111年彰化高中科學班甄選-數學詳解

國立彰化高級中學 111 學年度科學班甄選【數學科】試題

壹、第一部分： （每題 6 分）

解答： $${1\over \sqrt[3]{25} +5\sqrt[3] 5 +5} = {1\over \sqrt[3] {25^2} +\sqrt[3]{25\cdot 5}+ \sqrt[3]{ 5^2} } ={\sqrt[3]{25}- \sqrt[3] 5 \over (\sqrt[3]{25}- \sqrt[3] 5)(\sqrt[3] {25^2} +\sqrt[3]{25\cdot 5}+ \sqrt[3]{ 5^2} )}\\ ={\sqrt[3]{25}- \sqrt[3] 5 \over 25-5} = \bbox[red,2pt]{{1\over 20}(\sqrt[3]{25}- \sqrt[3] 5)}$$

解答： $$k^3的個位數為1,8,7,4, 5,6, 3,2, 9,0,1,8,...，循環數為10，且每10個合計為45；\\因此1^3,2^3,\dots,2022^3的個位數字總和為202\times 45+ 1+8 = \bbox[red,2pt]{9099}$$

解答： $$kx +(k+2)y-1=0 與座標軸的交點為\cases{A(1/k,0)\\ B(0,1/(k+2)} \\\Rightarrow S_k=\triangle OAB面積= {1\over 2k(k+2)} ={1\over 4}\left({1\over k}-{1\over k+2}\right) \\ \Rightarrow S_1+S_2 +\cdots +S_{111}= {1\over 4}\sum_{k=1}^{111}\left({1\over k}-{1\over k+2}\right)={1\over 4}\left({1\over 1}+{1 \over 2}-{1\over 112}-{1\over 113} \right) =\bbox[red, 2pt]{18759 \over 50624}$$

解答： $$\cases{2\le x\le 4 \Rightarrow f(x)=x^2-2x-4 =(x-1)^2-5 \Rightarrow 最大值f(4)=4,最小值f(2)=-4\\  -2\le x\le 2 \Rightarrow f(x)= -x^2-2x+4= -(x+1)^2+5 \Rightarrow 最大值f(-1)=5,最小值=f(2)=-4} \\ \Rightarrow \cases{整體的最值M=5\\ 整體的最小值m=-4} \Rightarrow M+m= \bbox[red,2pt]{1}$$

解答： $$f(x)+3 f({30\over x}) =5x-2 \Rightarrow \cases{f(2)+3f(15)= 8\\ f(15)+ 3f(2)=73 } \Rightarrow f(2)= \bbox[red, 2pt]{211\over 8}$$

解答：

$$作\overline{AD} \bot \overline{CT}，見上圖；由於\cases{\overline{OT}\parallel \overline{AD} \parallel \overline{BC}\\ \overline{OA}: \overline{AB}=1:1} \\ \Rightarrow \overline{AD}為\overline{CT} 的中垂線 \Rightarrow \angle OTA =\angle ACB =\theta =39^\circ;\\ 又\cases{\overline{OT}=\overline{OA} (都是圓半徑)\Rightarrow \angle OAT=\theta\\ \overline{OT}\parallel \overline{AD} \Rightarrow \angle TAD=\theta\\ \overline{AD} \parallel \overline{BC} \Rightarrow \angle DAC=\theta} \Rightarrow \angle CAD =3\theta = 3\times 39^\circ = \bbox[red,2pt]{117^\circ}$$

解答： $$(a+b-2ab)(a+b-4)+(2-ab)^2 = (a+b)^2-2(a+b)(ab+2) +8ab+ (2-ab)^2\\ =(a+b)^2-2(a+b)(ab+2) +a^2b^2+4ab+4 =(a+b)^2-2(a+b)(ab+2) +(ab+2)^2\\ =((a+b)-(ab+2))^2 =\bbox[red,2pt]{(a+b-ab-2)^2}$$

解答：

$$假設\triangle ABC中，\cases{\overline{AB}=c\\ \overline{BC}=a\\ \overline{CA}=b} 且\cases{\overline{AB}上的高為5\\ \overline{BC}上的高為3\\ \overline{CA}上的高為4}，如上圖；\\ 因此\triangle ABC面積={1\over 2}3a ={1\over 2}4b ={1\over 2}5c \Rightarrow 3a=4b=5c= k \Rightarrow \cases{a=k/3\\ b=k/4\\ c=k/5} \\ \Rightarrow b^2+c^2-a^2=k^2({1\over 16} +{1\over 25}-{1\over 9}) \lt 0 \Rightarrow \cos A={b^2+c^2-a^2 \over 2bc} \lt 0\\ \Rightarrow \angle A為鈍角 \Rightarrow \triangle ABC 為\bbox[red, 2pt]{鈍角}三角形$$

解答：

    這是右偏分佈(right skewed distribution)，因此$\bbox[red,2pt]{Mo\le Me\le M}$

解答： $$(a-b)^2+ |b-c|\times |c-d|=1 \Rightarrow \cases{a=b\Rightarrow |b-c|=|c-d|=1\\ a=b+1 \Rightarrow b=c 或c=d\\ a=b-1 \Rightarrow b=c或c=d}\\ a=b \Rightarrow \begin{array}{} a & b & c & d & 數量\\\hline 6 & 6 & 5& 4,6 & 2\\ 5 & 5 & 6 & 5 & 1\\ & & 4 & 5, 3 & 2\\ 4 & 4& 5 & 4,6 & 2\\ & & 3 & 2,4 & 2\\ 3 & 3& 4 & 3,5 & 2\\ & & 2 & 1,3 & 2\\ 2 & 2& 3 & 2,4 & 2\\ & & 1 & 2 & 1\\ 1 & 1& 2 & 1,3& 2\\\hline \end{array} \Rightarrow 共18種\\ a=b+1 \Rightarrow \begin{array}{} a & b & c & d & 數量\\\hline 6 & 5 & 5 & 1-6 & 6\\ & & 1 & 1 & 1\\ & & 2 & 2& 1\\ & & \cdots & \cdots \\ & & 6 & 6 & 1\\\hdashline \cdots \\ 2 & 1 & 1 & 1-6 & 6\\ & & 1 & 1 & 1\\ & & 2 & 2& 1\\ & & \cdots & \cdots\\ & & 6 & 6 & 1\\\hline \end{array} \\ \qquad \Rightarrow 共5\times 12=60再扣除重複的5次(b=c=d)，共60-5=55次\\ a=b-1與a=b+1相同，也是55次；因此共18+55+55= 128次，機率為{128\over 6^4} = \bbox[red,2pt]{8\over 81}$$

解答：

$$令\cases{O(0,0)\\ A(0,6)\\ M(0,-4)} \Rightarrow \overline{CM}= \sqrt{6^2-4^2} =2\sqrt 5 \Rightarrow \cases{C(2 \sqrt 5,-4)\\ B(-2\sqrt 5,-4)} \Rightarrow L= \overleftrightarrow{AB} : y= \sqrt 5x+6 \\ \Rightarrow \overline{OR}= d(O,L)= \sqrt 6 \Rightarrow \overline{PR} =\sqrt{4^2-6} =\sqrt{10} \Rightarrow \overline{PQ} =2 \cdot \overline{PR}= \bbox[red, 2pt]{2\sqrt{10} }$$

貳、第二部分： 

12. 2019—2020 年新型冠狀病毒肺炎（ COVID-19） 爆發時，引發民眾恐慌，口罩一罩難求。製造口罩的工廠工作負荷量大，設備維修也刻不容緩。設備維修是指通過修復或更換磨損零件，調整精度、排除故障，以恢復設備原有功能而進行的技術活動，目標在於恢復精度、性能、提高效率、延長使用壽命以保持生產能力，從而直接或間接的增進生產管制、產品品質、工業安全與銷售，設備維修最基本的是定期設備保養。 柴柴工廠是一通過政府審查合格的口罩製造廠，因為董事長黃柴柴重視保養，口罩品質一直備受好評，銷售量也很穩定。現在的保養都是全自動化作業，董事長選用了3 種（ 甲、乙、丙） 保養方式。若甲、乙兩種合作，一部機器需 1 小時 12 分鐘完成保養；乙、丙兩種合作，一部機器需1 小時 20 分鐘完成保養；甲、丙先合作進行 1 小時，再由乙獨立進行還需 50 分鐘可完成。請回答以下問題：

解答：

(1) $$假設\cases{甲獨立完成需要a小時\\ 乙獨立完成需要b小時\\ 丙獨立完成需要c小時} \Rightarrow \cases{({1\over a}+{1\over b})\times {6\over 5}=1 \\ ({1\over b}+{1\over c})\times {4\over 3}=1 \\ ({1\over a}+{1\over c})+ {1\over b}\times {5\over 6}=1} \Rightarrow \cases{a=3\\ b=2\\ c=4} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{甲獨立完成需要3小時\\ 乙獨立完成需要2小時\\ 丙獨立完成需要4小時}}$$ (2) $$假設丙需要t小時\Rightarrow {1\over a}\times {40\over 60}+{1\over b}+{1\over c}\times t= 1 \Rightarrow {1\over 3}\times {2\over 3} +{1\over 2} +{1\over 4}\times t=1\\ \Rightarrow {t\over 4}={5\over 18}  \Rightarrow t= {10\over 9}小時 \approx 67分鐘 \Rightarrow 三人共需\bbox[red, 2pt]{2小時又47分鐘}$$

解答： $$\cases{\overline{AF} = \sqrt{4^2+4^2} =4\sqrt 2\\ \overline{AC} =\sqrt{4^2+ 28^2} =20\sqrt 2} \Rightarrow \cases{\cos \angle AFB =1/\sqrt 2\\ \sin \angle AFB=1/\sqrt 2\\ \cos \angle ACB = 28/20\sqrt 2= 7/5\sqrt 2\\ \sin \angle ACB=4/20\sqrt 2 =1/5\sqrt 2} \\ \Rightarrow \cos(\angle AFB+\angle ACB) = \cos\angle AFB\cos \angle ACB-\sin\angle AFB \sin \angle ACB \\={1\over \sqrt 2}\cdot {7\over 5\sqrt 2}-{1\over \sqrt 2}\cdot {1\over 5\sqrt 2} ={7\over 10}- {1\over 10} =\bbox[red,2pt]{3\over 5}$$

解答： $$此題相當於兩圖形\cases{y=|x|\\ y=1-2ax} 只有一個交點，因此y=1-2ax的斜率小於等於-1\\即-2a \le -1 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{a\ge {1\over 2}}$$

解答： $$假設圈數為n，完成該圈需要走2n\times 4步，完成該圈後終點座標為(n,-n)\\ (2+4+ 6+\cdots +2n)\times 4 \le 300 \Rightarrow n=8 \Rightarrow (2+4+\cdots + 16)\times 4=288\\ 剩下300-288=12步，由(8,-8)\to(9,-8)再往上走11步，座標為\bbox[red,2pt]{(9,3)}$$
 =============== 解題僅供參考 =====================