103學年度臺北市聯合轉學考-高中升高三-數學科詳解

臺北市高級中等學校 103 學年度聯合轉學考招生考試
升高三數學科試題

一、單選題

解：
$$\begin{cases}(A) & 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ= \sin (2\times 20^\circ) =\sin 40^\circ \\ (B) & 2\cos^2 40^\circ -1 = \cos (2\times 40^\circ) = \cos 80^\circ \\ (C) & \cos 100^\circ \cos 10^\circ + \sin 100^\circ \sin 10^\circ = \cos (100^\circ -10^\circ)= \cos 90^\circ =0\\ (D) & \sin 20^\circ \cos 50^\circ +\cos 20^\circ \sin 50^\circ = \sin(20^\circ+50^\circ) = \sin 70^\circ \\(E) & \cfrac{\tan 30^\circ + \tan 20^\circ}{ 1- \tan 30^\circ  \tan 20^\circ } =\tan (30^\circ + 20^\circ) =\tan 50^\circ\end{cases} \\， 故選：\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$令s=(\overline{AB} +\overline{BC} +\overline{CA} )\div 2 = (13+15+7)\div 2=35/2\\  \Rightarrow \triangle ABC面積=\sqrt{s(s-\overline{AB})(s-\overline{BC})(s-\overline{CA})} =\sqrt{{35\over 2}\times {9\over 2}\times {5\over 2}\times {21\over 2}} ={105 \over 4}\sqrt 3\\， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$C:x^2+y^2+4x+4-k=0 \Rightarrow (x+2)^2+y^2=k \Rightarrow  \begin{cases}圓心C(-2,0) \\ 半徑r=\sqrt k\end{cases} \\ 圓心至Y軸的距離需小於半徑，即2<\sqrt k \Rightarrow 4<k， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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4. 在平面上由四個點 A(3,5)， B(1,1)， C(4, -2) ， D(6,5)圍成的四邊形及其內部的所有點中， 若使目標函數$ax+y$ 有最大值時只發生在 A(3,5)處，則$a$的值可為下列何者？

(A)1

(B) 0

(C) -1

(D) -2

(E) -3

解： $$(A) a=1 \Rightarrow x+y最大值時發生在 D(6,5)\\(B) a=0 \Rightarrow y最大值時發生在 A(3,5)及D(6,5)\\(C) a=-1 \Rightarrow -x+y最大值時發生在 A(3,5)\\(D) a=-2 \Rightarrow -2x+y最大值時發生在 A(3,5)及B(1,1)\\(E) a=-3 \Rightarrow -3x+y最大值時發生在B(1,1)\\， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$(\vec a+\vec b)\cdot (\vec a+\vec b)=|\vec a+\vec b|^2 \Rightarrow |\vec a|^2+2\vec a\cdot \vec b+ |\vec b|^2= |\vec a+\vec b|^2  \Rightarrow 25+2\vec a\cdot \vec b+36=64\\ \Rightarrow \vec a \cdot \vec b= 3/2 = |\vec a||\vec b|\cos \theta=30 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = 1/20， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$\overrightarrow{PQ}= \overrightarrow{PC} +\overrightarrow{CQ} ={1\over 2}\overrightarrow{BC} +{2\over 3}\overrightarrow{CD} = {1\over 2}\overrightarrow{AD} -{2\over 3}\overrightarrow{AB}， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$(A)P與XY平面的的距離為b\\(B)P與X軸的的距離為 \sqrt{a^2+b^2} \\(C)P與Z軸的的距離為\sqrt{a^2+a^2}，a,b大小關係未知，無法判定\\(D) R=(r,s,t) \Rightarrow \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} = ar+as+bt =0 \Rightarrow (r,s,t)=(b,b,-2a),(0,b,-a),....\\ (0,b,-a)非唯一解\\(E) Q=(m,n,0) \Rightarrow \overrightarrow{PQ}=(m-a,n-a,-b) \Rightarrow \overrightarrow{PQ} \cdot (m,n,0)=0 \Rightarrow m^2+n^2-(m+n)a=0\\ \Rightarrow (m,n,0)=(0,a,0), (a,a,0)...皆為其解，因此Q至x軸，y軸的距離不一定相等\\， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$(\vec a\times \vec b) \bot \vec a 且(\vec a\times \vec b) \bot \vec b，因此\vec a\cdot (\vec a\times \vec b) =0 =\vec b\cdot (\vec b\times \vec a) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\begin{cases}L:(s+1,2s+2,-3s-3)  \\ (A):(t,t,-t)\end{cases} \Rightarrow 當s=-1,t=0時，(0,0,0)為其交點 \Rightarrow 不歪斜，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases}A在E上 \\E\bot F_1 \\ E\bot F_2 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} a-2b+c+2=0  \\(a,b,c) \cdot (1,2,-1)=0 \\ (a,b,c) \cdot (1,-1,1)=0 \end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases} a-2b+c+2=0  \\ a+2b-c=0 \\ a-b+c=0 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} a=-1  \\ b=2 \\ c=3 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases}x-2y-3z=1\cdots (1) \\ x-z=-1\cdots(2) \\  3x+2y-z=a\cdots (3)\end{cases},由(2)  \Rightarrow z=x+1代入(1)及(3) \Rightarrow \begin{cases} -2x-2y=4  \\2x+2y=a+1 \end{cases} \\ 無限多解 \Rightarrow {-2\over 2}= {4\over a+1} \Rightarrow a=-5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$\begin{cases}A= \begin{bmatrix}2 & -1 \\-1 & 1 \end{bmatrix}  \\ B= \begin{bmatrix}-5 & 2 \\2 & -3 \end{bmatrix} \end{cases}  \Rightarrow X=3A+B =\begin{bmatrix}6 & -3 \\-3 & 3 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-5 & 2 \\2 & -3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1 \\-1 & 0 \end{bmatrix}\\  \Rightarrow det(X)=-1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$4x^2-3y^2=12 \Rightarrow \cfrac{x^2}{3}-\cfrac{y^2}{4}=1 \Rightarrow  \begin{cases}a=\sqrt 3  \\b =2\end{cases} \Rightarrow c= \sqrt 7\\(A)4x^2-3y^2=1 \Rightarrow \cfrac{x^2}{1/4}-\cfrac{y^2}{1/3}=1 \\(B)2x^2+9y^2=18 \Rightarrow \cfrac{x^2}{9}-\cfrac{y^2}{2}=1 \Rightarrow \begin{cases}a= 3  \\b =\sqrt 2\end{cases} \Rightarrow c=\sqrt 7\\(C) 上下形,並非左右形\\(D) 2x^2-9y^2=18 \Rightarrow \cfrac{x^2}{9}-\cfrac{y^2}{2}=1 \Rightarrow \begin{cases}a= 3  \\b = \sqrt 2\end{cases} \Rightarrow c= \sqrt {13}\\(E) 4x^2+3y^2=12 \Rightarrow \cfrac{x^2}{3}+\cfrac{y^2}{4}=1 \Rightarrow 上下形,並非左右形\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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14. 太陽系中的行星，都是以橢圓的軌道繞著太陽運行的，而且太陽位在橢圓的一個焦點上。當行星運行到長軸的兩個端點時，距離太陽最近的點稱為近日點，而最遠的點稱為遠日點。已知地球繞太陽軌道之近日點與遠日點和太陽的距離比為7 :8。設地球軌道的短軸長度比長軸長度的比值為k， 則下列何者最接近k的值？

(A)1  (B) 0.9  (C) 0.8  (D) 0.7  (E) 0.6

解：

$$\begin{cases}太陽位於焦點F_1  \\ 另一焦點F_2 \\ 近日點A \\ 遠日點B\end{cases} ,依題意 \begin{cases}\overline{AF_1}=7m  \\ \overline{BF_1}=8m\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2a= \overline{AB}=15m  \\ 2c=\overline{F_1F_2}=\overline{AB}- 2\overline{AF_1} =m \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases}a= 15m/2  \\ c= m/2 \end{cases} \Rightarrow b=\sqrt{ a^2-c^2}=\sqrt{56m^2} = 2\sqrt{14}m \Rightarrow \cfrac{b}{a}= \cfrac{2\sqrt{14}m}{15m/2} = {4\sqrt{14} \over 15} \approx 1\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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二、多重選擇題

解：

$$(A)\times: \tan \theta = {b\over a}= -{3\over 4} \Rightarrow {a\over b}= -{4\over 3} \\ (B)\bigcirc: a^2+b^2=5 \Rightarrow \left( -{4\over 3}b\right)^2 +b^2=5 \Rightarrow {25\over 9} b^2=5 \Rightarrow \begin{cases} a=-4\sqrt 5/5\\ b=3\sqrt 5/5 \end{cases} \\\qquad \Rightarrow a+b= -\sqrt 5/5\\(C)\times: a\cdot b=-{4\sqrt 5 \over 5}\times {3\sqrt 5 \over 5} =-{12 \over 5} \\(D)\bigcirc: \sin \theta =b/\sqrt 5 =3/5\\ (E)\times: \cos \theta = a/\sqrt 5=-4/5\\，故選\bbox[red,2pt]{(BD)}$$

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解： $$\begin{cases} L_1:x-2y=-8 \\ L_2:x-2y=a \\ L_3:bx+y=4 \\ L_4:bx+y=14 \end{cases},由於L_1\bot L_3 \Rightarrow b=2,又\begin{cases} \text{dist}(L_1,L_2)= {|-8-a| \over \sqrt 5}\\ \text{dist}(L_3,L_4)= {10\over \sqrt 5}\end{cases} \\ \Rightarrow 矩形面積={|-8-a| \over \sqrt 5} \times {10\over \sqrt 5}=10 \Rightarrow a= \begin{cases}-3\\ -13(不合, L_1與L_2所圍區域需有交集) \end{cases} \\ 矩形各頂點坐標: \begin{cases}A(0,4)\\ B(1,2)\\ C(4,6) \\D(5,4) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}P=A或B時,-2x-y=-4為最小\\ 2x-4y//x-2y \Rightarrow P有無限多個\\ P=C時, x-3y=-14為最小 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(ABE)}$$

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解：
$$(A)\bigcirc:\begin{cases}A(1,0,3)\\ B(3,-1,1)\\ C(-3,-3,2) \\ D(2,1,k) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AB} =(2,-1,-2) \\ \overrightarrow {AC}=(-4,-3,-1) \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow {AC}= (-5,10,-10)// \vec n =(1,-2,t)\\ \qquad \Rightarrow \cfrac{-5}{1} =\cfrac{10}{-2} =\cfrac{-10}{t} \Rightarrow t=2\\(B) \times: \triangle ABC 面積={1\over 2}\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2| \overrightarrow{AC}|^2-(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2} ={1\over 2} \sqrt{9\times 26-(-3)^2} ={15\over 2} \\(C)\bigcirc: E:(x-1)-2y+2(z-3)=0 \Rightarrow x-2y+2z=7\\ \qquad 將D(2,1,k)代入E \Rightarrow 2-2+2k=7 \Rightarrow k=7/2\\(D)\times: 平行六面體體積=|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow {AC})|=45 \Rightarrow |(1,1,k-3) \cdot(-5,10,-10)| =45\\ \qquad \Rightarrow |-5+10-10k+30|= |35-10k|=45 \Rightarrow k=-1或8\Rightarrow 有兩個解\\(E) \bigcirc: \overrightarrow{AB} 和 \overrightarrow {AC}所張開的平行四邊形面積為|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow {AC}| = |(-5,10,-10)|= 15\\ \qquad \Rightarrow 六面體體積= \text{dist}(D,E)\times 15=45 \Rightarrow \text{dist}(D,E)=3\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACE)}$$

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解：
$$4x^2+y^2=1  \Rightarrow  \begin{cases} x = {1\over 2}\cos \theta\\ y=\sin \theta \end{cases}  \Rightarrow 6x+4y= 3\cos\theta+ 4\sin \theta = 5({3\over 5}\cos \theta +{4\over 5}\sin \theta)\\ \qquad =5(\sin \alpha\cos \theta + \cos \alpha \sin \theta) =5\sin(\alpha +\theta) \Rightarrow -5\le 6x+4y\le 5，故選\bbox[red,2pt]{(BCDE)}$$

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解： $$(A)\times: A= \begin{bmatrix}2 & 7 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1}={1\over det(A)} \begin{bmatrix}1 & -7 \\-6 & 2 \end{bmatrix} =-{1\over 40} \begin{bmatrix}1 & -7 \\-6 & 2 \end{bmatrix}\\(B) \bigcirc: A(A-3I)=\begin{bmatrix}2 & 7 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix}2 & 7 \\ 6 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix}2 & 7 \\ 6 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 7 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}40 & 0 \\0 & 40 \end{bmatrix} \\(C) \bigcirc: A-3I= \begin{bmatrix}-1 & 7 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}=40A^{-1} \Rightarrow B(A-3I)= 40BA^{-1} =40I \\ \qquad \Rightarrow BA^{-1} = I\Rightarrow B=A\\(D) \times: A^4=xA \Rightarrow A^3= xI= \begin{bmatrix}x & 0 \\0 & x \end{bmatrix} ,但A的元素均為正值 \\ \qquad \Rightarrow A^3的元素亦為正值，不可能為0\\ (E)\bigcirc: 由(C)知 A(A-3I)=40I \Rightarrow A^2-3A=40I \Rightarrow A^2= 3A+40I\\ \qquad A^4= (3A+40I) (3A+40I) = 9A^2+240A +160I = 9(3A+40I)+240A +160I\\ \qquad =267A+520I \Rightarrow x=267,y=520\\，故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}$$

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解題僅供參考