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2022年9月4日 星期日

109年台聯大轉學考-微積分A3A4A6詳解

台灣聯合大學系統109學年度學士班轉學生考試

科目:微積分
類組別:A3/A4/A6
甲、填充題:共8題,每題8分,共64分


解答limxx+cosxxcosx=limx(1+2cosxxcosx)=1+0=1
解答F(x)=x0cos(t3/2)dtF(x)=cos(x3/2)F(x)=32xsin(x3/2)F(x)=0x=0,x3/2=nπ,nZ;xx=π2/3
解答f(x,y)=10xye(x2+y2){fx=(10y20x2y)e(x2+y2)fy=(10x20xy2)e(x2+y2){fxx=(60xy+40x3y)e(x2+y2)fxy=(1020x220y2+40x2y2)e(x2+y2)fyy=(60xy+40xy3)e(x2+y2)g(x,y)=fxxfyyf2xy{fx=010y(12x2)=0x=±1/2y=0fy=010x(12y2)=0x=0y=±1/2{A(0,0)B(1/2,1/2)C(1/2,1/2)D(1/2,1/2)E(1/2,1/2){g(A)=10>0g(B)=g(C)=g(D)=g(E)=400/e2>0{f(A)=0f(B)=f(E)=5/ef(C)=f(D)=5/e3
解答{f(x,y,z)=x2+y2+z2g(x,y,z)=(x2)2+(y2)2+z2{f=(2x,2y,2z)g=(2(x2),2(y2),2z){f|(1,1,1)=(2,2,2)g|(1,1,1)=(2,2,2)(2,2,2)×(2,2,2)=(8,8,0):{x(t)=1+8ty(t)=18tz(t)=1,tR
解答D={(x,y)δ2x2+y21}{x=rcosθy=rsinθ
解答若只考慮z\ge 0,角錐z^2=x^2+y^2與z軸的角度為45^\circ,\\因此欲求體積的上半部=\int_0^{\pi/4} \int_0^{2\pi} \int_1^{\sqrt 2} r^2\sin \theta \;drd\phi d\theta ={2\pi \over 3} (2\sqrt 2-1)(1-{ \sqrt 2 \over 2}) \\ ={2\pi \over 3} ({5\over 2}\sqrt 2-3) \Rightarrow 欲求之體積=2\times {2\pi \over 3} ({5\over 2}\sqrt 2-3) =\bbox[red, 2pt]{{2\pi\over 3}(5\sqrt 2-6)}
解答令\cases{x=2u\\ y=3v} \Rightarrow \begin{Vmatrix} x_u & x_v\\ y_u& y_v\end{Vmatrix} =\begin{Vmatrix} 2 & 0\\ 0& 3 \end{Vmatrix} = 6\\ \Rightarrow \iint_R e^{9x^2+4y^2}\,dA = \iint_S e^{36u^2 +36v^2 }\cdot 6\,dudv, 其中S=\{(u,v)\mid  u^2+v^2\le 1\}\\ 取\cases{u= r\cos\theta\\ v=r\sin \theta} \Rightarrow \iint_S e^{36u^2 +36v^2 }\cdot 6\,dudv =\int_0^{2\pi} \int_0^1 6re^{36r^2}\,drd\theta =2\pi \left.\left[{1\over 12}e^{36r^2} \right]\right|_0^1 \, \\ = \bbox[red, 2pt]{{\pi \over 6}(e^{36}-1)}

解答\cases{x(t)= 2\cos t-\cos 2t\\ y(t)=2\sin t-\sin2t} \Rightarrow r^2= x^2+y^2 =5-4\cos t \Rightarrow 面積={1\over 2}\int_0^{2\pi} 5-4\cos t\,dt\\ ={1\over 2}\left.\left[5t- 4\sin t \right]\right|_0^{2\pi} = \bbox[red, 2pt]{5\pi}

乙、計算、證明題:共3題,每題12分,共36分

解答令\cases{x=r\cos\theta \\ y= r\sin \theta},又(\cos^2\theta -\sin^2\theta)^2 \ge 0 \Rightarrow \cos^4\theta +\sin^4\theta \ge 2\cos^2\theta \sin^2\theta\\ \Rightarrow {(xy)^p\over x^4+y^4} ={ r^{2p}(\sin\theta \cos\theta)^p\over r^4(\cos^4\theta + \sin^4\theta)} \le { r^{2p}(\sin\theta \cos\theta)^p\over r^4(2\cos^2\theta   \sin^2\theta)} ={1\over 2}r^{2p-4} (\sin\theta \cos\theta)^{p-2} \\\Rightarrow \lim_{(r,\theta)\to (0,0)} =\begin{cases} 0,& p\gt 2\\ {1\over 2r^{4-2p}(\sin\theta \cos\theta)^{2-p}} \ne 0, &p\le 2\end{cases} \Rightarrow \cases{f\text{ is continuous for all(x,y), if } p\gt 2 \\ f\text{ is discontinuous at (0,0), if } p\le 2}\\ \bbox[red, 2pt]{故得證}
解答\mathbf{a.}\;級數:\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n,其中a_n=\ln(1+{1\over n})\\(1)\lim_{n\to \infty}a_n = \ln 1=0\\ (2)a_n-a_{n+1}= \ln({n+1\over n})- \ln({n+2\over n+1}) = \ln {(n+1)^2\over n(n+2)} =\ln{n^2+2n+1\over n^2+2n} =\ln(1+{1\over n^2+2n})\gt 0\\ \Rightarrow a_n\gt a_{n+1}\\ 由(1)及(2)可得\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ln(1+{1\over n})收斂;\\ 又 \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \ln(1+{1\over k}) = \lim_{n\to \infty} \ln {2\cdot 3\cdot 4\cdots (n+1)\over 1\cdot 2\cdot 3\cdots n} = \infty  \\\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \left| (-1)^n \ln(1+{1\over n}) \right| =\sum_{n=1}^\infty \ln(1+{1\over n}) 發散,因此原級數\bbox[red, 2pt]{條件收斂}\\\mathbf{b.}\;\sum_{n=1}^\infty   a_n 收斂 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}a_n=0 \\\Rightarrow \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\left|\left( {3+\sin (a_n)\over 5} \right)^n\right|} =\lim_{n\to \infty} \left| {3+\sin (a_n)\over 5}   \right| \le \lim_{n\to \infty}{3+|\sin (a_n)|\over 5}={3\over 5}\lt 1\\ \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \left( {3+\sin (a_n)\over 5} \right)^n 絕對收斂,即收斂,\bbox[red,2pt]{故得證}
解答依題意:在x_1p_1+x_2p_2=L的條件下最大化U(x_1,x_2)\\ 因此x_2={L-x_1p_1 \over p_2} \Rightarrow {\partial \over \partial x_1}x_2= -{p_1\over p_2} \Rightarrow U(x_1,x_2)= U(x_1,{L-x_1p_1 \over p_2}) \\\Rightarrow U'(x_1) =0 \Rightarrow {\partial \over \partial x_1}U+ {\partial \over \partial x_2}U {\partial \over \partial x_1}x_2 = 0  \Rightarrow {\partial \over \partial x_1}U- {\partial \over \partial x_2}U {p_1 \over p_2} = 0 \\ \Rightarrow {\partial U/\partial x_1 \over \partial U/\partial x_2}={p_1\over p_2},\bbox[red, 2pt]{故得證}

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未公告答案,解題僅供參考

7 則留言:

  1. 第3題的答案是否應為4個 (0,0)應該是鞍點 (+- 1/sqrt(2), +- 1/sqrt(2) )這四點感覺才是極值

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  2. 您好,甲部份的第八題可以請您直接用參數式積分的方式算給我看嗎(即xdy 的積分),謝謝。

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    1. 第八題是參數t不是角度所以不能用1/2r^2吧

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  3. 這圖形是繞一圈,不適合用ydx去積分, 而且還要先推導出y=f(x)或x=g(x)的關係式,更加麻煩!!

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  4. 您好,我知道用極座標的方式較快。
    現在問題是,我有買一本書,它是用參數式直接積分,出來的答案(6倍圓周率),跟用極座標方法算出來的答案(5倍圓周率)不同。我想知道為何不同。
    參數式直接積分的意思是,假設x=f(t),y=g(t),去積分f(t)*d(g(t))。他把ydx+xdy積分(這樣計算較好積,會是2倍的 xdy積分的結果,他再除以2得到最後答案)。

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  5. 抱歉,剛剛不小心把負號刪了,應該是他
    把-ydx+xdy積分。

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