112年台北科大自動化科技-工程數學詳解

 國立 臺北科技 大學 l12學 年度碩 士班 招 生考試

系所組別 :1501、 1502自 動化科技研究所
第一節 工程數學 試題

解答:

(1) $$\{v_1,v_2,v_3\}線性相依,因此若av_1+ bv_2+c v_3=0,則,a,b,c不全為0\\ T(av_1+ bv_2+c v_3) =aT(v_1) +bT(v_2)+cT(v_3) =T(0)=0\\ 也就是說,不全為0的a,b,c可以使得aT(v_1) +bT(v_2)+cT(v_3)=0,\\即\{T(v_1), T(v_2), T(v_3)\}為線性相依\Rightarrow \bbox[red, 2pt]{True}$$ (2) $$A=\begin{bmatrix} 1& 2\\ 2& 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1/3& 2/3\\ 2/3& -1/3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{bmatrix} \Rightarrow A 可對角化,但特徵值均為1 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{False}$$ (3) $$A^{-1}+B^{-1}=B^{-1}+A^{-1} =B^{-1}AA^{-1}+B^{-1}BA^{-1} =B^{-1}(A+B)A^{-1} \\ \Rightarrow (A^{-1}+B^{-1})^{-1}=\left(B^{-1}(A+B)A^{-1} \right)^{-1} =A(A+B)^{-1}B \Rightarrow \bbox[red,2pt]{True}$$ (4) $$若a\cos(x)+b\sin(x)=0,\forall x\in \mathbb R，當\cases{x=0 \Rightarrow a=0\\ x=\pi/2 \Rightarrow b=0} \Rightarrow \cos(x),\sin(x)線性獨立\Rightarrow \bbox[red,2pt]{False}$$ (5) $$Ax=b \equiv \begin{bmatrix}1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \\4\end{bmatrix} \Rightarrow \cases{x_1=1\\ x_2=2\\ x_3=3\\ x_1+x_2=4} \Rightarrow 無解\\　矩陣A為4\times 3,且rank(A)＝3,但無解,因此\bbox[red,2pt]{False}$$

解答:

(1) $$A=\begin{bmatrix} 4& 1+i\\ 1-i& 4\end{bmatrix} \Rightarrow \det(A)=16-2=14\\ \det(A-\lambda I) =\lambda^2-8\lambda+14=0 \Rightarrow \lambda=4\pm \sqrt 2\\ \lambda_1=4-\sqrt 2 \Rightarrow (A-\lambda_1 I)v =0 \Rightarrow \begin{bmatrix} \sqrt 2& 1+i\\ 1-i& \sqrt 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\end{bmatrix} =0 \Rightarrow 2x_1+(1+i)\sqrt 2 x_2=0\\ \qquad \Rightarrow v=\begin{bmatrix} -(1+i)\sqrt 2 k/2\\ k\end{bmatrix},取k=1\Rightarrow v_1=\begin{bmatrix} -(1+i)\sqrt 2 /2\\ 1\end{bmatrix}\\ \lambda_2=4+\sqrt 2 \Rightarrow (A-\lambda_2 I) v =0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -\sqrt 2& 1+i\\ 1-i& -\sqrt 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\end{bmatrix} =0 \Rightarrow 2x_1=(1+i)\sqrt 2x_2 \\ \qquad \Rightarrow v=\begin{bmatrix} (1+i)\sqrt 2 k/2\\ k\end{bmatrix},取k=1\Rightarrow v_2=\begin{bmatrix} (1+i)\sqrt 2 /2\\ 1\end{bmatrix}\\ 因此\cases{ A的特徵值:\bbox[red,2pt]{4-\sqrt 2,4+\sqrt 2}相對應的特徵向量為\bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix} -(1+i)\sqrt 2 /2\\ 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} (1+i)\sqrt 2 /2\\ 1 \end{bmatrix}} \\ \det(A)=\bbox[red,2pt]{14}}$$ (2) $$B=e^A \Rightarrow B的特徵值為e^{\lambda_i}，其中\lambda_i為A的特徵值\Rightarrow B的特徵值為\bbox[red,2pt]{e^{4-\sqrt 2},e^{4+\sqrt 2}}\\ B的特徵向量與A相同,即\bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix} -(1+i)\sqrt 2 /2\\ 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} (1+i)\sqrt 2 /2\\ 1 \end{bmatrix}}\\ \det(B)=\det(e^A) =e^{tr(A)}=\bbox[red, 2pt]{e^8}$$

解答: $$\lambda^4+11\lambda^3 +36\lambda^2+16\lambda -64=0 \Rightarrow (\lambda-1)(\lambda+4)^3=0 \\ \Rightarrow \lambda=1,-4 \Rightarrow y_h=c_1e^x +e^{-4x}(c_2+c_3x+ c_4x^2)\\ y_p=Ax^3e^{-4x}+ B\cos(2x)+C\sin(2x) \Rightarrow y_p'= 3Ax^2e^{-4x} -4Ax^3e^{-4x} -2B\sin(2x)+2C\cos(2x) \\ \Rightarrow y_p'' =6Axe^{-4x}- 24Ax^2e^{-4x}+16Ax^3 e^{-4x} -4B\cos(2x)-4C\sin(2x)\\ \Rightarrow y_p''' =6A e^{-4x}-72Axe^{-4x}+144 Ax^2e^{-4x} -64Ax^3e^{-4x} +8B \sin(2x)-8C\cos(2x)\\ \Rightarrow y_p''''=-96Ae^{-4x}+ 576Axe^{-4x} -768Ax^2e^{-4x}+256Ax^3e^{-4x}+16 B\cos(2x) +16C\sin(2x)\\ 只考慮e^{-4x}的係數, 只需計算y''''+11y'''，即66A－96A＝-3 \Rightarrow A={1\over 10}\\ 又\cases{-192B-56C=2\\ 56B-192C=0} \Rightarrow \cases{B= -6/625\\ C=-7/2500} \Rightarrow y_p={1\over 10}x^3e^{-4x}-{6\over 625} \cos(2x)- {7\over 2500}\sin(2x) \\ y=y_h+y_p \Rightarrow \bbox[red,2pt]{ y=c_1e^x +e^{-4x}(c_2+c_3x+ c_4x^2) +{1\over 10}x^3e^{-4x}-{6\over 625} \cos(2x)- {7\over 2500}\sin(2x)}$$

解答: $$\cases{x'=x-5y\\ y'=-3x-7y} \Rightarrow \cases{L\{x'\} =L\{x\}-5L\{y\} \\ L\{y'\} =-3L\{x\}-7L\{y\}} \Rightarrow \cases{sX(s)-2=X(s)-5Y(s)\\ sY(s)-2=-3X(s)-7Y(s)} \\ \Rightarrow \cases{(s-1)X(s)=2-5Y(s) \\ (s+7)Y(s)=2-3X(s)} \Rightarrow \cases{(s-1)X(s)=2-5{2-3X(s)\over s+7} =2-{10-15X(s)\over s+7}\\ (s+7)Y(s)=2-3{2-5Y(s)\over s-1} =2-{6-15Y(s)\over s-1}} \\ \Rightarrow \cases{X(s)={2(s+7)\over s^2+6s-22}-{10\over s^2+6s-22}=2\cdot {s+3\over (s+3)^2-31}-2 \cdot {1\over (s+3)^2-31}\\ Y(s)= {2(s-1)\over s^2+6s-22}-{6\over s^2+6s-22}=2\cdot {s+3 \over (s+3)^2-31}-14\cdot {1\over (s+3)^2-31}} \\ \Rightarrow \cases{x(t)=L^{-1}\{X(s)\} \\ y(t)= L^{-1}\{Y(s)\}} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{x(t) =2e^{-3t} \cosh(\sqrt{31} t)-2 e^{-3t} \sinh(\sqrt{31}t) \\ y(t)=2e^{-3t} \cosh( \sqrt{31} t)-14 e^{-3t} \sinh(\sqrt{31} t)} }$$

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解題僅供參考