113年高雄聯合轉學考-升高二-數學詳解

 高雄區公立高中 113 學年度聯合招考轉學生
《升高二數學》科試卷

一、 單選題(60 分)：

解答:$$將分數轉換成z分數:\cases{國文:{85-76\over 6} ={3\over 2}\\ 英文:{65-45\over 10} =2\\ 數學:{75-67\over 8} =1 } \Rightarrow 英文最好，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

 

解答:

$$將格子依序編號1-9，如上圖。則符合要求的選項有:\\(1,[5,6,8,9]), (2[4,6,7,9]),(3,[4,5,7,8]), (4,[8,9]),(5,[7,8]), (6,[7,8])\\ 共有4+4+4+2+2+2= 18個，機率為{18\over C^9_2} ={18\over 36}={1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$第1層正方形邊長=4 \Rightarrow 第1層蛋糕半徑a_1={4\over 2}=2 \\ \Rightarrow 第2層正方形邊長={a_1\over \sqrt 2}\times 2=\sqrt 2a_1\Rightarrow 第2層蛋糕半徑a_2={\sqrt 2a_1\over 2} ={1\over \sqrt 2}a_1\\ \Rightarrow \cases{a_1=2\\ a_n={1\over \sqrt 2}a_{n-1}},故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$要用步驟二的結果計算最後結果，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:

$$假設\alpha=\theta-180^\circ，則\cases{\sin \theta=-\sin \alpha \\ \cos \theta=-\cos \alpha \\ \tan \theta=\tan \alpha}\\ (A)\times: \overline{PR}= \overline{OQ}= \overline{OP}\cos \alpha = \cos \alpha \\ (B) \times:\overline{QP} =\overline{OP}\sin \alpha=-\sin \alpha \\(C) \times: \overline{PQ}=-\sin \alpha \\(D) \bigcirc: \tan \alpha={\overline{AT}\over \overline{OA}} =\overline{AT} \\ 故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\sqrt{11-6\sqrt 2} = \sqrt{11-2\sqrt {18}} = \sqrt 9-\sqrt 2=3-\sqrt 2 \Rightarrow \cases{a=1\\ b=2-\sqrt 2} \\ \Rightarrow {2\over b}-{7\over a+b}= {2\over 2-\sqrt 2}-{7\over 3-\sqrt 2} =2+\sqrt 2-(3+\sqrt 2)=-1，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$(A) 斜率=2\\ (B)斜率=-1\\ (C) {x\over 2}+{y\over 3}=1 \Rightarrow y=-{3\over 2}x+3 \Rightarrow 斜率=-{3\over 2}\\ (D)x-2y+3=0 \Rightarrow y={1\over 2}x+{3\over 2} \Rightarrow 斜率={1\over 2}\\ \Rightarrow 斜率(C)最小，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

8.

解答:$${0.01\over 1百萬}\times 1000={10^{-2}\over 10^6}\times 10^3=10^{-5}公克 ={10^{-5}\over 10^{-6}}=10微克，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$${1\over 64}=\left({1\over 2} \right)^6 \Rightarrow 所需時間=4\times 6=24小時，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$無法得知最高分、最低分與平均數的差異，因此無法判定刪除後的平均分數；\\刪除最高與最低分數後，全距變小，標準差也隨之變小，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$f(x)=(2x+3)g(x)+6 =(x+{3\over 2})2g(x)+6 \Rightarrow \cases{商式x+{3\over 2}\\ 餘式6}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$係數a的正負號改變，因此原圖為凹向上；又頂點x坐標-{b\over 2a}，因此由負值改為正值，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$圓心(2,-3)與x軸的距離|-3|=3即為半徑，因此圓方程式:(x-2)^2+(y+3)^2=9，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{三正面機率=1/8\\ 二正一反的機率=3/8\\ 一正二反的機率=3/8\\ 三反的機率=1/8} \Rightarrow 期望值={1\over 8}(10\cdot 1+3\cdot 6+2\cdot 3+ k\cdot 1)=0 \\ \Rightarrow 34+k=0 \Rightarrow k=-34 \Rightarrow 不出現正面應賠34元，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cos \angle BAC= {7^2+9^2-8^2 \over 2\cdot 7\cdot 9} ={11\over 21} \Rightarrow \sin \angle BAC= {8\sqrt 5\over 21} \\ \Rightarrow \triangle AEG 面積={1\over 2}\cdot 7\cdot 9\sin\angle EAG={1\over 2}\cdot 7\cdot 9\sin\angle BAC =12\sqrt 5，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

二、 多選題(40 分)：

解答:$$(A) \bigcirc: 5!\times 3!=720 \\(B) \bigcirc: 4!\times C^5_3\times 3!=1440 \\(C) \bigcirc:甲排首+乙排2位-(甲排首且乙排2位)=6!+6!-5!-1320 \\(D)\times:先排甲乙丙，剩下4人依序有4,5,6,7種插入法，因此有4\cdot 5\cdot 6\cdot 7=840種;\\\qquad, 再排乙甲丙，也有種，總共有840\times 2=1680種\\ (E)\times: \cases{甲排首位:6!\\ 乙排2位:6!\\ 丙排3位:6!\\ 甲排首位且乙排2 位:5!\\甲排首位且丙排3 位:5!\\乙排2位且丙排3 位:5!\\ 甲排首位且乙排2 位且丙排3位:4! } \Rightarrow 7!-6!\times 3+5!\times  3-4!=3216\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABC)}$$

解答:$$\cases{A(\sqrt{46-6\sqrt 5})= (\sqrt{46-2\sqrt {45}})= (3\sqrt{5}-1) \\B(\sqrt{14-6\sqrt5})= (\sqrt{14-2 \sqrt{45}}=3-\sqrt 5} \Rightarrow A在B的右側\\ 若\cases{P在A,B之間 \Rightarrow P=(3B+A)/4 =2 \\ P在B的左側\Rightarrow P=(3B-A)/2=5-3\sqrt 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(BD)}$$

解答:$$(A)\times: b可能為0，垂直線的斜率\ne 0\\ (B)\times: 若k={5\over 12} \Rightarrow {x\over 4}+{y\over 3}={5\over 12} \Rightarrow 3x+4y=5 \Rightarrow 兩直線重疊 \\(C)\bigcirc: \sqrt{(x-2)^2+ (y-7)^2} =9 \Rightarrow (x-2)^2+ (y-7)^2=9^2 \\(D)\times: 2x^2+2y^2+4x+6y+7= 2(x^2+2x+1)+2(y^2+3y+{9\over 4})+7=2+{9\over 2} \\ \qquad \Rightarrow 2(x+1)^2+2(y+{3\over 2})^2=-{1\over 2},無實數x,y滿足此條件\\(E)\bigcirc: 最小圓半徑={1\over 2}\overline{AB}={1\over 2}\sqrt 5\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CE)}$$

解答:$$(A) \times: f(x)=a(x-1)^3+2x-1\Rightarrow  f'(x)=3a(x-1)^2+2 \Rightarrow f''(x)=6a(x-1)=0 \\\qquad\Rightarrow x=1 \Rightarrow 對稱中心(1,f(1))=(1,1)\ne (1,-1) \\(B) \times:\cases{f(3-\sqrt 2)= a(2-\sqrt 2)^3+ 5-2\sqrt 2\\ f(-1+\sqrt 2)=a(-2+\sqrt 2)^3-3+2\sqrt 2} \Rightarrow f(3-\sqrt 2)+f(-1+\sqrt 2)=2 \ne -2 \\(C)\bigcirc: f'(x)=3a(x-1)^2+2 \Rightarrow f'(1)=2 \Rightarrow y=2(x-1)+1 \Rightarrow y=2x-1 \\ (D)\times: f'(x)=3a(x-1)^2+2=0 \Rightarrow (x-1)^2=-{2\over 3a}無解 \Rightarrow f(x)=0僅有一交點\\ (E) \bigcirc: g(x)=f(x)-(5x-4) =a(x-1)^3-3x+3 =(x-1)( ax^2-2ax+a-3) =0\\ \qquad \Rightarrow x=1,1\pm {\sqrt{3a}\over a},有3相異實根,即3交點\\，故選\bbox[red, 2pt]{(CE)}$$

解答:$$(B)\times: A'=\{x\mid x\le -3或x\gt 4,x\in \mathbb R\}\\ (C)\times: A-B=\{x\mid -1\lt x\le 2,x\in \mathbb R\} \\(E)\times:A'\cap B = \varnothing\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AD)}$$

解答:$$(x+1)(x-3)\lt 0 \Rightarrow -1\lt x\lt 3\\(A)\bigcirc: (1+x)(3-x)\gt 0 \Rightarrow (x+1)(x-3)\lt 0\\ (B) \bigcirc: (x+3)(x-4)\lt x-9 \Rightarrow x^2-x-12\lt x-9 \Rightarrow x^2-2x-3\lt 0\\ \qquad \Rightarrow (x-3)(x+1)\lt 0 \\(C) \times: (x^2+1)(x-3)\lt 0 \Rightarrow x-3\lt 0 \\(D) \bigcirc: (x+1)^3 (x+2)^4 (x-3)^5\lt 0 \Rightarrow (x+1)(x-3)\lt 0 \\(E)\bigcirc: \cases{x+1\gt 0 \Rightarrow x\gt -1\\ x-3\lt 0 \Rightarrow x\lt 3} \Rightarrow -1\lt x\lt 3\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABDE)}$$

解答:$$(A)\bigcirc: {70\times 40+65\times 60\over 40+60} =67 \\(B)\bigcirc: 假設\cases{A班數學成績:x_1,x_2, \dots,x_{40}\\ B班數學成績:x_{41},x_{42}, \dots, x_{100}} \\\qquad \Rightarrow \cases{x_1^2+ x_2^2+ \cdots +x_{40}^2=(10^2+70^2)40 =200000\\ x_{41}^2+x_{42}^2+ \cdots+ \dots, x_{100}^2= (8^2+65^2) 60=257340}\\\qquad \Rightarrow E(X^2)={200000+ 257340\over 100} =4573.4 \Rightarrow \sigma(X)= \sqrt{4573.4-67^2}=\sqrt{84.4} \\(C) \bigcirc:{80-70\over 10}=1 \\(D)\times: {84-80\over 8} =0.5\ne 0.95 \\(E)\times: 數學的標準化成績較高\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABC)}$$

解答:$$依附圖\cases{A(1,5)\\ B(-1,1)\\ C(3,-1)} \Rightarrow \cases{L_1=\overleftrightarrow{AB}:2x-y=-3 \Rightarrow e=-3\\ L_2=\overleftrightarrow{BC}: x+2y=1 \Rightarrow a=2,b=1 \\L_3= \overleftrightarrow{AC}: 3x+y=8 \Rightarrow c=3,d=8} \\(A)\bigcirc: a=2\gt 0 \\(B)\times: =b1\gt 0   \\(C) \bigcirc:c=3\gt 0 \\(D) \times: d=8\gt 0\\(E)\times: e=-3\lt 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(AC)}$$

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解題僅供參考, 其他轉學考歷年試題及詳解