臺北市高級中等學校 102 學年度聯合轉學考招生考試
升高三數學科試題
升高三數學科試題
一、單選題
(A)sin320∘=sin(360∘−40∘)=−sin40∘(B)sin100∘=sin(180∘−100∘)=sin80∘(C)tan(−135∘)=tan45∘=1(D)cos90∘=0(E)cos220∘=−cos40∘只有(A)與(E)是負值,又−sin40∘=−cos50∘>−cos40∘⇒(E)最小,故選:(E)
解:{sinα=4/5cosβ=−5/13⇒{cosα=−3/5sinβ=−12/13⇒sin(α+β)=sinαcosβ+sinβ+cosα=45×(−513)+(−1213)×(−35)=36−2065=1665,故選(B)
解:
x2+y2−2x+6y+k=0⇒(x−1)2+(y+3)2=10−k⇒半徑=√10−k=2⇒10−k=4⇒k=6,故選(E)
解:(→a+t⋅→b)⋅→c=0⇒((1,−2)+t(4,1))⋅(2,−5)=(4t+1,t−2)⋅(2,−5)=8t+2−5t+10=3t+12=0⇒t=−4,故選(D)
解:
{R=(1,0)S=(−3,−2)⇒¯RS直線方程式L:x−2y=1,由於¯RS⊥¯PS⇒¯PS直線方程式M:2x+y+k=0;M經過點S(−3,−2)⇒−6−2+k=0⇒k=8⇒M:2x+y+8=0,故選(A)
解:
直線ax−y=−3經過(0,3)且與直線¯AD交於點P,見上圖又P為直線x+y=6與ax−y=−3的交點,因此P=(a+13,17−a3),再代入x+2y=11⇒a+13+34−2a3=11⇒a=2,故選(B)
解:
解:假設六邊形邊長為a(A)→AB⋅→AB=a2(B)→AB⋅→AC=a×√3a×cos30∘=√32a2(C)→AB⋅→AD=a×2a×cos60∘=a2(D)→AB⋅→AE=a×√3a×cos90∘=0(E)→AB⋅→AF=a×a×cos120∘=−12a2,故選(E)
解:
{P(1,−2,1)Q(0,−1,2)R(−3,−1,3)S(k−1,k,k+1)⇒{→PQ=(−1,1,1)→PR=(−4,1,2)→PS=(k−2,k+2,k)⇒→PQ×→PR=(|1112|,|1−12−4|,|−11−41|)=(1,−2,3)(→PQ×→PR)⊥→PS⇒(→PQ×→PR)⋅→PS=0⇒(1,−2,3)⋅(k−2,k+2,k)=2k−6=0⇒k=3,故選(C)解:k=¯F1F2=√82+62=10,故選(C)
解:
(A)×:A(B+C)=AB+AC(B)×:(A+B)(A−B)=A2−AB+BA−B2(AB不一定等於BA)(C)×:(AB)3=ABABAB≠A3B3(D)◯:(√2A)(√3B)=√6AB(E)×:[1−11−1][1−11−1]=[0000],但[1−11−1]≠0,故選(D)
解:
(A+B)(A−B)=A2−B2⇒AB=BA⇒[−1−2−3−4][k231]=[k231][−1−2−3−4]⇒[−k−6−4−3k−12−10]=[−k−6−2k−8−6−10]⇒{−2k−8=−4−3k−12=−6⇒k=−2,故選(A)
二、多重選擇題
(A)×:→a−→b=(5,12)−(−3,4)=(8,8)(B)◯:→a⋅→b=(5,12)⋅(−3,4)=−15+48=33(C)×:|→a⋅→b||→b|=33/5(D)◯:√|→a|2|→b|2−(→a⋅→b)2=√132×52−332=56(E)◯:cosθ=→a⋅→b|→a||→b|=3313×5=3365>12,故選(BDE)
{∠C=60∘∠D=135∘⇒{∠A=180∘−∠C=120∘∠B=180∘−∠D=45∘;又¯BD的中垂線經過圓心O,如上圖;(A)◯:△AED=60∘−90∘−30∘⇒¯ED=√32ׯAD=√3⇒¯BD=2√3(B)×:△AOB為正△⇒半徑¯AO=¯AB=2(C)×:等腰直角△AOC⇒¯AC=√2ׯAO=2√2(D)◯:∠ACB=∠ADB(對同弧)=30∘(E)×:∠CAD=∠CBD(對同弧)=15∘,故選(AD)
17. 下列關於空間中的直線與平面的敘述何者正確?
(A) 兩不相交的直線必平行
(B) 相異的三點恰決定一平面
(C) 設直線 L與平面 E 恰交於一點 P ,若在平面E 上過 P 點的兩相異直線皆與 L垂直,則直線 L必垂直平面 E
(D) 若平面 E 與平面 F 皆垂直平面G ,則平面 E 與平面 F 必平行
(E) 平行於同一直線的兩相異直線必平行
解:
(A)×:可能歪斜(B)×:必須是不在一直線上的相異三點(D)×:E、F也可能相互垂直其他皆正確,故選(CE)
(A)×:可能歪斜(B)×:必須是不在一直線上的相異三點(D)×:E、F也可能相互垂直其他皆正確,故選(CE)
解:
x21+(y+1)24=4⇒x24+(y+1)216=1⇒{a=4b=2中心(0,−1)⇒c=√a2−b2=2√3(A)×:中心坐標(0,−1)(B)×:短軸長=2b=4(C)◯:2c=4√3(D)◯:2a=8(E)◯:該四邊形為一菱形,面積=4×ab2=16,故選(CDE)
19. 關於雙曲線(2x−y−5)(2x+y−7)=16,下列何者正確?
(A) 中心為(3,1)
(B) 貫軸所在直線為x=3
(C) 共軛軸所在直線為y=3
(D) 兩條漸近線斜率為±2
(E) 中心到兩條漸進線的距離乘積為165
解:(2x−y−5)(2x+y−7)=16⇒4x2−24x−y2+2y+19=0⇒(x−3)24−(y−1)216=1(A)◯:中心為於(3,1)(B)×:貫軸為y=1(C)×:共軛軸為x=3(D)◯:漸近線4(x−3)=±2(y−1)⇒斜率為±2(E)×:兩條漸近線的交點為中心,因此距離的乘積為0,故選(AD)
解題僅供參考
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