國立成功大學112學年度碩士班招生考試
系所:環境工程學系
科目:微積分
解答:y=x√1−x2⇒dydx=√1−x2+12x(1−x2)−1/2(−2x)=√1−x2−x2√1−x2⇒dy=(√1−x2−x2√1−x2)dx

解答:(x2+y2)2=4x2y⇒(x2+y2)(2x+2yy′)=8xy+4x2y′⇒(1+1)(2+2y′)=8+4y′⇒4y′=4⇒y′=1

解答:y=x2lnx4⇒y′=2xlnx4+x⇒y″=2lnx4+3y′=0⇒x(2lnx4+1)=0⇒x=4√e,(x=0不在定義域內),⇒y‘′(4√e)=2>0⇒y(4√e)=−8e為相對極大值y″=0⇒x=4e−3/2⇒(4e−3/2,y(4e−3/2))=(4e−3/2,−24e3)為反曲點
解答:y=31−10(ex/20+e−x/20)⇒y′=−10(120ex/20−120e−x/20)=−12ex/20+12e−x/20⇒曲線長=∫20−20√1+(y′)2dx=∫20−20√12+14ex/10+14e−x/10dx=∫20−20(12ex/20+12e−x/20)dx=[10ex/20−10e−x/20]|20−20=10(e−e−1)−10(e−1−e)=20(e−1e)
解答:(1){u=lnxdv=x5dx⇒{du=dx/xv=x6/6⇒∫x5lnxdx=16x6lnx−16∫x5dx=16x6lnx−136x6+C(2)sinθ=53x⇒cosθdθ=53dx⇒∫3/50√9−25x2dx=∫3/503√1−(5x/3)2dx=∫π/203√1−sin2θ⋅35cosθdθ=∫π/2095cos2θdθ=∫π/20910(cos(2θ)+1)dθ=[920sin(2θ)+910θ]|π/20=9π20(3)u=2x−1⇒du=2dx⇒∫51x√2x−1dx=∫91(u+1)/2√u12du=14∫91u1/2+u−1/2du=14[23u3/2+2u1/2]|91=163(4)∫sin(−7x)cos(6x)dx=12∫sin(−x)+sin(−13x)dx=−12∫sin(x)+sin(13x)dx=−12(−cosx−113cos(13x))+C=12cosx+126cos(13x)+C(5)u=8−x⇒du=−dx⇒∫803√8−xdx=∫083√u(−du)=[−6√u]|08=12√2
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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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