新竹市立建功高中107學年度第一次正式教師甄試國中數學科
一、填充題:【20 題,每題 4 分,共計 80 分】
解答:¯AB:¯AC:¯BC=3:4:5⇒{¯AB=3k¯AC=4k¯BC=5k,k∈R¯BD為∠B的角平分線⇒¯AD¯DC=¯AB¯BC=3k5k⇒{¯AD=¯AB¯AB+¯BCׯAC=38×4k=32k¯DC=4k−32k=52k;同理,¯AF¯FB=¯CA¯CB=4k5k⇒{¯AF=¯CA¯CA+¯CBׯAB=49×3k=43k¯FB=3k−43k=53k;又{△CED∼△CAB△BGF∼△BAC(AAA)⇒{△CED:△ABC=¯CD2:¯BC2=25/4:25△BGF:△ABC=¯BF2:¯BC2=25/9:25⇒△DEC+△FGB△ABC=25/4+25/925=1336
解答:12+14+15=1920⇒{a=2b=4c=6⇒a+b+c=12
解答:{A(−1,1)B(2018,20182)C(−2,4)D(a,a2)⇒↔AB:y=2017(x+1)+1⇒↔AB交y軸於P(0,2018)⇒↔CP:y=1007(x+2)+4代入y=x2求交點⇒x2−1007x−2018=0⇒(x−1009)(x+2)=0⇒D的x座標為1009
解答:凸160邊形內角和=180×(160−2)=28440假設內角小於160度的有n個,剩下(160−n)個內角皆小於180度因此28440<160n+180(160−n)⇒20n<360⇒n<18⇒n=17
解答:x=n+y,其中n∈N,0≤b<1⇒x2+y2=2018⇒x2=2018−y2⇒2017<x2<2018⇒√2017<x<√2018⇒n=44⇒x=44+y⇒(44+y)2+y2=2018⇒y2+44y−41=0⇒y=−22+5√21⇒x=44+(−22+5√21)=22+5√21
解答:令{⟨an⟩公比為ra⟨bn⟩公比為rb⇒an+bn=(ra+rb)(an−1+bn−1)−rarb(an−2+bn−2)因此{86=(ra+rb)⋅(−4)−rarb⋅2471=(ra+rb)⋅86−rarb⋅(−4)⇒{ra+rb=1rarb=−154⇒a5+b5=1⋅71+154⋅86=39312
解答:恰好只走一圈:5奇或1偶3奇或2偶1奇,機率為(12)5+C43(12)4+C32(12)3=2132
解答:
解答:{A(−1,1)B(2018,20182)C(−2,4)D(a,a2)⇒↔AB:y=2017(x+1)+1⇒↔AB交y軸於P(0,2018)⇒↔CP:y=1007(x+2)+4代入y=x2求交點⇒x2−1007x−2018=0⇒(x−1009)(x+2)=0⇒D的x座標為1009
解答:凸160邊形內角和=180×(160−2)=28440假設內角小於160度的有n個,剩下(160−n)個內角皆小於180度因此28440<160n+180(160−n)⇒20n<360⇒n<18⇒n=17
解答:x=n+y,其中n∈N,0≤b<1⇒x2+y2=2018⇒x2=2018−y2⇒2017<x2<2018⇒√2017<x<√2018⇒n=44⇒x=44+y⇒(44+y)2+y2=2018⇒y2+44y−41=0⇒y=−22+5√21⇒x=44+(−22+5√21)=22+5√21
解答:令{⟨an⟩公比為ra⟨bn⟩公比為rb⇒an+bn=(ra+rb)(an−1+bn−1)−rarb(an−2+bn−2)因此{86=(ra+rb)⋅(−4)−rarb⋅2471=(ra+rb)⋅86−rarb⋅(−4)⇒{ra+rb=1rarb=−154⇒a5+b5=1⋅71+154⋅86=39312
解答:恰好只走一圈:5奇或1偶3奇或2偶1奇,機率為(12)5+C43(12)4+C32(12)3=2132
解答:
令{¯BP=¯CQ=a¯PQ=b¯AQ=h¯AP=w,並在¯AB上找一點R,使得¯AR=¯AC=12,則△AQR≅△AQC(SAS)⇒¯QR=¯QC=a;又¯AQ為∠A的角平分線,因此¯AB:¯AC=¯BQ:¯QC⇒20:12=a+b:a⇒b=23a⇒a+b=53a{△BQR:cos∠B=(5a/3)2+82−a216(5a/3)=64+(16a2/9)80a/3⋯(1)△BAP:cos∠B=202+a2−w240a⋯(2)△BAQ:cos∠B=202+(5a/3)2−h240(5a/3)=400+(25a2/9)−h2200a/3⋯(3)由{(2)=(3)⇒h2=240−53a2(1)=(2)⇒w2=304−53a2⇒√w2−h2=√304−240=√64=8
解答:−3x−5x−7x−9x=−11x−13x⇒若111<x<19,則f(x)=(1−3)+(1−5x)+(1−7x)+(1−9x)+(11x−1)+(13x−1)=2⇒{a=1/11b=1/9c=2⇒a×b×c=299
解答:n=9+99+999+⋯+99個9⏞99⋯9=(101−1)+(102−1)+(103−1)+⋯+(10100−1)=109(10100−1)−100=109⋅100個9⏞99⋯9−100=10⋅100個1⏞11⋯1−100=100個1⏞11⋯10−100=98個1⏞11⋯1010⇒共99個1
解答:令⟨an⟩=⟨2nmod100⟩=2,4,8,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52,4,8,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52,…⇒從n=2起,循環數為20,因此2018=1+20×100+17⇒第17個循環數為44⇒A=22018−1的末二位數為44−1=43
解答:假設n為三位數(不可能是二位數,∵99+9+9<313),其{千位數字為a百位數字為b個位數字為c且0≤a,b,c≤9⇒100a+10b+c+a+b+c=313⇒101a+11b+2c=313⇒最小的可能a=2⇒11b+2c=111⇒{(b,c)=(9,6)(b,c)=(7,17不合)⇒n=296
解答:需符合{a+b>cc−a<b,因此(a,b,c)=(1,9,9),(2,8,9),(3,7,9),(3,8,8),(4,6,9),(4,7,8),(5,5,9),(5,6,8),(5,7,7),(6,6,7),共10種
解答:
解答:
解答:n=9+99+999+⋯+99個9⏞99⋯9=(101−1)+(102−1)+(103−1)+⋯+(10100−1)=109(10100−1)−100=109⋅100個9⏞99⋯9−100=10⋅100個1⏞11⋯1−100=100個1⏞11⋯10−100=98個1⏞11⋯1010⇒共99個1
解答:令⟨an⟩=⟨2nmod100⟩=2,4,8,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52,4,8,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52,…⇒從n=2起,循環數為20,因此2018=1+20×100+17⇒第17個循環數為44⇒A=22018−1的末二位數為44−1=43
解答:假設n為三位數(不可能是二位數,∵99+9+9<313),其{千位數字為a百位數字為b個位數字為c且0≤a,b,c≤9⇒100a+10b+c+a+b+c=313⇒101a+11b+2c=313⇒最小的可能a=2⇒11b+2c=111⇒{(b,c)=(9,6)(b,c)=(7,17不合)⇒n=296
解答:需符合{a+b>cc−a<b,因此(a,b,c)=(1,9,9),(2,8,9),(3,7,9),(3,8,8),(4,6,9),(4,7,8),(5,5,9),(5,6,8),(5,7,7),(6,6,7),共10種
解答:
解答:
ABCD為菱形⇒¯AC⊥¯BD,並令¯AC、¯BD交點為Q,見上圖;並令{¯BQ=¯QD=a¯AQ=¯QC=b¯CP=a,則{直角△AQD:a2+b2=36⋯(1)直角△PQD:a2+(b+c)2=81⋯(2)將(1)代入(2)⇒36+2bc+c2=81⇒2bc+c2=c(2b+c)=¯PCׯAP=45
解答:若有{x2個A2xy個By2個C,就可以拼成邊長為(xπ+2y)的正方形,現在{x2≤102xy≤28y2≤50⇒(x,y)=(1,1)−(1,7),(2,1)−(2,7),(3,1)−(3,4)取(x,y)=(2,7)可得最大邊長2π+14
解答:
∠F=360∘−90∘−90∘−45∘=135∘,因此令{E(0,0)F(0,1)C(a,0)⇒D(1,2)由於∠C=45∘⇒↔CD:y=−(x−1)+2⇒a=3⇒{¯CE=3¯CD=√22+22=2√2⇒{△CDF=12×√2×2√2=2△CEF=12×1×3=32⇒DFEC面積=2+32=72
解答:f(x)=(x+1)(2x+1)(3x−1)(4x−1)−36x4=−12x4+22x3−7x2−4x+1⇒f(1)=0⇒f(x)=(x−1)(−12x3+10x2+3x−1)=(x−1)g(x)⇒g(1)=0⇒f(x)=(x−1)2(−12x2−2x+1)=−(x−1)2(12x+2x−1)
解答:{yx+1xy=203xy+xy=53,兩式相乘⇒y2+1y2=829⇒9y4−82y2+9=0⇒(y2−9)(9y2−1)=0⇒{y=3⇒x=1/2y=−3⇒x=−1/2y=1/3⇒x=1/2y=−1/3⇒x=−1/2⇒(x,y)=(12,3),(−12,−3),(12,13),(−12,−13)
解答:y=(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)+12=((x−2)(x−8))((x−4)(x−6))+12=(x2−10x+16)(x2−10x+24)+12=(x2−10x)2+40(x2−10x)+396=(x2−10x+20)2−4⇒當x2−10x+20=0時,y有最小值−1,即(x,y)=(5±√5,−4)
解答:11+2+⋯+n=1n(n+1)/2=2(1n−1n+1)⇒11+11+2+11+2+3+⋯+11+2+3+⋯+100=1+2((12−13)+(13−14)+⋯+(1100−1101))=1+2(12−1101)=1+99101=200101
解答:(x2+x+1)(1+x+x2+⋯+x9+x10)=(1+x+x2+⋯+x6)2⇒(x−1)(x2+x+1)(x−1)(1+x+x2+⋯+x9+x10)=((x−1)(1+x+x2+⋯+x6))2⇒(x3−1)(x11−1)=(x7−1)2⇒x11−2x7+x3=0⇒x3(x8−2x4+1)=0⇒x3(x4−1)2=0⇒x3(x2+1)2(x2−1)2=0⇒x3(x−1)2(x+1)2(x2+1)2=0⇒x=0,−1
解答:f(x,y)=x√1−y2+y√1−x2⇒{fx=√1−y2−xy√1−x2fy=−xy√1−y2+√1−x2因此{fx=0fy=0⇒xy=√1−x2⋅√1−y2⇒x2y2=(1−x2)(1−y2)=1−x2−y2+x2y2⇒x2+y2=1代回f(x,y)=x⋅√x2+y√y2=x2+y2=1
解答:
解答:{yx+1xy=203xy+xy=53,兩式相乘⇒y2+1y2=829⇒9y4−82y2+9=0⇒(y2−9)(9y2−1)=0⇒{y=3⇒x=1/2y=−3⇒x=−1/2y=1/3⇒x=1/2y=−1/3⇒x=−1/2⇒(x,y)=(12,3),(−12,−3),(12,13),(−12,−13)
解答:y=(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)+12=((x−2)(x−8))((x−4)(x−6))+12=(x2−10x+16)(x2−10x+24)+12=(x2−10x)2+40(x2−10x)+396=(x2−10x+20)2−4⇒當x2−10x+20=0時,y有最小值−1,即(x,y)=(5±√5,−4)
解答:11+2+⋯+n=1n(n+1)/2=2(1n−1n+1)⇒11+11+2+11+2+3+⋯+11+2+3+⋯+100=1+2((12−13)+(13−14)+⋯+(1100−1101))=1+2(12−1101)=1+99101=200101
二、計算題:【4 題,每題 5 分,依計算過程,給予適當分數】
解答:x∗(x∗x)={x∗0x∗x+x=0+x⇒x∗0=0+x=x因此2018∗(2017∗2017)={2018∗2017+20172018∗0=2018⇒2018∗2017+2017=2018⇒2018∗2017=2018−2017=1解答:(x2+x+1)(1+x+x2+⋯+x9+x10)=(1+x+x2+⋯+x6)2⇒(x−1)(x2+x+1)(x−1)(1+x+x2+⋯+x9+x10)=((x−1)(1+x+x2+⋯+x6))2⇒(x3−1)(x11−1)=(x7−1)2⇒x11−2x7+x3=0⇒x3(x8−2x4+1)=0⇒x3(x4−1)2=0⇒x3(x2+1)2(x2−1)2=0⇒x3(x−1)2(x+1)2(x2+1)2=0⇒x=0,−1
解答:f(x,y)=x√1−y2+y√1−x2⇒{fx=√1−y2−xy√1−x2fy=−xy√1−y2+√1−x2因此{fx=0fy=0⇒xy=√1−x2⋅√1−y2⇒x2y2=(1−x2)(1−y2)=1−x2−y2+x2y2⇒x2+y2=1代回f(x,y)=x⋅√x2+y√y2=x2+y2=1
解答:
令{¯BD=a¯BE=b,則{cos∠BDA=a2+16−368acos∠BDE=a2+16−b28a,由於cos∠BDA=−cos∠BDE⇒2a2−b2=4;同理,{cos∠BED=b2+16−a28bcos∠BEC=b2+16−648b,由於cos∠BED=−cos∠BEC⇒a2−2b2=−32因此{2a2−b2=4⋯(1)a2−b2=−32⋯(2),(1)+(2)3⇒a2−b2=−283⋯(3),(1)−(3)⇒a2=403⇒a=2√303
======================= END ======================
解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
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