aby=log2018bcz=log2018cdu=log2018da⇒{loga/b2018=1/xlogb/c2018=1/ylogc/d2018=1/zlogd/a2018=1/ux+y+z+u=log20181=0柯西不等式:((1√x)2+(1√y)2+(1√z)2)((√x)2+(√y)2+(√z)2)≥(1+1+1)2⇒(1x+1y+1z)(x+y+z)≥9⇒(1x+1y+1z)(−u)≥9⇒1x+1y+1z≥9(−1u)≡loga/b2018+logb/c2018+logc/d2018≥k⋅loga/d2018⇒k=9
6. 設O為拋物線y=4x2的頂 點,若拋物線上異於O的兩動點A、B滿足|→OA+→OB|=|→OA−→OB|,則¯AB中點P的軌跡方程式為______。 |
解:
A、B在y=4x2上⇒{A(a,4a2)B(b,4b2)⇒{→OA+→OB=(a+b,4(a2+b2))→OA−→OB=(a−b,4(a2−b2))因此|→OA+→OB|=|→OA−→OB|⇒(a+b)2+16(a2+b2)=(a−b)2+16(a2−b2)2⇒4ab+64a2b2=0⇒4ab(1+16ab)=0⇒ab=−116(ab≠0,∵A,B不在頂點上)¯AB中點P(x,y)=(a+b2,2(a2+b2))⇒8x2=8(a+b2)2=2(a+b)2=2(a2+b2+2ab)=2(y2+2×(−116))=y−14⇒4y=32x2+1
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解:
13+23+33+⋯+n3(3√1+3√2+3√3+⋯+3√n)3=n3((1n)3+(2n)3+(3n)3+⋯+(nn)3)n(3√1n+3√2n+3√3n+⋯+3√nn)3=1n((1n)3+(2n)3+(3n)3+⋯+(nn)3)1n3(3√1n+3√2n+3√3n+⋯+3√nn)3=1n((1n)3+(2n)3+(3n)3+⋯+(nn)3)(1n(3√1n+3√2n+3√3n+⋯+3√nn))3⇒limn→∞13+23+33+⋯+n3(3√1+3√2+3√3+⋯+3√n)3=∫10x3dx(∫103√xdx)3=1/4(3/4)3=1627
8. 設兩複數α,β滿足α2−3αβ+9β2=0,且α滿足|α|=3,則|α+β|=________。 |
9. 將菱形ABCD的紙張沿¯BD將△BCD往上摺,直到C點的投影P點正好落在△ABD的重心上,設此時平面ABC與平面ABD之兩面角為銳角θ,若¯AC=12,¯BD=6,則tanθ的值為_______。 |
假設{¯BD的中點為O(0,0,0)△ABD的重心為G⇒{D(3,0,0)A(0,6,0)B(−3,0,0)G(0,2,0)C(0,2,4√2)⇒{→AB=(−3,−6,0)→AC=(0,−4,4√2)平面ABD:z=0⇒{平面ABC法向量→n1=→AB×→AC=(−2√2,√2,1)平面ABD法向量→n2=(0,0,1)⇒cosθ=→n1⋅→n2|→n1||→n2|=1√11⇒tanθ=√10
10. 已知y=2ksin2x與y=4√3cscx在−π≤x≤π的範圍內交於A,B兩點,若¯AB=π3,則實數k之值為_______。 |
解:由於y=2ksin2x>0,因此兩圖形交點位在第一或第四象限;又y=4√3cscx>0⇒0<x<π,也就兩交點A、B的x坐標位於0<x<π;由於在0<x<π的範圍內,兩圖形均對稱於x=π2⇒{A(π2−a,ya)B(π2+a,ya)⇒¯AB=2a=π3⇒a=π6⇒{A(π3,ya)B(2π3,ya)⇒ya=2ksin2(π/3)=4√3csc(2π/3)⇒23k/4=8⇒3k4=3⇒k=4
11. 某公司尾牙舉辦「四四如意.百倍奉還」抽獎活動,其規則如下: 「在一個不透明的箱中放入標有連號 1、 2、 3、 …、 106 之號碼球各 1 顆(共 106 顆), 抽獎者由箱中一次抽出 4 顆號碼球,其中最大號碼的 100 倍即為該抽獎者所得之獎金」,則抽獎者所得獎金的期望值為___________。 |
貳、填充題(II)
12. 兩相異平行直線L1,L2皆為曲線C:y=x3之切線,分別過兩切點作L1,L2的法線M1,M2,若四條直線M1,M2,L1,L2所圍成的四邊形面積為607,則直線L1之斜率為______。 |
解:
f(x)=x3⇒f′(x)=3x2,並假設{L1與C之切點為AL2與C之切點為B⇒{A(t,t3),t>0B(s,s3)L1∥L2⇒f′(t)=f′(s)⇒3t2=3s2⇒s=−t(∵A≠B)⇒{A(t,t3)B(−t,−t3)⇒{L1:y=3t2(x−t)+t3L2:y=3t2(x+t)−t3⇒{M1:y=−13t2(x−t)+t3M2:y=−13t2(x+t)−t3⇒{w=dist(L1,L2)=4t3√9t4+1h=dist(M1,M2)=2t3+23t√19t4+1⇒面積=607=w⋅h=8t6+83t2√2+9t4+19t4=8t6+83t23t2+13t2⇒56a4−4843a2−20=0(a=t2)⇒42a4−121a2−15=0⇒(a2−3)(42a2+5)=0⇒a2=t4=3(負值不合)⇒L1斜率=3t2=3√3
13. 圓C:x2+y2=25上有兩點A(3,4),B(−5,0),有一拋物線Γ同時切圓C:x2+y2=25於A,B兩點,則拋物線Γ焦點坐標為_______。 |
解:
x2+y2=25⇒2x+2yy′=0⇒y′=−xy⇒{過A(3,4)之切線L1斜率為−3/4過B(−5,0)之切線L2斜率為∞⇒{L1:3x+4y=25L2:x=−5⇒{¯AB中點C(−1,2)L1,L2交點E(−5,10)⇒↔CE即為對稱軸L3:2x+y=0過B且與L3平行之直線M:2x+y+10=0⇒M對稱L2之直線M′:2x−y+10=0⇒M′與L3交點,即為焦點F(−52,5)
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15. 設f(x)=sinx√4cosx+5,其中x∈R,已知f(x)的值域為區間[a,b],則數對(a,b)=_____。 |
解:√−4+5≤√4cosx+5≤√4+5⇒1≤√4cosx+5≤3⇒−1<sinx√4cosx+5<1y=sinx√4cosx+5⇒y2=sin2x4cosx+5=1−cos2x4cosx+5⇒cos2x+4y2cosx+5y2−1=0,將cosx視為一變數,則左式一定有實數解⇒判別式≥0⇒16y4−20y2+4=0⇒4(4y2−1)(y2−1)≥0⇒(y+1)(2y+1)(2y−1)(y−1)≥0⇒{y≥1(不合)−1/2≤y≤1/2y≤−1(不合)⇒(a,b)=(−12,12)
16. 設a、b為實數,且方程式x3+ax2+bx=8有三個正根,則b−2a的最小值為____。 |
α,β,γ為x3+ax2+bx−8=0之三正根⇒{α+β+γ=−aαβ+βγ+γα=bαβγ=8⇒b−2a=αβ+βγ+γα+2(α+β+γ)=8γ+8α+8β+2(α+β+γ)⋯(1)由於{2α+8α≥2√2α⋅8α=82β+8β≥82γ+8γ≥8,代回(1)可得b−2a≥8+8+8=24
參、計算與證明題
1. 設a、b為兩質數,且p=ab+ba也為一質數, 試求所有解(a,b),並請詳述理由。 |
解:若\cases{a是奇數\\ b是奇數} \Rightarrow \cases{a^b 是奇數\\ b^a 是奇數} \Rightarrow p=a^b+b^a 為偶數\Rightarrow p不是質數;\\又a,b不可能皆為偶數(偶數只有2是質數),因此a,b一定是一奇一偶;\\當a=2(唯一的偶質數)\Rightarrow p=2^b+b^2 = 2^3+3^2=17 為一質數為\Rightarrow (a,b)=(2,3),(3,2)為其解;\\ 若b > 3且不是3的倍數 \Rightarrow \cases{b=3k+1\\ b=3k+2},k\ge 1 \Rightarrow \cases{b^2=9k^2+6k+1 \\ b^2=9k^2+12k+4} \Rightarrow b^2 \equiv 1 \mod 3\cdots(1);\\ 而\begin{array}{} n& 1 & 3 & 5 & 7\\\hline 2^n & 2 & 8 & 32 & 128\\ \text{mod 3} & 2 & 2 & 2 & 2\\\hline\end{array} \Rightarrow 2^{奇數} \equiv 2 \mod 3\cdots(2) \\ 由(1)及(2)可得:2^{奇數}+b^2 是3的倍數,不是質數.因此\bbox[red,2pt]{(2,3),(3,2)}是僅有的解
2. 設a、b、c皆為正實數,試證\sqrt{ab(a+b)} +\sqrt{bc(b+c)} +\sqrt{ca(c+a)} \le {3\over 2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}。 |
解: 由於\cases{{b\over b+c}+ {a\over c+a} \ge 2\sqrt{ab \over (b+c)(c+a)} \cdots(1)\\{b\over a+b}+ {c\over c+a} \ge 2\sqrt{bc \over (a+b)(c+a)} \cdots(2)\\{a\over a+b}+ {c\over b+c} \ge 2\sqrt{ca \over (a+b)(b+c)} \cdots(3)}\\ (1)+(2)+(3)\Rightarrow {b+c \over b+c}+ {c+a\over c+a} +{a+b\over a+b}\ge 2\left(\sqrt{ab \over (b+c)(c+a)} + \sqrt{bc \over (a+b)(c+a)}+ \sqrt{ca \over (a+b)(b+c)}\right)\\ \Rightarrow 3 \ge 2\left(\sqrt{ab \over (b+c)(c+a)} + \sqrt{bc \over (a+b)(c+a)}+ \sqrt{ca \over (a+b)(b+c)}\right) \\ \Rightarrow \sqrt{ab \over (b+c)(c+a)} + \sqrt{bc \over (a+b)(c+a)}+ \sqrt{ca \over (a+b)(b+c)} \le {3\over 2}\\ \Rightarrow \sqrt{ab(a+b) \over (a+b)(b+c)(c+a)} + \sqrt{bc(b+c) \over (a+b)(b+c)(c+a)}+ \sqrt{ca(c+a) \over (a+b)(b+c)(c+a)} \le {3\over 2} \\ \Rightarrow \sqrt{ab(a+b)} +\sqrt{bc(b+c)} +\sqrt{ca(c+a)} \le {3\over 2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)},\bbox[red,2pt]{故得證}
解題僅供參考
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回覆刪除請教老師關於14題 為什麼u一定大於零 若小於零我找不到不合理的地方 謝謝你
回覆刪除原假設 u=sqrt(1-x^2), 因此u>=0
刪除謝謝老師
刪除請問第1題解法的依據是甚麼?
回覆刪除選擇題?還是計算題?
刪除選擇題。感謝。
刪除一時想不起來叫什麼,因為一直都是這樣算的,想起來再附上!
刪除感謝。是另一三角形的內心?垂心?
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