113年公務人員普通考試試題
類 科:天文
科 目:微積分
解答:(一)limn→∞n∑k=1(2kn2sinkπ2n)=limn→∞n∑k=1(2⋅1n⋅knsin(kn⋅π2))=∫102xsinπx2dx=[−4xπcosπx2+8π2sinπx2]|10=8π2(二)limx→∞∫x20ln(t2+1)dtx2.01=limx→∞ddx∫x20ln(t2+1)dtddxx2.01=limx→∞2xln(x4+1)2.01x1.01=limx→∞2ln(x4+1)2.01x0.01=limx→∞ddx2ln(x4+1)ddx2.01x0.01=limx→∞8x3x4+120110000x−0.99=limx→∞80000x3.99201(x4+1)=0
解答:∫x2+10f(t)dt=x+1ex⇒2xf(x2+1)=−xex⇒f(x2+1)=−12ex⇒f(2)=−12e又2xf′(x2+1)=12ex⇒2f′(1+1)=12e⇒f′(2)=14e⇒(2,f(2))=(2,−12e)的切線斜率=f′(2)=14e⇒切線方程式:y+12e=14e(x−2)⇒x−4ey=4
解答:F(r)=err⇒F′(r)=er(1r−1r2)⇒F″(r)=er(1r−2r2+2r3)G(x,y,z)=√x2+y2+z2⇒{Gx=x/√x2+y2+z2Gy=y/√x2+y2+z2Gz=z/√x2+y2+z2⇒{Gxx=(y2+z2)/(x2+y2+z2)3/2Gyy=(x2+z2)/(x2+y2+z2)3/2Gzz=(x2+y2)/(x2+y2+z2)3/2∂∂xH=∂∂xF(G)=F′(G)Gx⇒∂2∂x2H=∂∂xF′(G)Gx=F″(G)(Gx)2+F′(G)Gxx同理{∂2∂y2H=F″(G)(Gy)2+F′(G)Gyy∂2∂z2H=F″(G)(Gz)2+F′(G)Gzz⇒∂2∂x2H+∂2∂y2H+∂2∂z2H=F″(G)((Gx)2+(Gy)2+(Gz)2)+F′(G)(Gxx+Gyy+Gzz)=F″(G)+F′(G)⋅2√x2+y2+z2=e√x2+y2+z2(1√x2+y2+z2−2x2+y2+z2+2(x2+y2+z2)3/2)+e√x2+y2+z2(1√x2+y2+z2−1x2+y2+z2)2√x2+y2+z2=e√x2+y2+z2(1√x2+y2+z2)=e√x2+y2+z2(x2+y2+z2)3/2
解答:{u=3x+4yv=3x−4y⇒{x=(u+v)/6y=(u−v)/8⇒∂(x,y)∂(u,v)=‖1/61/61/8−1/8‖=124⇒∬
================================= END ==============================
解題僅供參考,其他國考歷年試題及詳解
第二題:他那積分上限是(x^2+1)不是(x^2+2),故切線方程式不對.
回覆刪除第三題:倒數第三行中,F"(G)=e^r*((1/r)-(2/r^2)+(2/r^3)),但該行中誤寫成F"(G)=e^r*((1/r)-(2/r^2)+("3"/r^3)),故答案有誤
第二題一開始題目就抄錯,真糟,已修訂,謝謝
刪除第三題也修訂,謝謝
刪除