111年身障生升四技二專-數學(A)詳解

111 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試

甄試類(群)組別：四技二專組-數學(A)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解答： $$\cfrac{\sqrt[3]{x^2}\cdot x^8}{x^3} =\cfrac{x^{2/3}\cdot x^8}{x^3} = x^{2/3+8-3} =x^{17/3} \Rightarrow n=\cfrac{17}{3}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$2\log_{10} 2+\log_{10}25- \log_2\left(\cfrac{1}{8}\right)+\log_2 1 =2\log_{10} 2+\log_{10}5^2- \log_22^{-3}+0 \\=2\log_{10} 2+ 2\log_{10}5 +3\log_2 2  =2\log_{10} 2+ 2\log_{10}{10\over 2} +3 =2\log_{10} 2+ 2(1-\log_{10} 2) +3 \\ =2+3=5，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$2\sin(-30^\circ) +\cos(0^\circ) +\tan(135^\circ) =2\cdot(-{1\over 2})+1 -1=-1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$標準差變為8\times 1.1=8.8 \ne 10.8，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{({1\over 2})^{-1.2} =2^{1.2} \\ ({1\over 3})^{-1.2}=3^{1.2}}，由於3^{1.2}\gt 2^{1.2} \Rightarrow ({1\over 3})^{-1.2} \gt ({1\over 2})^{-1.2}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$f(x)=(2x-1)Q(x)+r \Rightarrow xf(x)= x(2x-1)Q(x)+ rx =2x(x-{1\over 2})Q(x)+ r(x-{1\over 2})+{r\over 2}\\ =(x-{1\over 2})(2xQ(x)+r)+ {r\over 2} \Rightarrow \cases{商式=2xQ(x)+r\\ 餘式={r\over 2}}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$x^2+y^2+4x=9 \Rightarrow (x+2)^2+y^2 = 13 \Rightarrow 圓心O(-2,0) \Rightarrow \vec n=\overrightarrow{OP} =(3,2)\\ \Rightarrow 切線方程式: 3(x-1)+2(y-2)=0 \Rightarrow 3x+2y-7=0 \Rightarrow -3x-2y+7=0\\ \Rightarrow \cases{a=-3\\ b=-2} \Rightarrow a+b=-5，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{f(1)=8\\ f'(1)=0} \Rightarrow \cases{a+b+5=8\\ 2a+b=0} \Rightarrow \cases{a=-3\\ b=6}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{a=\sin 20^\circ \\ b=\cos 20^\circ =\sin 70^\circ \\ c=\sin 45^\circ } \Rightarrow b\gt c\gt a，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$f(x)= x^3-4x+3 =(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)\\ \Rightarrow \cases{f(0)=3 =-1+a-b\\ f(2)=8-8+3 =1+a+b} \Rightarrow \cases{a-b=4\\ a+b=2} \Rightarrow \cases{a=3\\ b=-1} \Rightarrow 2a-b=6+1=7，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$兩隧道都不通的機率為0.4\times 0.3=0.12，因此能通行的機率=1-0.12=0.88 \approx 0.9，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$25+25\times {3\over 5}+ 25\times {3\over 5} +25\times {3\over 5}\times {3\over 5}=25+ 15+15+9=64，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答： $$f(x)=-2^{-x}+b 為遞增函數\Rightarrow f(0)=b-1 \gt 0 \Rightarrow b\gt 1，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $${2-x \over x+1} \ge 0 \Rightarrow (2-x)(x+1)\ge 0 \Rightarrow (x-2)(x+1)\le 0 \Rightarrow -1\le x\le 2，但分母x+1\ne 0\\ ，因此-1\lt x\le 2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{甲成績:\langle a_n\rangle \\乙成績:\langle b_n\rangle} \Rightarrow \cases{首項a_1=42, 公差d_a \\首項b_1=90, 公差d_b} \Rightarrow a_7=b_7 \Rightarrow 42+6d_a=90+6d_b \Rightarrow d_a-d_b= 8\\ \Rightarrow a_{12}-b_{12}= a_1+11d_a-b_1-11d_b =a_1-b_1+11(d_a-d_b)= 42-90+11\times 8 = 40，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$-1\lt x\lt 2\Rightarrow   \cases{ |2x+3|=2x+3 \\  |x-3|=3-x} \Rightarrow |2x+3|+|x-3|-6 = 2x+3+3-x -6=x，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$\log 3=n \Rightarrow \log 75=\log (5^2\times 3)= \log 3+2\log 5= n+2\log 5=m \Rightarrow \log 5=(m-n)/2 \\ \Rightarrow \log \cfrac{9}{125} =\log 9-\log 125 =2\log 3-3\log 5=2n-{3\over 2}(m-n) = \cfrac{7n-3m}{2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{出現3個人頭:機率={1\over 8}、得1000元\\ 出現3個10圓:機率={1\over 8}、得1200元\\ 其他情況:機率={6\over 8}、賠500元} \\\Rightarrow 期望值={1\over 8}(1000+1200) -{6\over 8}\cdot 500 = 275-375=-100，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答： $$早上8:00至下午4:00，共騎了8小時，騎了8\times 8=64公里，因此里程標示為34+64= 98\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答： $$甲、乙從四種職務挑二種來擔任，有C^4_2\times 2=12種選法；\\剩下10人擔任二種職務，共有C^{10}_2\times 2=90選法；\\ 因此共有12\times 90=1080種選法；，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考，其他歷屆試題及詳解