110年專門職業及技術人員高等考試
等 別: 高等考試
類 科: 電機工程技師
科 目: 工程數學( 包括線性代數、 微分方程、 複變函數與機率)
解答:f(t)=2t2+∫t0f(t−τ)e−τdτ⇒L{f(t)}=L{2t2}+L{∫t0f(t−τ)e−τdτ}⇒F(s)=2⋅2s3+L{f(t)}L{e−t}=4s3+F(s)⋅1s+1⇒ss+1F(s)=4s3⇒F(s)=4s3+4s4⇒L−1{F(s)}=L−1{4s3}+L−1{4s4}⇒f(t)=2t2+23t3
解答:y′=y2e−2x⇒∫1y2dy=∫e−2xdx⇒−1y=−12e−2x+C1⇒1y=12e−2x−C1⇒y=112e−2x−C1=2e−2x−C2=2e2x1−C2e2x⇒y=2e2x1−Ce2x,C為常數
解答:a0=12π∫π−πf(x)dx=12π∫π−πx−x2dx=12π[12x2−13x3]|π−π=−13π2an=1π∫π−πf(x)cos(nx)dx=1π∫π−π(x−x2)cos(nx)dx=−1π∫π−πx2cos(nx)dx(∵xcos(nx)為奇函數)=−1n3π[(n2x2−2)sin(nx)+2nxcos(nx)]|π−π=−1n3π×4nπcos(nπ)=−4n2(−1)nbn=1π∫π−πf(x)sin(nx)dx=1π∫π−π(x−x2)sin(nx)dx=1π∫π−πxsin(nx)dx(∵x2sin(nx)為奇函數)=1n2π[sin(nx)−nxcos(nx)]|π−π=1n2π×(−2nπ)cos(nπ)=−2n(−1)n⇒f(x)=a0+∞∑n=0ancos(nx)+bnsin(nx)=−13π2+∞∑n=0(−4n2(−1)n)cos(nx)+(−2n(−1)n)sin(nx)⇒f(x)=−13π2−∞∑n=0(−1)n(4n2cos(nx)+2nsin(nx)),x∈(−π,π)
解答:{x(t)=t3y(t)=−tz(t)=t2⇒{dx=3t2dtdy=−dtdz=2tdt⇒∫cxdx−yzdy+ezdz=∫21t33t2dt−(−t3)(−dt)+et22tdt=∫213t5−t3+2tet2dt=[12t6−14t4+et2]|21=1114+e4−e
解答:f(x,y,z)=x2y−xy2+xz2⇒{fx=2xy−y2+z2fy=x2−2xyfz=2xz⇒∇f=(fx,fy,fz)令{P(1,−1,1)Q(1,−2,1)⇒→u=→PQ=(0,−1,0)為一單位向量因此∇f(P)⋅u=(−2,3,2)⋅(0,−1,0)=−3
解答:
(一)det(A)=|30−2020−200|=0−8=−8(二)det(A−λI)=0⇒|3−λ0−202−λ0−20−λ|=0⇒−λ(λ−2)(λ−3)−4(2−λ)=0⇒(λ−2)(−λ2+3λ+4)=0⇒(λ−2)(λ−4)(λ+1)=0⇒λ=−1,2,4λ1=−1⇒(A−λ1I)X=0⇒[40−2030−201][x1x2x3]=0⇒{2x1=x3x2=0,取v1=[102]λ2=2⇒(A−λ2I)X=0⇒[10−2000−20−2][x1x2x3]=0⇒{x1=0x3=0,取v2=[010]λ3=4⇒(A−λ3I)X=0⇒[−10−20−20−20−4][x1x2x3]=0⇒{x1+2x3=0x2=0,取v3=[20−1]因此特徵值為{λ1=−1λ2=2λ3=4,及相對應的特徵向量為{v1=(1,0,2)v2=(0,1,0)v3=(2,0,−1)(三)取P=[v1v2v3]=[10201020−1]⇒P−1=[1/502/50102/50−1/5]⇒P[λ1000λ2000λ3]P−1=A⇒P−1AP=[λ1000λ2000λ3]為一對角化矩陣
解答:∫∞−∞p(x)dx=∫20a(x+1)dx=1⇒[a(12x2+x)]|20=4a=1⇒a=14期望值E(X)=∫20xp(x)dx=14∫20x2+xdx=14[13x3+12x2]|20=76E(X2)=∫20x2p(x)dx=14∫20x3+x2dx=14[14x4+13x3]|20=53因此變異數Var(X)=E(X2)−(E(X))2=53−(76)2=1136即期望值=76,變異數=1136
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考選部未公布答案,解題僅供參考,其他國考試題及詳解
確認一下定義,第六題(二)特徵向量、(三)對角化矩陣,這種題目是不是都有無限多組解阿,因為任意K倍都可以成立。
回覆刪除沒錯,特徵向量與相對應的矩陣有無限多組解!!! 一般人會取最簡單,容易計算的來回答。
刪除謝謝回答
刪除第三題 f(x) 未指定 x 的 range 您解答用 -pi ~ pi 好像怪怪的
回覆刪除對! 這題怪怪的... f(x)是發散的....只好這樣回答.
刪除您好,請問第一題的第二行等號右邊是4/S^3嗎?
回覆刪除確認一下
對!應該是4/s^3,已修訂,謝謝!
刪除第六題(二)特徵向量,好像寫错
回覆刪除應該沒有錯, 剛才又用電腦算一遍, 答案是對的!!!
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