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2022年3月27日 星期日

107年全國科學班資格考-數學詳解

107 年度全國科學班聯合學科資格考試 數學科

一、 單選題:


  解答

A(0,0){¯AB=22EAB=45{B(2,2)ABC=75{C(232,4)BCD=120D(232,10){AB=(2,2)AD=(232,10)ABAD=43+4+20=2443(D)
  解答M(A),(B),(C){πx=2π/3x=2π3±nπ4,nNn=1x=2π3π4=5π12(5π12,0)(D)

二、多選題:

  解答{ˉx=60=13030k=1xkσ=10=13030k=1(xkˉx)2(A):f(60)=f(ˉx)=30k=1(ˉxxk)2=30σ2=3000(B)×:σ2=13030k=1x2kˉx213030k=1x2k=σ2+ˉx2=100+602=370030k=1x2k=3700×30=11100012100(C):f(50)=30k=1(50xk)2=30k=1((60xk)10)2=30k=1((60xk)220(60xk)+100)=30k=1(60xk)22030k=1(ˉxxk)+30×100=30k=1(60xk)2+3000=30σ2+3000=6000(D):f(61)=30k=1((60xk)2+30=f(60)+30f(61)>f(60)(E)×:f(x)=30k=1(xxk)2f(x)=230k=1(xxk)f(59)=230k=1(60xk1)=230k=1(60xk)2×30=02×30<0(ACD)

  解答(A)×:y=g(x)g(2)>(1)g(1)(B):g(2)g(4)g(4)(C):g(2)g(3)|g(x)|(D)×:g(x)=f(x)g(x)=f(x)f(x)<0,x(2,3)(E)×:g(x)=f(x)=0x=1,3,5f(x)(BCE)

  解答(A):α22αβ+4β2=0(αβ)22αβ+4=0αβ=1±3i(B)×:αβ=1±3i=2(cosπ3±isinπ3)OPOQ±60|OP|=2|OQ|(C):|OP|=2|OQ|¯OP=2¯OQ(D):{POQ=60¯OP=2¯OQPOQ=306090(E)×:POQ(ACD)

三、填充題:

  解答:(2,1),(3,12),(4,13),(5,14),(6,15)157:(4,3),(5,2),(6,1)3315=15
  解答f(x)=a3x3+b3x(1,1)a3+b3=1a+b=3a=3b;G=210(xf(x))dx=1310(xf(x))dx=10a3x3+3b3xdx=10a3x3+a3xdx=16a12+a6=16a=2b=3a=1(a,b)=(2,1)

  解答

x2122y2b2=1{A(15,k)C(20,k50),k>0{x=15x=20{kb=912=34k50b=1612=4334b(43b)=50b=24=2b2a=2×24212=96
  解答

OBCP¯OP¯BCBAC=POC=θ:{OPCcosθ=R21+R22R222R1R2=R12R2=R14R1=14ABCcosθ=142+112¯BC221411=317¯BC2308317¯BC2308=14¯BC2=240¯BC=415:ABC¯BCsinθ=41515/4=2R1R1=8
  解答nlogn19099×0=0109919090×1=901009992900900×2=180010001018310191019×3=3057201849472018n=1an=4947

一、數學寫作能力:


  解答|a(b×c)|bc|b×c|{b=(b1,b2,b3)c=(c1,c2,c3)bc=|b|2|c|2(bc)2=(b21+b22+b23)(c21+c22+c23)(b1c1+b2c2+b3c3)2=|a1a2b1b2|2+|a2a3b2b3|2+|a3a1b3b1|2=|b×c|=|b×c|×=ab×c|a||cosθ|=|a(b×c)||b×c|=|b×c|×|a(b×c)||b×c|=|a(b×c)|
  解答
(1)a=00<r1{0,a=00<r<1a,r=1(2)nS(n)=a(1rn)1rlimnS(n)={ar=0a1r0<|r|<1|r|1

二、計算證明題:

  解答(2x+2x)2=22x+22x+221+2x+212x=222x+222x=2(22x+22x)=2(2x+2x)2421+2x+212x7(2x+2x)+9=2(2x+2x)27(2x+2x)+5=(2(2x+2x)5)((2x+2x)1)<01<2x+2x<5/222x+2x<5/2f(x)=2x+2x2f(x)<5/21<x<1g(x)=10x+10xg(1)=g(1)=10110210x+10x<10110
  解答{P(X=0)=(1p)(1q)P(X=1)=p(1q)+(1p)qP(X=2)=pq{E(X)=0+p(1q)+(1p)q+2pq=p+qE(X2)=0+p(1q)+(1p)q+4pq=p+q+2pqσ(X)=E(X2)(EX)2=p+q+2pq(p+q)2=p(1p)+q(1q){=p+q=p(1p)+q(1q)
  解答y=f(x)=x3+Px2+1f(x)=3x2+2Px(k,f(k))=(k,k3+Pk2+1)=f(k)=3k2+2PkL:y=(3k2+2Pk)(xk)+k3+Pk2+1L(0,0)0=(k)(3k2+2Pk)+k3+Pk2+1=2k3Pk2+1g(k)=2k3+Pk21g(k)=6k2+2Pk=0k=0,P/3g(k)=0g(0)g(P/3)<0227P3+19P31>0P3>27P>3
  解答
(1)\cases{P\in L_1 \Rightarrow P(2s+1,-ks+2,ks+1),s\in \mathbb{R}\\ Q\in L_2 \Rightarrow Q(3t+2,kt+2,-5t+4/5),t\in \mathbb{R}},若P=Q,則\cases{3t+2=2s+1 \cdots(1)\\ kt+2=-ks+2 \cdots(2)\\ -5t+4/5=ks+1\cdots(3)};\\由(2)可得k(s+t)=0 \Rightarrow s=-t代入(1) \Rightarrow \cases{s=1/5\\ t=-1/5}再代入(3) \Rightarrow 1+{4\over 5} = {k\over 5}+1 \Rightarrow k= \bbox[red, 2pt]{4}(2)k=4 \Rightarrow P(2s+1,-4s+2,4s+1) \Rightarrow \cases{\overline{PA}^2 = (2s-2)^2 +(-4s+1)^2 +(4s+1)^2\\ \overline{PB}^2 = (2s)^2 +(-4s+2)^2 +(4s+2)^2}\\ \Rightarrow f(s)=\overline{PA}^2+\overline{PB}^2 =72s^2 -8s+14 \Rightarrow f'(s)=144s-8=0 \Rightarrow s={1\over 18} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{P\left({10\over 9},{16\over 9},{11\over 9}\right)}
  解答
(1)\cases{甲有a公升\\ 乙有b公升},即\begin{bmatrix} a\\ b\end{bmatrix} \xrightarrow{甲一半給乙}\begin{bmatrix} a/2\\ b+a/2\end{bmatrix} \xrightarrow{乙一半給乙} \begin{bmatrix} 3a/4 +b/2\\ a/4+ b/2\end{bmatrix} \Rightarrow M= \bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix} 3/4 & 1/2\\ 1/4 & 1/2\end{bmatrix}}(2)\begin{bmatrix} a_n\\ 1-a_n\end{bmatrix} =M \begin{bmatrix} a_{n-1}\\ 1-a_{n-1}\end{bmatrix} \Rightarrow a_n={3\over 4}a_{n-1}+{1\over 2}(1-a_{n-1}) ={1\over 4}a_{n-1}+{1\over 2} \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{遞迴式a_n=\begin{cases}a_{n-1}/4+1/2,& n\ge 1\\ 0.6& n=0\end{cases}}\\ a_n={1 \over 4}a_{n-1} +{1\over 2} ={1\over 4^2}a_{n-2} + {1\over 4}\cdot {1\over 2}+{1\over 2} ={1\over 4^3} a_{n-3} +{1\over 4^2}\cdot {1\over 2}  + {1\over 4}\cdot {1\over 2}+{1\over 2}  \\ ={1\over 4^n} a_0 +{1\over 2}(1+{1\over 4}+{1\over 4^2}+\cdots +{1\over 4^{n-1}}) ={1\over 4^n}\times 0.6+{1\over 2}\times {4 \over 3}\cdot (1-{1\over 4^{n}}) = {2\over 3}-{1\over 15}\cdot {1\over 4^n}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{一般式a_n= \begin{cases}2/3-1/(15\cdot 4^n), & n\ge 1\\ 0.6 & n=0 \end{cases} }
======================== END  ============================
解題僅供參考


2 則留言:

  1. https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/eduexp/docs/pastexam/106年度全國科學班聯合學科資格考/106年度全國科學班聯合學科資格考數學科試題(公告版).pdf
    請問有106資格考的詳解嗎

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  2. 計算證明的第四題寫錯了!

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