110年試辦考試（適用於108課綱）數學B詳解

110試辦考試（適用於108課綱）數學B

第壹部分、選擇（ 填）題（占85分）
一、單選題（占 35 分）

解答：$${\sqrt 2\over \sqrt 3-\sqrt 2}-{5\over \sqrt 6+1} ={\sqrt 2(\sqrt 3+\sqrt 2)\over (\sqrt 3-\sqrt 2)(\sqrt 3+\sqrt 2)}-{5 (\sqrt 6-1)\over (\sqrt 6+1)(\sqrt 6-1)}\\ = \sqrt 6+2-{5(\sqrt 6-1)\over 5}= 3，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$

解答：$$(m\times n)(3\times 1)=(4\times 1) \Rightarrow \cases{m=4\\n=3} \Rightarrow (m,n)=(4,3)，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答：$$\cases{\sin\theta \cos\theta \lt 0\\ \sin \theta \lt \cos\theta} \Rightarrow \sin \theta \lt 0\lt \cos \theta \Rightarrow \theta 在第四象限，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答：$$\cases{A(-5,-6)\\ B(3,-2)} \Rightarrow \overleftrightarrow{AB}:{x+5\over 8}={y+6\over 4} \Rightarrow x=2y+7 ;\\因此若P\in \overline{AB} \Rightarrow P(2t+7,t),t\in[-6,-2]；\\令Q(x,y) \Rightarrow \cases{\overrightarrow{OQ}=(x,y)\\ \overrightarrow{OP} =(2t+7,t)\\ \overrightarrow{OC}= (0,4)}，因此(x,y)=2(2t+7,t)+(0,4) = (4t+14,2t+4)為一線段\\  \Rightarrow 兩端點\cases{Q_1(-10,-8)\\ Q_2(6,0)} \Rightarrow \overline{Q_1Q_2}=\sqrt{16^2+8^2} =\sqrt{320}，而\overline{AB} =\sqrt{8^2+4^2} =\sqrt {80}\\ \Rightarrow {\overline{Q_1Q_2}\over \overline{AB}}=\sqrt{320\over 80} =\sqrt 4=2，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答：$$正弦定理:{a\over \sin A} =2R =2\times{\sqrt 3\over 6}={1\over \sqrt 3} \Rightarrow {a\over 2a\sin B} = {1\over 2\sin B} ={1\over \sqrt 3} \\ \Rightarrow \sin B={\sqrt 3\over 2} \Rightarrow \angle B=60^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答：$$鹽罐與糖罐相鄰的排法:4!\times 2，全部有5!排法\\，因此符合要求的排法有5!-4!\times 2= 72，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

解答：

$$杯子的側面由不同大小的圓組合而成，水平面斜切水杯側面，形成拋物線(如上圖過D之曲線)\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

二 、 多 選 題 （ 占 2 5 分 ）

解答：$$\begin{bmatrix}3 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & a_n\\ a_n & b_n \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}a_{n+1} & c_n\\ d_n & b_{n+1} \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{a_{n+1}=a_n+3=a_{n-1}+3+3=\cdots =a_1+3n \cdots(1)\\ c_n=3a_n+b_n \cdots(2)\\ d_n=2a_n \cdots(3)\\ b_{n+1}=2b_n =2^2b_{n-1}=\cdots =2^nb_1 \cdots(4)}\\(1)\times: 由式(1)可知\langle a_n \rangle 為等差數列\\(2)\times: 由式(4)可知\langle b_n\rangle為等比數列\\ (3)\times: 將式(1)及(4)代入(2)\Rightarrow d_n=3a_1+9(n-1) +2^{n-1}b_1，非等差也非等比\\(4)\bigcirc:將式(1)代入(3) \Rightarrow d_n= 2(a_1+3(n-1))= 2a_1+6(n-1)為等差數列，公差為6\\(5)\times: d_1=2a_1，若a_1\lt 0，則d_1 =2a_1 \not \gt  a_1\\，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

解答：$$圓:(x-2)^2+(y-2)^2=2 \Rightarrow \cases{圓心O(2,2)\\ 半徑r=\sqrt 2}\\(1)\times: L:x+y+2=0 \Rightarrow d(O,L)={6\over \sqrt 2} \ne r\\ (2)\bigcirc: L:x-y-2=0 \Rightarrow d(O,L)={2\over \sqrt 2}=\sqrt 2=r\\(3)\bigcirc: L:x-y+2=0 \Rightarrow d(O,L)={2\over \sqrt 2}=\sqrt 2=r\\ (4)\times: L:x=0\Rightarrow d(O,L)= 2\ne r \\(5)\times: L:y=0 \Rightarrow d(O,L)=2 \ne r\\，故選\bbox[red,2pt]{(23)}$$

解答：$$(1)\times: f(-1)=2\ne -2\\ (2)\times: f'=-3(x+1)^2+p \Rightarrow f''=-6(x+1) \Rightarrow (-1,f(-1))=(-1,2)為對稱中心\\(3) \bigcirc: x^3係數不為0，不可能為直線\\(4)\bigcirc: 三次式與任何一條水平線皆有交點\\(5)\bigcirc: 至少(-1,2)為交點\\，故選\bbox[red,2pt]{(345)}$$

解答：$$(1)\times: \cases{體重中位數=57\\ 體重平均數\mu_X=56} \Rightarrow \mu_X \not \gt 57 \\(2)\times: \cases{體脂肪中位數=34\\ 體脂肪平均數\mu_Y=34} \Rightarrow \mu_Y \not \gt 33 \\(3)\times: 標準差=\sqrt{((-2)^2 +(-6)^2+1^2+ 0^2+7^2)\div 5}=3\sqrt 2 \gt 4\\ (4)\bigcirc:\sigma(X-2)=\sigma(X)\\ (5)\bigcirc: 大體而言，X越大、Y越大\\\\，故選\bbox[red,2pt]{(45)}$$

解答：$$(1)\times:A,B,C皆在北緯60度，三點在同一圓上，圓心在南北極軸上的上半部，非球心\\(2)\times: 東經20度、40度是以南北極為軸旋轉，非球心\\ (3)\bigcirc: A,B,C同緯度，在同一平面上，與赤道平行，故與南北極軸垂直\\ (4)\bigcirc:北緯60度與赤道平面夾角60度\Rightarrow 與南北極夾角90-60=30度\\(5)\bigcirc: 圓心角30度\Rightarrow 圓周角15度\\，故選\bbox[red,2pt]{(345)}$$

三 、 選 填 題 （ 占 2 5 分 ）

解答：$$(x+20)(x-20)(x^2+x-6)\lt 0 \Rightarrow (x+20)(x+3)(x-2)(x-20)\lt 0 \\ \Rightarrow \cases{2\lt x\lt 20 \\ -20\lt x\lt -3} \Rightarrow \cases{x=3,4,\dots,19，共17個\\ x=-19,-18,\dots,-4，共16個} \Rightarrow 合計17+16=\bbox[red, 2pt]{33}個$$

解答：$$六對夫婦取四對(C^6_4)，每對派一人(C^2_1)，共有C^6_4C^2_1C^2_1C^2_1 C^2_1 =15\times 2^4=\bbox[red,2pt]{240}種$$

解答：$$\cases{\vec a=(s,1/2) \Rightarrow |\vec a|=\sqrt{s^2+1/4}=1 \Rightarrow s=\pm \sqrt 3/2\\ \vec b=(-1/2,t) \Rightarrow |\vec b|=\sqrt{t^2+1/4}=1 \Rightarrow t=\pm \sqrt 3/2}\\ \cos 30^\circ ={\sqrt 3\over 2} ={\vec a\cdot \vec b\over |\vec a||\vec b|} =\vec a\cdot\vec b=-{1\over 2}s+{1\over 2}t \Rightarrow -s+t=\sqrt 3 \Rightarrow \cases{s=-\sqrt 3/2\\ t=\sqrt 3/2} \\ \Rightarrow s+t+4st = 0-3= \bbox[red,2pt]{-3}$$

解答：$$C^6_3({1\over 2})^6={20\over 64} =\bbox[red,2pt]{5\over 16}$$

解答：$${傳輸線正常投影機故障 \over 傳輸線故障投影機正常+傳輸線正常投影機故障+傳輸線投影機都故障} \\ ={ 0.9\times 0.05\over 0.1\times 0.95+ 0.9\times 0.05+ 0.1\times 0.05} ={ 0.045\over 0.095+ 0.045 + 0.005}=\bbox[red,2pt]{9\over 29}$$

第貳部分、混合題 或非選擇題（占 15 分）

解答：$$m={8.46\over 1024^{0.4}} ={8.46\over 2^{10\times 0.4}} ={8.46\over 16} \approx {8\over 16}={1\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

解答：$$\cases{狗:{8.46\over 2600^{0.4}}  \\人:{8.46\over 83000^{0.4}}} \Rightarrow {狗\over 人} ={83000^{0.4}\over 2600^{0.4}} =({830\over 26})^{0.4} \approx 32^{2/5}=2^2=4，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$

解答：

$$\cases{w=10^x\\ m=10^y}代入m={8.46\over w^{0.4}} \Rightarrow 10^y={10^{0.9}\over 10^{0.4x}} =10^{0.9-0.4x} \\\Rightarrow 圖形為一直線:y=0.9-0.4x，見上圖；兩軸交點\cases{P(0,0.9)\\ Q(2.25,0)}$$

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