臺北市高級中等學校 104 學年度聯合轉學考招生考試
升高三數學科試題
升高三數學科試題
一、單選題
雙曲線:(x+1)216−y29=1⇒{a=4b=3⇒頂點(3,0),(−5,0)橢圓:x29+y24⇒{a=3b=2⇒右頂點(3,0),左頂點(−3,0)因此雙曲線與橢圓僅交於(3,0)一點,故選:(B)
解:(2+3t)−3(1−2t)+4(1+at)=3⇒9t+4at=0⇒t(9+4a)=0⇒a=−9/4,故選(D)
解:
(A)×:{[1000][1234]=[1200][1000][1299]=[1200]⇒[1234]≠[1299](B)×:若AB≠BA⇒(A+B)(A−B)=A2−AB+BA−B2≠A2−B2(C)◯:I(B+C)=IB+IC=B+C=BI+CI=(B+C)I(D)×:理由同(B),除非AB=BA,否則(A+B)2≠A2+2AB+B2(E)×:(AB)−1=B−1A−1,故選(C)
解:¯AB¯AC=sinCsinB=125cosC4/5=3cosC=3×513=1513,故選(A)
解:
{tanθ<0sinθ<0⇒{cosθ>0sinθ<0⇒tan2θ=sin2θcos2θ=2sinθcosθ2cos2θ−1⇒分子<0分母無法判定,故選(E)
解:
¯AP¯BP=dist(A,L)dist(B,L)=1+4−3√5/|−1−10−3|√5=2/14=1/7,故選(D)
解:平面E:2x−y−2z−1=0的法向量→n=(2,−1,−2)⇒過A(1,0,1)且垂直E的直線L1:(2t+1,−t,−2t+1)代回E⇒2(2t+1)−(−t)−2(−2t+1)−1=0⇒t=1/9代回L1求得A在E上的投影點A′(11/9,−1/9,7/9)同理,⇒過B(2,2,3)且垂直E的直線L2:(2t+2,−t+2,−2t+3)代回E⇒2(2t+2)−(−t+2)−2(−2t+3)−1=0⇒t=5/9⇒B在E上的投影點B′(28/9,13/9,17/9)⇒¯A′B′=√(17/9)2+(14/9)2+(10/9)2=3√659=√65/3,故選(E)
解:
{L1:x−12=y−1a=z−14L2:x+11=y−32=z−73⇒{L1:(2s+1,as+1,4s+1)L2:(t−1,2t+3,3t+7)⇒{2s+1=t−1as+1=2t+34s+1=3t+7⇒{s=−6t=−10a=(2t+2)/s⇒a=−18/(−6)=3,故選(A)
解:a:b:c=sinA:sinB:sinC=4:5:6⇒{a=4kb=5kc=6k⇒cosC=a2+b2−c22ab=16k2+25k2−36k240k2=18,故選(D)
解:
x2+y2−8x−6y+21=0⇒(x−4)2+(y−3)2=4⇒{圓心C(4,3)半徑r=2⇒離Y軸{最近的距離2最遠的距離6⇒距離2有1個點、距離3、4、5各有2個點、距離6有1個點,共有1+2×3+1=8個點距Y軸的距離為整數,故選(D)
解:
{x≥0y≥02x+y≤64x+7y≤28所圍區域之頂點{O(0,0)A(0,4)B(7/5,16/5)C(3,0)代入f(x,y)=3x−2y+1⇒{f(O)=1f(A)−7f(B)=−4/5f(C)=10⇒最大值為10,故選(C)
解:
二、多重選擇題
(A)×:(AB)−1=B−1A−1(B)×:AB=BC⇒A=BCB−1(C)◯:(AB)−1=B−1A−1⇒(AB)−1存在⇒B−1與A−1皆存在(D)×:AB=3I⇒det(AB)=det(3A)⇒det(A)×det(B)=3×det(A)⇒det(B)=3(E)◯:ABA−1=I⇒ABA−1A=IA⇒AB=A⇒A−1AB=A−1A⇒B=I,故選(CE)
解:
{△=|12a11b3−51|=1−5a+6b−3a−2+5b=−8a+11b−1△z=|1211123−5c|=c−5+12−3−2c+10=14−c(A)◯:8a−11b≠−1⇒△≠0⇒恰有一解(B)×:可能有無限多組解(C)×:若有解可能恰有一解(△≠0),c不一定為14(D)×:8a−11b=−1⇒△=0⇒可能無解,也可能無限多組解(E)◯:無解⇒△=0且△z≠0⇒c≠14,故選(AE)
解:滿足¯AP=¯AQ的A點在¯PQ的中垂線上,因此只要不是與該中垂線平行的直線皆有有交點;¯PQ的斜率為3−(−3)4−2=3⇒中垂線的斜率為−1/3;只有(D)的直線斜率為−1/3,其它直線皆與中垂線有交點,故選(ABCE)
解題僅供參考
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