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2021年1月21日 星期四

107年台中女中教甄-數學詳解

臺中市立臺中女子高級中等學校107學年度第一次教師甄選

1. ABC中,A坐標為(-2,5),BC的內角平分線方程式分別 為L:2x3y+4=0M:x+2y+2=0,則C點的坐標為_____。

AAL:2x3y+4=0L=AA:3x+2y=kA(2,5)L6+10=4=kL:3x+2y=4LLP(4/13,20/13)P¯AAA(34/13,25/13);AMA(6,3)M=AA:y=18(x+6)3MM(2,2)C

 


a,b,c,d{a=m3nb=mnc=m+nd=m+3n(2n)a+b+c+d=4m=60m=15az+bu+cx+dy=168az+bu+cx+dy=(153n)z+(15n)u+(15+n)x+(15+3n)y=15(x+y+z+u)3nznu+nx+3ny=15×123nznu+nx+3ny=1683nz+nunx3ny=180168=12ay+bx+cu+dz=(153n)y+(15n)x+(15+n)u+(15+3n)z=15(x+y+z+u)3nynx+nu+3nz=15×12+12=192


3. 

{¯AB=a¯AP=b¯AQ=cBAP=CAQBAPCAQ=¯BP¯CQ=¯AB¯AP¯AC¯AQ129=ab20cbc=803a(1)BAQ=CAP2724=ac20bbc=2a45(2)(1)=(2)803a=2a45a2=600a=106

4. 設國文考科分成兩部分,一部分是測驗成績、另一部分是寫作成績。某校某次國文測驗成績平均為 62 分,標準差為 15分;寫作成績平均為 18 分,標準差為 5 分。測驗成績與寫作成績的相關係數為 0.6,國文考科的總成績為測驗成績與寫作成績之和,則總成績的標準差為________分。

{σ(X)=15σ(Y)=5ρX,Y=0.6ρX,Y=Cov(X,Y)σ(X)σ(Y)Cov(X,Y)=0.6×15×5=45σ(X+Y)=σ2(X)+σ2(Y)+2Cov(X,Y)=152+52+245=340


5. 對所有滿足a>b>c>d>0的實數a,b,c,d,欲使loga/b2018+logb/c2018+logc/d2018kloga/d2018恆成立,則k的最大值為_____。

{x=log2018aby=log2018bcz=log2018cdu=log2018da{loga/b2018=1/xlogb/c2018=1/ylogc/d2018=1/zlogd/a2018=1/ux+y+z+u=log20181=0西:((1x)2+(1y)2+(1z)2)((x)2+(y)2+(z)2)(1+1+1)2(1x+1y+1z)(x+y+z)9(1x+1y+1z)(u)91x+1y+1z9(1u)loga/b2018+logb/c2018+logc/d2018kloga/d2018k=9

6. 設O為拋物線y=4x2的頂 點,若拋物線上異於O的兩動點AB滿足|OA+OB|=|OAOB|,則¯AB中點P的軌跡方程式為______。

ABy=4x2{A(a,4a2)B(b,4b2){OA+OB=(a+b,4(a2+b2))OAOB=(ab,4(a2b2))|OA+OB|=|OAOB|(a+b)2+16(a2+b2)=(ab)2+16(a2b2)24ab+64a2b2=04ab(1+16ab)=0ab=116(ab0,A,B)¯ABP(x,y)=(a+b2,2(a2+b2))8x2=8(a+b2)2=2(a+b)2=2(a2+b2+2ab)=2(y2+2×(116))=y144y=32x2+1

 

13+23+33++n3(31+32+33++3n)3=n3((1n)3+(2n)3+(3n)3++(nn)3)n(31n+32n+33n++3nn)3=1n((1n)3+(2n)3+(3n)3++(nn)3)1n3(31n+32n+33n++3nn)3=1n((1n)3+(2n)3+(3n)3++(nn)3)(1n(31n+32n+33n++3nn))3limn13+23+33++n3(31+32+33++3n)3=10x3dx(103xdx)3=1/4(3/4)3=1627

8. 設兩複數α,β滿足α23αβ+9β2=0,且α滿足|α|=3,則|α+β|=________。

α23αβ+9β2=013(βα)+9(βα)2=0βα=1±3i61+βα=7±3i6|1+βα|=1672+3=133|α+β|=|α(1+βα)|=|α||1+(βα)|=3×133=13

9. 將菱形ABCD的紙張沿¯BDBCD往上摺,直到C點的投影P點正好落在ABD的重心上,設此時平面ABC與平面ABD之兩面角為銳角θ,若¯AC=12,¯BD=6,則tanθ的值為_______。



{¯BDO(0,0,0)ABDG{D(3,0,0)A(0,6,0)B(3,0,0)G(0,2,0)C(0,2,42){AB=(3,6,0)AC=(0,4,42)ABD:z=0{ABCn1=AB×AC=(22,2,1)ABDn2=(0,0,1)cosθ=n1n2|n1||n2|=111tanθ=10


10. 已知y=2ksin2xy=43cscxπxπ的範圍內交於A,B兩點,若¯AB=π3,則實數k之值為_______。


y=2ksin2x>0y=43cscx>00<x<πABx0<x<π;0<x<πx=π2{A(π2a,ya)B(π2+a,ya)¯AB=2a=π3a=π6{A(π3,ya)B(2π3,ya)ya=2ksin2(π/3)=43csc(2π/3)23k/4=83k4=3k=4

 
11. 某公司尾牙舉辦「四四如意.百倍奉還」抽獎活動,其規則如下:
「在一個不透明的箱中放入標有連號 1、 2、 3、 …、 106 之號碼球各 1 顆(共 106 顆), 抽獎者由箱中一次抽出 4 顆號碼球,其中最大號碼的 100 倍即為該抽獎者所得之獎金」,則抽獎者所得獎金的期望值為___________。

4a,b,c,da>b>c>da(b,c,d)4C331/C1064400/C10645C43C43/C1064500C43/C10646C53C53/C1064600C53/C1064106C1053C1053/C106410600C1053/C1064=100C1064106k=4kCk13=400C1064106k=4Ck4=400C1064C1075=8560

貳、填充題(II)

12. 兩相異平行直線L1,L2皆為曲線C:y=x3之切線,分別過兩切點作L1,L2的法線M1,M2,若四條直線M1,M2,L1,L2所圍成的四邊形面積為607,則直線L1之斜率為______。

f(x)=x3f(x)=3x2{L1CAL2CB{A(t,t3),t>0B(s,s3)L1L2f(t)=f(s)3t2=3s2s=t(AB){A(t,t3)B(t,t3){L1:y=3t2(xt)+t3L2:y=3t2(x+t)t3{M1:y=13t2(xt)+t3M2:y=13t2(x+t)t3{w=dist(L1,L2)=4t39t4+1h=dist(M1,M2)=2t3+23t19t4+1=607=wh=8t6+83t22+9t4+19t4=8t6+83t23t2+13t256a44843a220=0(a=t2)42a4121a215=0(a23)(42a2+5)=0a2=t4=3()L1=3t2=33

13. 圓C:x2+y2=25上有兩點A(3,4),B(5,0),有一拋物線Γ同時切圓C:x2+y2=25A,B兩點,則拋物線Γ焦點坐標為_______。

x2+y2=252x+2yy=0y=xy{A(3,4)L13/4B(5,0)L2{L1:3x+4y=25L2:x=5{¯ABC(1,2)L1,L2E(5,10)CEL3:2x+y=0BL3M:2x+y+10=0ML2M:2xy+10=0ML3,F(52,5)

 

1x=2x21+2x1x2{1x01x201x1(1x)2=(2x21+2x1x2)21x=8x31x24x1x2+18x31x24x1x2+x=0x(8x21x241x2+1)=08x21x241x2+1=0(x=0)u2=1x2(u>0)8(1u2)u4u+1=08u34u1=0(2u+1)(4u22u1)=04u22u1=0(u=1/2)u=1+54(u=154<0)x2=16+2516=102516x=10254()

15. 設f(x)=sinx4cosx+5,其中xR,已知f(x)的值域為區間[a,b],則數對(a,b)=_____。

4+54cosx+54+514cosx+531<sinx4cosx+5<1y=sinx4cosx+5y2=sin2x4cosx+5=1cos2x4cosx+5cos2x+4y2cosx+5y21=0cosx016y420y2+4=04(4y21)(y21)0(y+1)(2y+1)(2y1)(y1)0{y1()1/2y1/2y1()(a,b)=(12,12)


16. 設ab為實數,且方程式x3+ax2+bx=8有三個正根,則b2a的最小值為____。

α,β,γx3+ax2+bx8=0{α+β+γ=aαβ+βγ+γα=bαβγ=8b2a=αβ+βγ+γα+2(α+β+γ)=8γ+8α+8β+2(α+β+γ)(1){2α+8α22α8α=82β+8β82γ+8γ8(1)b2a8+8+8=24

參、計算與證明題

1. 設ab為兩質數,且p=ab+ba也為一質數, 試求所有解(a,b),並請詳述理由。


若\cases{a是奇數\\ b是奇數} \Rightarrow \cases{a^b 是奇數\\ b^a 是奇數} \Rightarrow p=a^b+b^a 為偶數\Rightarrow p不是質數;\\又a,b不可能皆為偶數(偶數只有2是質數),因此a,b一定是一奇一偶;\\當a=2(唯一的偶質數)\Rightarrow p=2^b+b^2 =  2^3+3^2=17 為一質數為\Rightarrow (a,b)=(2,3),(3,2)為其解;\\ 若b > 3且不是3的倍數 \Rightarrow \cases{b=3k+1\\ b=3k+2},k\ge 1 \Rightarrow \cases{b^2=9k^2+6k+1 \\ b^2=9k^2+12k+4} \Rightarrow b^2 \equiv 1 \mod 3\cdots(1);\\ 而\begin{array}{} n& 1 & 3 & 5 & 7\\\hline 2^n & 2 & 8 & 32 & 128\\ \text{mod 3} & 2 & 2 & 2 & 2\\\hline\end{array} \Rightarrow 2^{奇數} \equiv 2 \mod 3\cdots(2) \\ 由(1)及(2)可得:2^{奇數}+b^2 是3的倍數,不是質數.因此\bbox[red,2pt]{(2,3),(3,2)}是僅有的解

2. 設a、b、c皆為正實數,試證\sqrt{ab(a+b)} +\sqrt{bc(b+c)} +\sqrt{ca(c+a)} \le {3\over 2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}


由於\cases{{b\over b+c}+ {a\over c+a} \ge 2\sqrt{ab \over (b+c)(c+a)} \cdots(1)\\{b\over a+b}+ {c\over c+a} \ge 2\sqrt{bc \over (a+b)(c+a)}  \cdots(2)\\{a\over a+b}+ {c\over b+c} \ge 2\sqrt{ca \over (a+b)(b+c)}  \cdots(3)}\\ (1)+(2)+(3)\Rightarrow {b+c \over b+c}+ {c+a\over c+a} +{a+b\over a+b}\ge 2\left(\sqrt{ab \over (b+c)(c+a)} + \sqrt{bc \over (a+b)(c+a)}+ \sqrt{ca \over (a+b)(b+c)}\right)\\ \Rightarrow 3 \ge 2\left(\sqrt{ab \over (b+c)(c+a)} + \sqrt{bc \over (a+b)(c+a)}+ \sqrt{ca \over (a+b)(b+c)}\right) \\ \Rightarrow \sqrt{ab \over (b+c)(c+a)} + \sqrt{bc \over (a+b)(c+a)}+ \sqrt{ca \over (a+b)(b+c)} \le {3\over 2}\\ \Rightarrow  \sqrt{ab(a+b) \over (a+b)(b+c)(c+a)} + \sqrt{bc(b+c) \over (a+b)(b+c)(c+a)}+ \sqrt{ca(c+a) \over (a+b)(b+c)(c+a)} \le {3\over 2} \\ \Rightarrow \sqrt{ab(a+b)} +\sqrt{bc(b+c)} +\sqrt{ca(c+a)} \le {3\over 2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)},\bbox[red,2pt]{故得證}

解題僅供參考





9 則留言:

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  2. 請教老師關於14題 為什麼u一定大於零 若小於零我找不到不合理的地方 謝謝你

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  3. 請問第1題解法的依據是甚麼?

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    1. 選擇題?還是計算題?

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    2. 選擇題。感謝。

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    3. 一時想不起來叫什麼,因為一直都是這樣算的,想起來再附上!

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    4. 感謝。是另一三角形的內心?垂心?

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