107 年度全國科學班聯合學科資格考試 數學科
一、 單選題:
解答:
假設A(0,0),則{¯AB=2√2∠EAB=45∘⇒{B(−2,2)∠ABC=75∘⇒{C(2√3−2,4)∠BCD=120∘⇒D(2√3−2,10)因此{→AB=(−2,2)→AD=(2√3−2,10)⇒→AB⋅→AD=−4√3+4+20=24−4√3,故選(D)
解答:由於M值未定,所以(A),(B),(C)無法確定;又{週期為πx=2π/3為對稱軸⇒對稱中心位於x=2π3±nπ4,n∈N,取n=1⇒x=2π3−π4=5π12⇒(5π12,0)為對稱中心,故選(D)
二、多選題:
解答:已知{ˉx=60=130∑30k=1xkσ=10=√130∑30k=1(xk−ˉx)2(A)◯:f(60)=f(ˉx)=30∑k=1(ˉx−xk)2=30⋅σ2=3000(B)×:σ2=13030∑k=1x2k−ˉx2⇒13030∑k=1x2k=σ2+ˉx2=100+602=3700⇒30∑k=1x2k=3700×30=111000≠12100(C)◯:f(50)=30∑k=1(50−xk)2=30∑k=1((60−xk)−10)2=30∑k=1((60−xk)2−20(60−xk)+100)=30∑k=1(60−xk)2−2030∑k=1(ˉx−xk)+30×100=30∑k=1(60−xk)2+3000=30σ2+3000=6000(D)◯:f(61)=30∑k=1((60−xk)2+30=f(60)+30⇒f(61)>f(60)(E)×:f(x)=30∑k=1(x−xk)2⇒f′(x)=230∑k=1(x−xk)⇒f(59)=230∑k=1(60−xk−1)=230∑k=1(60−xk)−2×30=0−2×30<0故選(ACD)解答:(A)×:y=g(x)為面積積分,顯然g(2)>(1),g(1)不是最大值(B)◯:g(2)至g(4)的面積是負值,因此g(4)為極小值(C)◯:g(2)至g(3)面積為負值,且|g(x)|越來越大,面積越積越小(D)×:g′(x)=f(x)⇒g″(x)=f′(x),而f′(x)<0,x∈(2,3),因此為凹向下(E)×:g″(x)=f′(x)=0⇒有三個相異解x=1,3,5,且f′(x)在此三解左右正負號均改變,因此皆為反曲點故選(BCE)
解答:(A)◯:α2−2αβ+4β2=0⇒(αβ)2−2αβ+4=0⇒αβ=1±√3i(B)×:αβ=1±√3i=2(cosπ3±isinπ3)⇒→OP是→OQ繞原點旋轉±60∘,且|→OP|=2|→OQ|(C)◯:|→OP|=2|→OQ|⇒¯OP=2¯OQ(D)◯:{∠POQ=60∘¯OP=2¯OQ⇒△POQ=30∘−60∘−90∘(E)×:△POQ為直角△故選(ACD)
三、填充題:
解答:甲比乙大的情形:(2,1),(3,1−2),(4,1−3),(5,1−4),(6,1−5),共有15種情形;其中點數和為7的情形:(4,3),(5,2),(6,1),有3種情形,因此機率為315=15解答:f(x)=a3x3+b3x通過(1,1)⇒a3+b3=1⇒a+b=3⇒a=3−b;G=2∫10(x−f(x))dx=13⇒∫10(x−f(x))dx=∫10−a3x3+3−b3xdx=∫10−a3x3+a3xdx=16⇒−a12+a6=16⇒a=2⇒b=3−a=1⇒(a,b)=(2,1)
解答:
假設雙曲線中心點在原點,則雙曲線方程式為x2122−y2b2=1,且通過{A(15,k)C(20,k−50),k>0;將{x=15x=20代入方程式⇒{kb=912=34k−50b=−1612=−43⇒34b−(−43b)=50⇒b=24⇒正交弦長=2b2a=2×24212=96
解答:
一、數學寫作能力:
解答:體積公式為|→a⋅(→b×→c)|先證明由→b及→c所張開的平行四邊形面積為|→b×→c|假設{→b=(b1,b2,b3)→c=(c1,c2,c3)⇒→b及→c所張開的平行四邊形面積=√|→b|2|→c|2−(→b⋅→c)2=√(b21+b22+b23)(c21+c22+c23)−(b1c1+b2c2+b3c3)2=√|a1a2b1b2|2+|a2a3b2b3|2+|a3a1b3b1|2=|→b×→c|體積=|→b×→c|×高,而高=→a在→b×→c上的正射影長,即|→a||cosθ|=|→a⋅(→b×→c)||→b×→c|⇒體積=|→b×→c|×|→a⋅(→b×→c)||→b×→c|=|→a⋅(→b×→c)|,故得證
假設△OBC的外心為P,則¯OP為¯BC的中垂線,並令∠BAC=∠POC=θ餘弦定理:{△OPC⇒cosθ=R21+R22−R222R1R2=R12R2=R14R1=14△ABC⇒cosθ=142+112−¯BC22⋅14⋅11=317−¯BC2308⇒317−¯BC2308=14⇒¯BC2=240⇒¯BC=4√15再由正弦定理:△ABC⇒¯BCsinθ=4√15√15/4=2R1⇒R1=8
解答:n⌊logn⌋數量小計1−9099×0=010−9919090×1=90100−9992900900×2=18001000−1018310191019×3=3057∑20184947⇒2018∑n=1an=4947
一、數學寫作能力:
解答:體積公式為|→a⋅(→b×→c)|先證明由→b及→c所張開的平行四邊形面積為|→b×→c|假設{→b=(b1,b2,b3)→c=(c1,c2,c3)⇒→b及→c所張開的平行四邊形面積=√|→b|2|→c|2−(→b⋅→c)2=√(b21+b22+b23)(c21+c22+c23)−(b1c1+b2c2+b3c3)2=√|a1a2b1b2|2+|a2a3b2b3|2+|a3a1b3b1|2=|→b×→c|體積=|→b×→c|×高,而高=→a在→b×→c上的正射影長,即|→a||cosθ|=|→a⋅(→b×→c)||→b×→c|⇒體積=|→b×→c|×|→a⋅(→b×→c)||→b×→c|=|→a⋅(→b×→c)|,故得證
解答:
(1)當a=0或0<r≤1時,數列收斂,收斂值為{0,a=0或0<r<1a,r=1(2)等比級數前n項和S(n)=a(1−rn)1−r⇒limn→∞S(n)={ar=0a1−r0<|r|<1發散|r|≥1
二、計算證明題:
解答:(2x+2−x)2=22x+2−2x+2⇒21+2x+21−2x=2⋅22x+2⋅2−2x=2(22x+2−2x)=2(2x+2−x)2−4⇒21+2x+21−2x−7(2x+2−x)+9=2(2x+2−x)2−7(2x+2−x)+5=(2(2x+2−x)−5)((2x+2−x)−1)<0⇒1<2x+2−x<5/2⇒2≤2x+2−x<5/2令f(x)=2x+2−x,則2≤f(x)<5/2⇒−1<x<1令g(x)=10x+10−x,則g(1)=g(−1)=10110⇒2≤10x+10−x<10110 解答:{P(X=0)=(1−p)(1−q)P(X=1)=p(1−q)+(1−p)qP(X=2)=pq⇒{E(X)=0+p(1−q)+(1−p)q+2pq=p+qE(X2)=0+p(1−q)+(1−p)q+4pq=p+q+2pq⇒σ(X)=√E(X2)−(EX)2=√p+q+2pq−(p+q)2=√p(1−p)+q(1−q)⇒{期望值=p+q標準差=p(1−p)+q(1−q)
解答:y=f(x)=x3+Px2+1⇒f′(x)=3x2+2Px假設切點為(k,f(k))=(k,k3+Pk2+1)⇒切線斜率=f′(k)=3k2+2Pk⇒切線L方程式:y=(3k2+2Pk)(x−k)+k3+Pk2+1又L通過(0,0)⇒0=(−k)(3k2+2Pk)+k3+Pk2+1=−2k3−Pk2+1令g(k)=2k3+Pk2−1⇒g′(k)=6k2+2Pk=0⇒k=0,−P/3g(k)=0有三相異實根⇒g(0)g(−P/3)<0⇒−227P3+19P3−1>0⇒P3>27⇒P>3
解答:
解答:y=f(x)=x3+Px2+1⇒f′(x)=3x2+2Px假設切點為(k,f(k))=(k,k3+Pk2+1)⇒切線斜率=f′(k)=3k2+2Pk⇒切線L方程式:y=(3k2+2Pk)(x−k)+k3+Pk2+1又L通過(0,0)⇒0=(−k)(3k2+2Pk)+k3+Pk2+1=−2k3−Pk2+1令g(k)=2k3+Pk2−1⇒g′(k)=6k2+2Pk=0⇒k=0,−P/3g(k)=0有三相異實根⇒g(0)g(−P/3)<0⇒−227P3+19P3−1>0⇒P3>27⇒P>3
解答:
(1){P∈L1⇒P(2s+1,−ks+2,ks+1),s∈RQ∈L2⇒Q(3t+2,kt+2,−5t+4/5),t∈R,若P=Q,則{3t+2=2s+1⋯(1)kt+2=−ks+2⋯(2)−5t+4/5=ks+1⋯(3);由(2)可得k(s+t)=0⇒s=−t代入(1)⇒{s=1/5t=−1/5再代入(3)⇒1+45=k5+1⇒k=4(2)k=4⇒P(2s+1,−4s+2,4s+1)⇒{¯PA2=(2s−2)2+(−4s+1)2+(4s+1)2¯PB2=(2s)2+(−4s+2)2+(4s+2)2⇒f(s)=¯PA2+¯PB2=72s2−8s+14⇒f′(s)=144s−8=0⇒s=118⇒P(109,169,119)
解答:
解答:
(1){甲有a公升乙有b公升,即[ab]甲一半給乙→[a/2b+a/2]乙一半給乙→[3a/4+b/2a/4+b/2]⇒M=[3/41/21/41/2](2)[an1−an]=M[an−11−an−1]⇒an=34an−1+12(1−an−1)=14an−1+12⇒遞迴式an={an−1/4+1/2,n≥10.6n=0an=14an−1+12=142an−2+14⋅12+12=143an−3+142⋅12+14⋅12+12=14na0+12(1+14+142+⋯+14n−1)=14n×0.6+12×43⋅(1−14n)=23−115⋅14n⇒一般式an={2/3−1/(15⋅4n),n≥10.6n=0
======================== END ============================
解題僅供參考
https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/eduexp/docs/pastexam/106年度全國科學班聯合學科資格考/106年度全國科學班聯合學科資格考數學科試題(公告版).pdf
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計算證明的第四題寫錯了!
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