101學年度臺北市聯合轉學考-高中升高二-數學科詳解

臺北市高級中等學校 101 學年度聯合轉學考招生考試
升高二數學科試題

一、單選題

解：
$$ \begin{cases}a= \sqrt 5+ \sqrt{13} \\ b=\sqrt 8 + \sqrt {10} \\ c=\sqrt 7 + \sqrt {11} \end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases}a^2= 18+ 2  \sqrt{65} \\ b^2 =18 + 2\sqrt {80} \\ c^2 = 18  + 2\sqrt {77} \end{cases} \Rightarrow b^2>c^2> a^2 \Rightarrow b>c>a， 故選：\bbox[red,2pt]{(E)}$$

---

解：$$P 介於A、B之間，則\overline{PA}+ \overline{PB} = \overline{AB}=11為最小值， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解：
$$令f(x)= 2+x-x^2 = -(x^2-x+{1\over 4})+2+{1\over 4} = -(x-{1\over 2})^2+ {9\over 4}\\ 由\log_3 10 > \log_3 9=2 \Rightarrow (\log_3 10-{1\over 2}) > (2-{1\over 2})={3\over 2} \Rightarrow (\log_3 10-{1\over 2})^2 > ({3\over 2})^2= {9\over 4}\\ \Rightarrow -(\log_3 10-{1\over 2})^2 + {9\over 4}<0 \Rightarrow f(\log_3 10)<0 \Rightarrow (\log_3 10,f(\log_3 10))在第4象限， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解：$$\sqrt[4]{64 \times \sqrt{16^{2/3}} }=2^x \Rightarrow x= \log_2 \sqrt[4]{64 \times \sqrt{16^{2/3}} } = {1\over 4}\log_2 (64 \times \sqrt{16^{2/3}} )\\ = {1\over 4}(\log_2 2^6 +{1\over 2} \log_2 16^{2/3} )= {1\over 4}(6 +{1\over 3} \log_2 16 ) = {1\over 4}(6 +{4\over 3} ) ={11 \over 6}， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解：
$$由表格可知: \log 2.60= 0.4150, \log 2.61=0.4166\\ \Rightarrow \log x_0=\sqrt 2= 1.414 = 1+ 0.414 \approx   1+ \log 2.6 = \log 26 \Rightarrow x_0 =26， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解：
$$p_A +p_B +p_C =1 \Rightarrow \log_4 a+\log_8 a + \log_{16} a=1 \Rightarrow {\log a \over 2\log 2} +{\log a \over 3\log 2} +{\log a \over 4\log 2} =1 \\ \Rightarrow \log a \cdot \left( {1/2 + 1/3 + 1/4 \over \log 2}\right) =1\Rightarrow \log a = {12 \over 13}\log 2 \Rightarrow \log_2 a= {12 \over 13} \Rightarrow p_A=\log_4 a= {6 \over 13}\\， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解：

$$每增加一個圖，就增加4塊白色地磚及2塊黑色地磚，第1圖有7塊白色地磚;\\ 因此\begin{cases} a_1=7 \\ d=4 \\ a_n= a_1+(n-1)d, n\ge 2\end{cases} \Rightarrow a_{100} =a_1+ 99d =7+ 99\times 4= 403， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

8. 一等比數列之前 3 項之和為 10，前 6 項之和為 30，則其前 12 項之和為何？

(A) 80 (B)150 (C) 270 (D) 400 (E) 500

解：$$\begin{cases} \sum_{n=1}^3 a_n =10 \\ \sum_{n=1}^6 a_n=30\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(1+r+r^2) =10 \cdots(1) \\ a(1+r+r^2+\cdots+r^5)=30 \cdots(2)\end{cases}, {(1) \over (2)} \Rightarrow   {1+r+r^2 \over 1+r+\cdots+r^{5}} ={1 \over 3} \\ \Rightarrow r^5+r^4+r^3 -2r^2-2r -2 =0 \Rightarrow r^3(1+r+r^2) -2(1+r+r^2) \Rightarrow (r^3-2) (1+r+r^2)=0 \\ \Rightarrow r=\sqrt[3] 2 代回(1) \Rightarrow a= {10 \over 1+\sqrt[3] 2+ \sqrt[3] 4} \Rightarrow  \sum_{n=1}^{12} a_n = a(1+r+\cdots+r^{11}) = a\cdot{1-r^{12} \over 1-r} \\ ={10 \over 1+\sqrt[3] 2+ \sqrt[3] 4} \cdot {1-16 \over 1-\sqrt[3] 2} ={10 \times 15 \over (1+\sqrt[3] 2+ \sqrt[3] 4)(\sqrt[3] 2-1)} = {150 \over (\sqrt[3]2)^3-1^3 }=150，故選\bbox[red,2pt]{(B)} $$

---

9. A、 B 兩隊比賽排球，每局均必須分出勝負，且規定「先勝三局或連勝兩局者獲勝」，若結果為 A 隊獲勝，則比賽過程的可能情形有幾種？

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 9 (E) 10

解：

$$獲勝序列：AA, BAA, ABAA, BABAA, ABABA，共五種情形，故選\bbox[red,2pt]{(A)} $$

---

解：
$$(102)^6 = (100+2)^6 = \sum_{n=0}^6 {6 \choose n}100^n2^{6-n} = 2^6+6\times 100\times 2^5 + \cdots+100^6 \\ \Rightarrow (102)^6 的十位數 = 2^6 的十位數 =64的十位數=6，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解：

$$1-{沒有正面的次數+1次正面的次數 \over 所有次數} = 1-{1+4 \over 2^4} =1-{5\over 16} = {11 \over 16}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

12. 投擲一公正硬幣，連續出現三個正面就停止，已知停止時共投擲 7 次，求在此情形下，第一次是正面的機率為何？

(A) 3/7  (B) 3/8  (C) 1/2  (D) 4/7  (E) 5/8

解：

最後四次一定是：反正正正；

前三次為：3反(1種)、1正2反(3種)、2正1反(3種)，共1+3+3=7種情形；其中第一次是正面的為：正反反、正正反、正反正，共3種情形；

因此機率為3/7，故選\(\bbox[red, 2pt]{(A)}\)。

---

13. 甲選手打靶，每發子彈得 50 分、 30 分、 10 分、 0 分的機率分別為 0.1、 0.2、 0.3、0.4。若各發子彈射擊結果是獨立的，則甲選手射擊 3 發子彈所得分數未達 30 分的機率為何？

(A) 0.148 (B) 0.252 (C) 0.316 (D) 0.343 (E) 0.412

解：$$\begin{array}{c|c} 射擊得分 & 機率\\\hline 0,0,0 & 0.4\times 0.4\times 0.4 \\\hline 0,0,10 & 0.4\times 0.4\times 0.3 \\ 0,10,0 & 同上 \\ 10,0,0 & 同上\\\hline 0,10,10 & 0.4\times 0.3 \times 0.3 \\ 10,0,10 & 同上\\ 10,10,0 & 同上\\ \end{array} \Rightarrow 機率為 0.4^3 + 3\times 0.4^2\times 0.3 + 3\times 0.4\times 0.3^2 =0.316\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

---

解：

$$\begin{cases} a_3=25\\ a_1+a_2+\cdots+a_5 = 20\times 5=100 \end{cases} \Rightarrow 1< 2< 25< 26< a_5 \\ \Rightarrow a_5=100-(1+2+25+26) = 46，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

二、多重選擇題

解：
$$(B) {1231 \over 250} ={4924 \over 1000} =4.924\\ (E) {121\over 16} =7.5625\\(A),(C),(D) 的分母為3的倍數，無法化成有限小數\\，故選\bbox[red,2pt]{(BE)}$$

---

解：
$$S_n= n^2-2n+3 = (n-1)^2+2\\(A)\times: a_1=S_1 = 0^2+2= 2\\ (B)\bigcirc: a_5=S_5-S_4 =(4^2+2)-(3^2+2) = 7\\ (C)\times: a_{30} = S_{30} -S_{29} = (29^2+2) - (28^2 +2) = 29^2-28^2 =57\\(D) \bigcirc: a_{101}-a_{100} = (S_{101}-S_{100}) -(S_{100}-S_{99}) = S_{101}- 2S_{100}+S_{99} \\\qquad =  100^2+2-2(99^2+2)+98^2+2 = 100^2-99^2 +98^2-99^2 =199-197=2 \\(E)\bigcirc: \sum_{k=101}^{200} a_k = S_{200}-S_{100} =199^2+2 -(99^2+2) = 199^2-99^2 = 298\times 100 = 29800\\，故選\bbox[red,2pt]{(BDE)}$$

---

解：
$$p(x)= (2x-3)(x+1)(3x+2)q(x) \Rightarrow p(x)最高次項係數=2\times 1\times 3\times q(x)的最高次項係數\\ =6\times q(x)的最高次項係數 = 6的倍數，故選\bbox[red,2pt]{(CD)}$$

---

解：
$$f(2-i)=0 \Rightarrow f(2+i)=0 \Rightarrow f(x) = (x-\alpha)(x-2+i)(x-2-i) = (x-\alpha)(x^2-4x+5)\\ 由於x^2-4x+5 >0 \Rightarrow f(x)<0 \Rightarrow x-\alpha <0 \Rightarrow \alpha = -2\\(A) \bigcirc: f(x)=0的三根為2\pm i及-2, 而1+i 並非其中一根\\ (B)\bigcirc: 2+i為其中一根\\ (C) \bigcirc:f(x)=(x+2)(x^2-4x+5) \Rightarrow 常數項為2\times 5=10\\ (D) \times: f(2x)>0 \Rightarrow (2x+2)(4x^2-8x+5)>0 \Rightarrow 2(x+1)((2x-2)^2+1)>0 \Rightarrow x> -1\\(E) \times: 只有一個實根,即一個交點\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABC)} $$

---

19. 一副 52 張撲克牌中有 4 種花色(黑桃、紅心、方塊、梅花)，每種花色均有 13 種點數(A、 K、 Q、 J、 10、 9、 …、 3、 2、 1)。若只留取大牌(A、 K、 Q、 J、 10、 9)共 24 張，從中任意取出 3 張，則下列各情形之方法數，何者正確？

(A) 3 張為同花色： 20 種

(B) 3 張為同點數： 24 種

(C) 3 張為不同點數： 1280 種

(D) 3 張恰成 1 對(x, x, y， x ≠ y)： 360 種

(E) 3 張為同顏色(黑桃及梅花均為黑色，紅心及方塊均為紅色)： 220 種

解：$$(A) \times: 3張都是黑桃有C^6_3=20種，四種花色共有4\times 20=80情形\\ (B)\bigcirc: 3張都是A有C^4_3=4種情形，共有六種點數，所以有4\times 6=24種情形\\ (C) \bigcirc: 六種點數取三種共有C^6_3=20情形，每個點數有四種花色，因此共有20\times 4^3=1280種\\ (D) \times: 第1張牌有六種點數可選，第2張牌只能與第1張相同，第3張牌有5種點數可選\\ \qquad，共有6\times 1\times 5=30,每張牌有四種花色，共有30\times 4^3= 1920種 \\(E) \times: 24張牌有12張是黑色，12張是紅色；3張都是黑色有C^{12}_3種，3張都是紅色也有C^{12}_3種\\\qquad，共有2C^{12}_3 =440種\\，故選\bbox[red,2pt]{(BC)}$$

---

解題僅供參考