新北市公立高級中等學校 114 學年度教師聯合甄選
一、填充題: 共 10 題,每題 7 分。
解答:{log2(x+1)+log2(y+1)=4xy−x−y=−1⇒{log2(x+1)(y+1)=4xy−x−y+1=0⇒{(x+1)(y+1)=16⋯(1)(x−1)(y−1)=0⋯(2)eqn.(2)⇒{x=1⇒y+1=8⇒y=7y=1⇒x+1=8⇒x=7⇒{(x,y)=(1,7)(x,y)=(7,1)⇒x+y=8解答:物理系只能拆成兩組,座號為(9,11,13)與(10,12),數學系只能拆成4+4或3+5數學系拆成4+4有C84/2分法,再將物理系的兩組插入,共有12C84×2=70種;數學系拆成3+5有C83分法,再將物理系的兩組插入,共有C83×2=112種因此共有70+112=182種分組方式
解答:假設三重根為a,另一根為b,則x4−6x2+αx+(5−α)=(x−a)3(x−b)=x4−(3a+b)x3+(3ab+3a2)x2−(a3+3a2b)x+a3b⇒{3a+b=03ab+3a2=−6⇒b=−3a⇒a2=1⇒{a=1⇒b=−3⇒{α=85−α=−3a=−1⇒b=3⇒{α=−85−α=−3不合⇒α=8
解答:
z=x+yi⇒2√x2+y2<√(x−1)2+y2⇒x2+23x+y2<13⇒(x+13)2+y2<49圖形Γ:(x+13)2+y2=49為一圓⇒{圓心A(0,−1/3)圓半徑r=2/3Γ與y軸交於B(0,√3/3),C(0,−√3/3)原點O(0,0)⇒∠OAB=60∘⇒{△ABC=√3/9扇形ABC=4π/27⇒欲求面積=4π27−√39
解答:{兩次都抽到1號的機率=1/42=1/16兩次都抽到2號的機率=((1/4)×(1/2))2=1/64兩次都抽到3號的機率=((1/4)×(1/2))2=1/64兩次都抽到4號的機率=((1/4)×(1/2))2=1/64兩次都抽到5號的機率=((1/4)×(1/2))2=1/64兩次都抽到6號的機率=1/42=1/16⇒兩次抽到相同的期望值=2×116+4×164=316⇒兩次抽到不同的期望值=2−316=2916=1.8125
解答:f(x)=x5+x2+1=(x−r1)(x−r2)⋯(x−r5)P(x)=x2−2=(x+√2)(x−√2)=(√2−x)(−√2−x)⇒P(r1)P(r2)⋯P(r5)=(√2−r1)(−√2−r1)×(√2−r2)(−√2−r2)×⋯×(√2−r5)(−√2−r5)=[(√2−r1)(√2−r2)⋯(√2−r5)]×[(−√2−r1)(−√2−r2)⋯(−√2−r5)]=f(√2)×f(−√2)=(3+4√2)(3−4√2)=9−32=−23
解答:y=x+bx−2=1+b+2x−2⇒x=b+2y−1+2=2y+by−1⇒f(y)=x+a2x+1=(a+2)y+b−a5y+2b−1⇒{limy→∞f(y)=(a+2)/5=1⇒a=3limy→0f(y)=(b−a)/(2b−1)=0⇒a=b⇒a=b=3⇒a+b=6
解答:n5+2n2+1n2+3=n3−3n+2+9n−5n2+3⇒9n−5n2+3∈Z僅需考慮n=−9,−8,…,0,1,…,9⇒n=1,8
解答:先排奇數1,3,5,7,有4!=24種排法,而3個偶數插入奇數間隔中,僅有1種插法,所以共有24種
解答:12cosπ3=12eiπ/3的實部⇒取z=12eiπ/3⇒zn=12nenπi/3⇒f(z)=∞∑n=1zn=z1−z⇒zf′(z)=z(1−z)2=∞∑n=1nzn=∞∑n=1n2nenπi/3z=12eiπ/3=14(1+√3i)⇒zf′(z)=14(1+√3i)(34−√3i4)2=23⋅1+√3i1−√3i=−13+√33i⇒∞∑n=1n2ncosnπ3=zf′(z)的實部=−13
解答:a1+2a2+⋯+nan<2025+(a1+a22+⋯+ann)⇒(a1−a11)+(2a2−a22)+⋯+(nan−ann)<2025⇒n∑k=1(kak−akk)<2025因此我們取f(x)=kx−xk⇒f′(x)=k−kxk−1⇒f″(x)=−k(k−1)xk−2f′(k)=0⇒x=1⇒f″(1)=−k(k−1)<0,k=2,3,⋯⇒f(1)=k−1為極大值⇒n∑k=1(k−1)=n(n+1)2−n=n2−n2<2025⇒n(n−1)<4050⇒最大的n=64
解答:
解答:{兩次都抽到1號的機率=1/42=1/16兩次都抽到2號的機率=((1/4)×(1/2))2=1/64兩次都抽到3號的機率=((1/4)×(1/2))2=1/64兩次都抽到4號的機率=((1/4)×(1/2))2=1/64兩次都抽到5號的機率=((1/4)×(1/2))2=1/64兩次都抽到6號的機率=1/42=1/16⇒兩次抽到相同的期望值=2×116+4×164=316⇒兩次抽到不同的期望值=2−316=2916=1.8125
解答:f(x)=x5+x2+1=(x−r1)(x−r2)⋯(x−r5)P(x)=x2−2=(x+√2)(x−√2)=(√2−x)(−√2−x)⇒P(r1)P(r2)⋯P(r5)=(√2−r1)(−√2−r1)×(√2−r2)(−√2−r2)×⋯×(√2−r5)(−√2−r5)=[(√2−r1)(√2−r2)⋯(√2−r5)]×[(−√2−r1)(−√2−r2)⋯(−√2−r5)]=f(√2)×f(−√2)=(3+4√2)(3−4√2)=9−32=−23
解答:y=x+bx−2=1+b+2x−2⇒x=b+2y−1+2=2y+by−1⇒f(y)=x+a2x+1=(a+2)y+b−a5y+2b−1⇒{limy→∞f(y)=(a+2)/5=1⇒a=3limy→0f(y)=(b−a)/(2b−1)=0⇒a=b⇒a=b=3⇒a+b=6
解答:n5+2n2+1n2+3=n3−3n+2+9n−5n2+3⇒9n−5n2+3∈Z僅需考慮n=−9,−8,…,0,1,…,9⇒n=1,8
解答:先排奇數1,3,5,7,有4!=24種排法,而3個偶數插入奇數間隔中,僅有1種插法,所以共有24種
解答:12cosπ3=12eiπ/3的實部⇒取z=12eiπ/3⇒zn=12nenπi/3⇒f(z)=∞∑n=1zn=z1−z⇒zf′(z)=z(1−z)2=∞∑n=1nzn=∞∑n=1n2nenπi/3z=12eiπ/3=14(1+√3i)⇒zf′(z)=14(1+√3i)(34−√3i4)2=23⋅1+√3i1−√3i=−13+√33i⇒∞∑n=1n2ncosnπ3=zf′(z)的實部=−13
二、計算題: 共 3 題,每題 10 分。
解答:Cn2−Cm2=12(n(n−1)−m(m−1))=2025⇒n2−m2−n+m=4050⇒(n−m)(n+m)−(n−m)=4050⇒(n−m)(n+m−1)=4050=2×34×52n,m∈N且n−m<n+m−1,欲求n−m之最大值,即將4050化成最相近的兩數相乘4050=54×75⇒n−m最大值為54解答:a1+2a2+⋯+nan<2025+(a1+a22+⋯+ann)⇒(a1−a11)+(2a2−a22)+⋯+(nan−ann)<2025⇒n∑k=1(kak−akk)<2025因此我們取f(x)=kx−xk⇒f′(x)=k−kxk−1⇒f″(x)=−k(k−1)xk−2f′(k)=0⇒x=1⇒f″(1)=−k(k−1)<0,k=2,3,⋯⇒f(1)=k−1為極大值⇒n∑k=1(k−1)=n(n+1)2−n=n2−n2<2025⇒n(n−1)<4050⇒最大的n=64
解答:

已知∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ又∠PDA=∠PFA=90∘⇒PDAF共圓⇒對同弧的圓周角相等:{∠FAP=∠PDF=1∠PAD=∠PFD=θ同理,{PDBE共圓⇒{∠PBD=∠PED=2∠PBE=∠PDE=θPECF共圓⇒{∠PCE=∠PFE=3∠PCF=∠PEF=θ⇒{∠A=θ+1=∠EDF∠B=θ+2=∠DEF∠C=θ+3=∠DFE⇒△ABC∼△DEFQED
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