100學年度臺北市聯合轉學考-高中升高三-數學科詳解

臺北市高級中等學校 100 學年度聯合轉學考招生考試
升高三數學科試題

一、單選題

解：
$$(A) \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}|| \overrightarrow{OB}| \cos \angle AOB > | \overrightarrow{OB}|| \overrightarrow{OB}|\\ (B)\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OB}|| \overrightarrow{OB}|\\ (C) \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OC} || \overrightarrow{OB}| \cos \angle BOC<  | \overrightarrow{OB}|| \overrightarrow{OB}|\\ (D) \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 (\because \angle BOD=90^\circ)\\ (E) \overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{OB} < 0 (\because \angle BOE > 90^\circ)\\， 故選：\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$x^2+y^2+z^2 = 9 \Rightarrow \begin{cases} 圓心O(0,0,0) \\ 半徑r=3 \end{cases} , 離圓心越遠截面積越小;\\ \text{dist}((A),O)=1\\ \text{dist}((B),O)={1 \over \sqrt 2}\\ \text{dist}((C),O)= {3\over \sqrt 3} = \sqrt 3\\ \text{dist}((D),O)= {2\over 3} \\\text{dist}((E),O)= 0\\， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$|\vec a|=\sqrt 5 \Rightarrow x^2+y^2 = 5 \Rightarrow (x^2+y^2) (2^2+(-1)^2) \ge (2x-y)^2 \Rightarrow 5\times 5\ge (2x-y)^2\\ \Rightarrow 5 \ge 2x-y \ge -5 \Rightarrow 2x-y 最大值為5， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$(A) \sqrt{2^2+(-7)^2} =\sqrt {53} \\(B) |2|=2 \\ (C){ |6+4+14-3|\over \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = { 21\over 3} =7 \\(D) \sqrt{5^2 +1^2+11^2} = \sqrt{147} \\(E) {x-4 \over 2} ={y-1 \over 1} ={z+4 \over -3} \equiv (2t+4,t+1,-3t-4) =(6,2,-7),t=1 \Rightarrow P在直線上\\， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：
$$\begin{cases} A(-8,1,2) \\ B(-4,3,k) \\ E:2x+y-2z+5=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB}= (4,2,k-2) \\ \vec n=(2,1,-2) \end{cases} \Rightarrow  \overrightarrow{AB} \bot \vec n \Rightarrow  \overrightarrow{AB} \cdot \vec n =0\\ \Rightarrow 8+2-2k+4=0 \Rightarrow k=7， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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6.試問坐標平面上共有幾條直線，會使得點O(0,0) 到此直線的距離為 1，且點 A(5,0) 到此直線的距離為 2？

(A) 1 條 (B) 2 條 (C) 3 條 (D) 4 條 (E)沒有直線

解：

$$此題相當於圓O與圓A的公切線有幾條？， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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7.假設某一球形的地球儀，其赤道長為 50cm，有一隻螞蟻沿著北緯 30 度的緯線爬行了一圈，試問牠爬行的路徑長為何？ $$(A) {25\sqrt 2 \over 2}\qquad (B) 25\sqrt 3\qquad (C) 25\sqrt 2\qquad (D) 25 \qquad (E) {25\sqrt 3\over 2}$$

解：

$$\begin{cases} 北緯0^\circ (赤道)的半徑為r \\ 北緯30^\circ 的半徑為r' \end{cases} \Rightarrow r' = r\cos 30^\circ \Rightarrow 2\pi r'= 2\pi r \cos 30^\circ = 50 \times \cos 30^\circ = 50\times {\sqrt 3\over 2}\\=25 \sqrt 3 ， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} \begin{bmatrix}2 & 1 &a & 5 \\1 & -1 & -2 & 1 \\ 3 & 1& -4 & 1\end{bmatrix}   \Rightarrow \begin{cases} 2x+y+az=5 \\ x-y-2z=1 \cdots(1)\\ 3x+y-4z=1 \cdots(2) \end{cases} \\ \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & b & 1 \\ 1 & c & -2 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} z=1  \cdots(3)\\ y+bz=1 \\ x+cy-2z=1 \end{cases} \end{cases} ,將(3)代回(1)及(2) \Rightarrow \begin{cases} x-y=3 \\ 3x+y=5   \end{cases} \\ \Rightarrow  \begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases},代回其它三式 \Rightarrow  \begin{cases} 4-1+a=5 \\ -1+b=1 \\ 2-c-2=1 \end{cases}\Rightarrow  \begin{cases} a=2 \\ b=2 \\ c=-1 \end{cases} \Rightarrow a+b+c=3，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：

$${x^2 \over -9} +{y^2 \over 16}=1 \Rightarrow \begin{cases} a=4 \\b=3 \end{cases} \Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2} =5 \Rightarrow \begin{cases} \overline{PF_2}- \overline{PF_1}=2a=8 \\ \overline{PF_1}:\overline{PF_2}=1:3 \end{cases} \\\Rightarrow \begin{cases} \overline{PF_1}=4 \\ \overline{PF_2}=12 \end{cases}  \Rightarrow \triangle PF_1F_2周長=\overline{PF_1} +\overline{PF_2}+\overline{F_1F_2} =4+12+2c=26，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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10.將 "日日是好日" 5 個字排成一列，則恰有 2 個"日"字相鄰的排法有多少種？

(A) 40 (B) 24 (C) 20 (D) 12 (E) 6

解：
先將日日合併成一個字，假設叫昌，則題目變成：「昌是好日四個字排列，昌日二字不相鄰，有多少種排法？」四個字排列有4!種排法，昌日二字相鄰有$3!\times 2=12$排法，因此共有4!-12=12種，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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11.將 3 男 3 女等 6 個轉學生，平分到甲、乙、丙三個班級，且每一班分 1 男 1 女，試問共有多少種分法？

(A) 36 (B) 24 (C) 18 (D) 12 (E) 6

解：

$$3男有3!=6種排法，3女也有3!=6種排法；因此共有6\times 6=36種分法，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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 12.有一特殊的骰子，其六面的點數各為 1,2,2,3,3,3，且每面出現的機會均等，今將此骰子投擲二次，則點數和為 4 的機率為何？ $$(A){7\over 36} \qquad (B) {2\over 9} \qquad (C) {5\over 18}\qquad (D) {1\over 4}\qquad (E){1\over 3}$$

解：

該特殊骰子出現1的機率為1/6、出現2的機率為1/3、出現3的機率為1/2；

點數和為4=1+3、2+2、3+1，機率為${1\over 6}\times {1\over 2} +{1\over 3}\times {1\over 3} +{1\over 2}\times {1\over 6} = {5\over 18}$，故選$\bbox[red, 2pt]{(C)}$。

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解： $$挑選數字變化較大的，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

$$(1-x)+(1-x)^2+ \cdots +(1-x)^n = \cfrac{(1-x)-(1-x)^{n+1}}{x} \\ \Rightarrow x^2的係數=-C^{n+1}_3(-1)^3 = C^{n+1}_3 = {(n+1)n(n-1) \over 3!} ={1\over 6}n^3-{1\over 6}n\\ \Rightarrow \begin{cases} a=1/6 \\ b=0 \\ c=-1/6 \\d=0 \end{cases} \Rightarrow a+c=0=b+d，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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二、多重選擇題

解：
$$過(x_0,y_0)與{x^2 \over 4}-{y^2 \over 1}=1 相切的直線方程式: {x_0x \over 4}-y_0y=1\\(A) (x_0,y_0)=(0,0) \Rightarrow 切線方程式: 0-0=1,矛盾\\(B) (x_0,y_0)=(2,0) \Rightarrow 切線方程式: {2x\over 4}-0=1 \Rightarrow x=2\\(C) (x_0,y_0)=(2,1) \Rightarrow 切線方程式: {2x\over 4}-y=1 \\(D)(x_0,y_0)=(1,0) \Rightarrow{x\over 4}-0=1 \Rightarrow x=4不經過(1,0),矛盾\\ (E) (x_0,y_0)=(5,0) \Rightarrow{5x\over 4}-0=1 \Rightarrow x=4/5不經過(5,0),矛盾\\，故選\bbox[red,2pt]{(BC)}$$

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解：
$$\sqrt{ (x+1)^2 +(y-9)^2}+\sqrt{ (x-5)^2 +(y-1)^2} =26 \Rightarrow  \begin{cases}F_1(-1,9) \\ F_2(5,1) \\ 2a=26\end{cases} \\\Rightarrow  \begin{cases}中心=(F_1+F_2)/2 =(2,5) \\ a=13 \\ c= \overline{F_1F_2}/2= 5\end{cases} \Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=12\\ (A)\times: 中心(2,5) \\(B) \bigcirc:  \begin{cases}F_1(-1,9) \\ F_2(5,1)  \end{cases} \\(C) \times:  2b=24\\ (D) \times: {2b^2 \over a} ={2\times 144 \over 13} ={288 \over 13} \\ (E) \bigcirc : \overleftrightarrow{F_1F_2}: 4x+3y=23 \Rightarrow 與\overleftrightarrow{F_1F_2} 垂直的直線方程式為3x-4y+k=0\\ \qquad，該直線過中心(2,5) \Rightarrow k=14 \Rightarrow 橢圓與兩直線\begin{cases}4x+3y=23\\ 3x-4y+14=0 \end{cases}對稱\\，故選\bbox[red,2pt]{(BE)}$$

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17.甲乙丙丁四人同時玩{剪刀,石頭,布}猜拳遊戲一次，則下列敘述何者正確？

(A)恰有一人猜贏的機率為 2/27

(B)恰有二人猜贏的機率為 2/27

(C)只有丁一人猜贏的機率為 1/4

(D)四人平手的機率為 13/27

(E)猜贏人數的期望值為 28/27人

解：
$$(A) \times:甲獨勝的情形: 甲出剪刀，其他人都出布；甲出石頭，其他人都出剪刀；甲出布，其他人都出石頭；\\ \qquad 同理，乙、丙、丁獨勝也各有三種情形；因此恰有一人猜贏的機率為{4\times 3 \over 3^4} ={4\over 27}\\ (B) \times: 甲乙勝丙丁敗的情形: 甲乙都出剪刀(石頭、布)，丙丁都出布(剪刀、石頭)，有三種情形; \\\qquad 四人中有二人獲勝，有C^4_2種情形，因此恰有二人猜贏的機率為{C^4_2\times 3 \over 3^4} ={6 \over 27}\\(C) \times: 如說明(A)，丁獨贏有三種情形，機率為{3 \over 3^4} ={1\over 27}\\ (D)\bigcirc: 能分出勝負的情形比較簡單，因此平手的機率=1-能分出勝負的機率;\\ \qquad 要能分出勝負，表示只能出現兩種拳，剪刀、石頭、布三種選兩種，有C^3_2種選法;\\ \qquad 四個人只能就這兩種拳作選擇，有2^4種選法，但不能都選同一種，因此只有2^4-2種選法;\\ \qquad 因此分出勝負的機率為{C^3_2\times (2^4-2) \over 3^4} = {14 \over 27} \Rightarrow 平手的機率=1-{14 \over 27}={13 \over 27}\\(E) \bigcirc:三人贏的機率與一人獨贏的機率相同，都是{4 \over 27}，因此猜贏人數的期望值為: \\ \qquad 1\times {4\over 27} + 2\times {6\over 27} + 3\times {4\over 27} = {28\over 27}\\，故選\bbox[red,2pt]{(DE)}$$

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18.在空間中，下列敘述何者正確？

(A)垂直同一平面的相異二直線必平行

(B)垂直同一平面的相異二平面必平行

(C)垂直同一直線的相異二直線必平行

(D)相異二直線必有公垂線

(E)平行同一平面的相異二直線必平行

解：
$$(B)\times: x=0,y=0,z=0為空間中兩兩互垂的平面 \\(C) \times: 可能歪斜\\ (E) \times: 若E_1// E_2，平面E_1上的所有直線皆平行E_2，但直線並不一定平行\\，故選\bbox[red,2pt]{(AD)}$$

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19.國際油價居高不下，民生物價漲聲連連，消基會做了一項民意調查，成功訪問了 1100 位民眾，其中有 495 位民眾認為有影響生活，在 95％的信心水準下，下列敘述何者正確？ （註：標準差=$\sqrt{\cfrac{p(1-p)}{n}}$

(A)全民中認為有影響生活的比例為 45％

(B)抽訪民眾中認為有影響生活的比例為 45％

(C)誤差為正負 2 個百分點

(D)誤差為正負 3 個百分點

(E)信賴區間為[0.42 , 0.48]

解： $$(A) \times: 只知道1100個樣本的民意，並非全民\\ (B)\bigcirc: p=495/1100 = 0.45\\ (C) \times: 在95\%的信心水準下，誤差為2\times \sqrt{\cfrac{p(1-p)}{n}}=2\times \sqrt{\cfrac{0.45 \times 0.55}{1100}} = 0.03\\ (D) \bigcirc: 理由同(C) \\(E) \bigcirc: 信賴區間為[0.45 \pm 3] =[0.42, 0.48]\\，故選\bbox[red,2pt]{(BDE)}$$

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解題僅供參考