110年專科學力鑑定-初級統計詳解

教育部 110 年自學進修專科學校學力鑑定考試

解答：$$樣本數與抽樣誤差的平方呈反比，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$人數、排名皆為離散型，只有身高是連續性的實數，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$最大值減去最小值=13-2=11，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$P(0\lt X \lt 8)=P({0-3\over 2}\lt Z\lt {8-3\over 2}) =P(-1.5\lt Z\lt 2.5) =P(Z\lt 2.5)-P(Z\lt -1.5)\\ =P(Z\lt 2.5)-(1-P(Z\lt 1.5))=0.9938-(1-0.9332)=0.927，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$6\times 1=6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$負線性相關:一個變數遞增則另一變數遞減；中古車的車齡越大則售價越低，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$盒鬚圖需使用中位數，而非眾數，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$排名中間的數值不易受到最大與最小值的影響，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$降雨量的單位為公厘，為連續型資料，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$同一群體不同時間測量為相依樣本，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$隨機抽5家為取樣，樣本標準差=\sqrt{\sum_{i=1}^5(x_i-\bar x)\over 5-1} =6.124，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$由樣本數據可知:\bar x_1\gt \bar x_2，如果能拒絕H_0，則能證明進口啤酒高於國產啤酒；\\因此\cases{H_0:\mu_1\le \mu_2\\ H_1:\mu_1\gt \mu_2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$常態分配左右對稱，因此平均數左邊曲線下面積=右邊面積=0.5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$210\div 300=0.7，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$p\lt \alpha \Rightarrow 達顯著差異，拒絕H_0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$以樣本平均當成是母體平均的點估計，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$不同的學生為獨立樣本，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$np(1-p)=15\times 0.2\times 0.8=2.4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$(A)(C)\times:x增加1 \Rightarrow y增加83.4千元(不是元)\\(B)\times:不適用員工數超過82的預估\\(D)\bigcirc:理由同(C)
\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$P(抽到紅心6\mid 抽到梅花3)= \cfrac{P(抽到梅花3且抽到紅心6)}{P(抽到梅花3)}=\cfrac{{1\over 52}\times {1\over 51}}{1\over 52} ={{1\over 51}}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$E(X)=\sum xp(x)=0\cdot 0.07+1\cdot 0.68+ 2\cdot 0.21+3\cdot 0.03+ 4\cdot 0.01=1.23，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$Y=-3X+1 \Rightarrow E(Y)=E(-3X+1)=-3E(X)+1=-3\times 3+1=-8，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$Z={1300-1225\over 75}=1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$IQR=Q_3-Q_1=40，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$Var(Y)=Var(-2X+1)=(-2)^2Var(X)=4\times 5=20，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$信賴區間=\bar x\pm z_{\alpha/2}{\sigma \over \sqrt n} =30000\pm 1.645\times {10000\over \sqrt{100}}\\ \Rightarrow 區間上限為30000+1.645\times 1000=31645，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$  MSE= {SSE\over n-k} \Rightarrow 20={SSE\over 60-2} \Rightarrow SSE=20\times 58=1160 \\\Rightarrow 判定係數R^2 =1-{SSE\over SST}=1-{1160\over 2800}=0.586，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$10\div 25=0.4，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$P(A\cup B)=P(A)+P(B) -P(A\cap B)=0.4+0.5-0=0.9，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$P(175\lt X\lt 190)=P({175-180\over 10}\lt Z\lt {190-180\over 10}) =P(-0.5\lt Z\lt 1)\\ = P(Z\lt 1)-P(Z\lt -0.5) =P(Z<1)-(1-P(Z\lt 0.5))=0.8413-(1-0.6915)\\= 0.5328，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$自由度為(3-1)\times (2-1)=2，\bbox[blue,2pt]{無解}，公布的答案是\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$60\div 5=12，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$n=(z_{\alpha/2})^2\times {p(1-p)\over E^2} =1.645^2\times {0.3\times 0.7\over 0.05^2} =227.3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\begin{array}{c|l|l|l|l} 變異&自由度 &平方和& 均方 & F\\\hline 處方& 4-1=3& SSR=SST-SSE=1200-160=1040 & MSR=1040/3 & MSR/MSE \\ 誤差& 19-3=16 & SSE= MSE\times 16=10\times 16=160& MSE=10& \\ \hdashline 合計& 4\times 5-1=19& SST=1200& \\\hline\end{array} \\ 由以上計算過程可求得F={1040\over 3}\div 10 ={104\over 3}=34.67，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$F_{\alpha}(m-1,N-m)，其中\cases{m=3種品牌\\ N=樣本數=4+4+5=13} =F_{0.05}(3-1,13-3)\\ =F_{0.05}(2,10)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$喜歡辣香腸的男生5人，女生4人，因此男性比率為5/9=0.556，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{每盒的平均重量=6\times 180=1080 \\每盒重量的標準差=\sqrt 6\times 10= 24.495}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$樣本求得之統計資料為統計量，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\lambda =2次/年\Rightarrow P(k)={\lambda^k\over k!}e^{-\lambda} ={2^k\over k!}e^{-2}\Rightarrow P(k\ge 2)= 1-P(k=0)-P(k=1) \\=1-e^{-2}-2e^{-2}=1-e^{-2}=0.594，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$溫度資料可計算，非比例，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$n=(z_{\alpha/2})^2\cdot {s^2 \over E^2} =1.96^2\times {2^2\over 0.5^2} =61.47 \Rightarrow n=62，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$P(X\lt 1050)= P(Z\lt {1050-180\times 6\over \sqrt 6 \times 10}) = P(Z\lt -1.22)= 1-P(Z<1.22)\\=1-0.8888 = 0.1112，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$反反正的機率={1\over 2}\times {1\over 2}\times {1\over 2}={1\over 8}=0.125，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\bar x=(6.5+7.5+8.5+7+8)\div 5=7.5\\ \Rightarrow s=\sqrt{((6.5-7.5)^2+(7.5-7.5)^2+ (8.5-7.5)^2+(7-7.5)^2+ (8-7.5)^2)\div (5-1)}\\ =\sqrt{(1+0+1+0.25+0.25)\div 4}=\sqrt{2.5\div 4}=0.79\\ \Rightarrow CV={0.79\over 7.5}= 0.1054 =10.5\%，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$P(Z\lt {1.7-2\over 0.8/\sqrt{64}})=P(Z\lt -3)=0.5-P(0\lt Z\lt 3)=0.5-0.4987=0.0013，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$ P(A\mid B)={P(A \cap B)\over P(B)}=0.1 \Rightarrow P(A\cap B)=0.1\times 0.3=0.03 \\\Rightarrow  P(B\mid A)={P(A \cap B)\over P(A)}={0.03\over 0.2} =0.15，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)= P(A)+P(B)-P(A)P(B)  \Rightarrow 0.3=0.2+P(B)-0.2P(B)\\ \Rightarrow P(B)={0.1\over 0.8}=0.125，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$1-0.9^5=0.40951，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$從上數到下，共有2+3+4+ 8+5+3=25位同學，中位數即排名第13的同學\\也就是75分，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$${3白5黑取3球\over 全10球取3球} ={C^8_3\over C^{10}_3}={7\over 15}=0.467，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解題僅供參考，其他歷年專科學力鑑定試題及詳解