110年公務人員升官等考試
等 級: 薦任
類科( 別): 物理
科 目: 微積分
解答:limx→∞√x2+2x+3−x=limx→∞(x2+2x+3)−x2√x2+2x+3+x=limx→∞2x+3√x2+2x+3+x=limx→∞(2x+3)′(√x2+2x+3+x)′=limx→∞2x+1√x2+2x+3+1=21+1=1解答:f(x)=3x−5√3−2x⇒f′(x)=3√3−2x+3x−5(3−2x)3/2=9−6x+3x−5(3−2x)3/2=4−3x(3−2x)3/2⇒f″(x)=3−3x(3−2x)5/2;因此f′(x)=0⇒x=43⇒f″(43)=−1(1/3)5/2<0又x∈(43,32)⇒f′(x)<0,即f(x)為遞減,當x∈(43,32);又x∈(−∞,43)⇒f′(x)>0,即f(x)為遞增,當x∈(−∞,43);因此f(43)=−√3為極大值亦為最大值,其坐標(x,y)=(43,−√3)
解答:F(x)=∫x−x√1−t2dt⇒F′(x)=√1−x2⋅dxdx−√1−(−x)2⋅d(−x)dt=2√1−x2⇒F″(x)=−2x√1−x2
解答:{u=lnxdv=x2dx⇒{du=1xdxv=13x3⇒∫x2ln(x)dx=13x2ln(x)−∫13x2dx=13x2ln(x)−19x3+C⇒∫1e−1x2ln(x)dx=[13x2ln(x)−19x3]|1e−1=0−19−(13e−3−19e−3)=49e−3−19
解答:∫10∫1yyex3dxdy=∫10∫x0yex3dydx=∫1012x2ex3dx=[16ex3]|10=16(e−1)
解答:令{u=x2yv=y/x⇒{x=(u/v)1/3y=(uv2)1/3⇒J(u,v)=|∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v|=|13u−2/3v−1/3−13u1/3v−4/313u−2/3v2/323u1/3v−1/3|=13u−1/3v−2/3;同時{1≤x2y≤2x≤y≤3x⇒{1≤u≤21≤v≤3因此∬
解答:C:(-1,0,1)\to(1,2,2) \Rightarrow \cases{x(t)=-1+2t\\ y(t)=2t\\ z(t)=1+t},t\in [0,1] \Rightarrow \cases{dx=2dt\\ dy=2dt\\ dz=dt} \\ \Rightarrow \int_C 3x^2y^2 \cdot dx+2x^3y\cdot dy+2z\cdot dz= \int_0^1 3(2t-1)^2(2t)^2(2dt)+2(2t-1)^3 (2t)(2dt) +2(t+1)dt \\ =\int_0^1 24t^2(2t-1)^2+ 8t(2t-1)^3 +2(t+1)\;dt\\ =\left. \left[24({4\over 5}t^5-t^4+{1\over 3}t^3) +8({8\over 5}t^5-3t^4+2t^3-{1\over 2}t^2)+t^2+2t\right] \right|_0^1\\= 24({4\over 5}-1+{1\over 3})+8({8\over 5}-3+2-{1\over 2})+1+2 ={16\over 5}+ {4\over 5}+3= \bbox[red,2pt]{7}
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考選部未公布答案,解題僅供參考,其他國考試題及詳解
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