112年成大水利碩士班-工程數學詳解

國立成功大學１１２學年度碩士班招生考試

系所:水利及海洋工程學系
科目:工程數學

解答:$$y''+4\pi y'+4\pi^2 y=0 \Rightarrow 特徵多項式\lambda^2+4\pi \lambda+ 4\pi^2=0 \Rightarrow (\lambda+2\pi)^2=0 \\ \Rightarrow \lambda=-2\pi \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y(x)=c_1e^{-2\pi x} +c_2xe^{-2\pi x},其中c_1與c_2均為常數}$$

解答:$$先求齊次解,y''-2 y'=0 \Rightarrow 特徵多項式\lambda^2-2 \lambda=0 \Rightarrow \lambda(\lambda-2)=0  \Rightarrow \lambda=0,2\\ \Rightarrow y_h=c_1+c_2e^{2x}$$

解答:$$A=\begin{bmatrix} 3& 5& 3\\ 0 & 4& 6\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A- \lambda I)=(3-\lambda)(4-\lambda)(1-\lambda)=0 \Rightarrow \lambda=1,3,4\\ \lambda_1=1 \Rightarrow (A-\lambda_1 I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2& 5& 3\\ 0 & 3& 6\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{2x_1=7x_3\\ x_2+2x_3=0} \\\qquad \Rightarrow v= \begin{bmatrix} 7k/2\\ -2k\\ k \end{bmatrix}, k\in \mathbb R, 取v_1= \begin{bmatrix} 7/2\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} \\ \lambda_2=3 \Rightarrow (A-\lambda_2 I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 0& 5& 3\\ 0 & 1& 6\\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{ x_2=0\\  x_3=0} \\\qquad \Rightarrow v= \begin{bmatrix} k\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}, k\in \mathbb R, 取v_2= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \\ \lambda_3=4 \Rightarrow (A-\lambda_3 I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -1& 5& 3\\ 0 & 0& 6\\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{x_1=5x_2\\ x_3=0} \\\qquad \Rightarrow v= \begin{bmatrix} 5k\\ k\\ 0 \end{bmatrix}, k\in \mathbb R, 取v_3= \begin{bmatrix} 5\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\\因此特徵值為\bbox[red, 2pt]{1,3,4},相對應的特徵向量為\bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix} 7/2\\ -2\\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} ,\begin{bmatrix} 5\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}}$$

解答:$$L\{y''\}+5 L\{y'\}+6L\{y\} =L\{u(t-1)\} + L\{\delta(t-2)\} \\ \Rightarrow s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+5(sY(s)-y(0)) +6Y(s)= {e^{-s}\over s}+ e^{-2s} \\  \Rightarrow Y(s)={1\over s^2 +5s+6} \left( {e^{-s}\over s}+ e^{-2s}+1\right) \\=e^{-s}\left({1\over 6s} -{1\over 2(s+2)}+ {1\over 3(s+3)} \right) + e^{-2s} \left({1\over s+2}-{1\over s+3} \right) +{1\over s+2}-{1\over s+3} \\ \Rightarrow y(t)=L^{-1}\{Y(s) \} \Rightarrow \bbox[red, 2pt] {y(t)= u(t-1)\left( {1\over 6}-{1\over 2}e^{-2(t-1)}+{1\over 3}e^{-3(t-1)}\right) \\ \qquad +u(t-2)\left( e^{-2(t-2})-e^{-3(t-2)} \right)+e^{-2t}-e^{-3t}}$$

解答:$$\cases{y'+z'+z=0\\ y'+2y+ 6\int_0^t z(t)\,dt =-2u(t)} \Rightarrow \cases{L\{y' \}+L\{z'\}+ L\{z\}=0\\ L\{y'\}+2 L\{y\}+ 6 L\{\int_0^t z(t)\,dt \} =-2L\{ u(t) \}}\\ \Rightarrow \cases{sY(s)+5 +sZ(s)-6+ Z(s)=0 \cdots(1)\\ sY(s)+5+ 2Y(s)+ 6Z(s)/s = -2/s \cdots(2)}\\ 由(1)可得Y(s)={1\over s}-{s+1\over s}Z(s)代入(2) \Rightarrow Z(s)={2\over s-1}+{4\over s+4} \\ \Rightarrow Y(s)={2\over s}-{4\over s-1}-{3\over s+4} \\ \Rightarrow \cases{y(t)= L^{-1}\{Y(s)\} \\ z(t)= L^{-1}\{Z(s)\}} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{y(t) =-4e^t-3 e^{-4t}+2u(t)\\ z(t)=2e^t+4 e^{-4t}}}$$
 ======================= END =======================

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