109年大學學測數學科詳解

109學年度學科能力測驗試題

數學考科

第壹部分：選擇題（占 6 0 分 ）
一、單選題

解

$$\begin{cases}\sin \alpha=3/5 =39/65 \\ \sin \beta = 5/13 = 25/65 \\ \sin 30^\circ = 1/2 = 32.5/65 \end{cases}  \Rightarrow \sin \alpha > \sin 30^\circ >\sin \beta，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

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解
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} \Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AD})=0 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot (-(\overrightarrow{CA} +\overrightarrow{AD})) =0 \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot (-(\overrightarrow{CD})) =0 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} =0，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

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解
$$(1)\overrightarrow{OP}= \overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OE} \Rightarrow P=D\\ (2)\overrightarrow{OP}= {1\over 4}\overrightarrow{OC} +{1\over 2}\overrightarrow{OE} \Rightarrow P 在 \triangle ODE 內\\ (3)\overrightarrow{OP}= -{1\over 4}\overrightarrow{OC} +{1\over 2}\overrightarrow{OE} \Rightarrow P 在 \triangle OEF 內\\(4)\overrightarrow{OP}= {1\over 4}\overrightarrow{OC} -{1\over 2}\overrightarrow{OE} \Rightarrow P 在 \triangle OBC 內\\(5)\overrightarrow{OP}= -{1\over 4}\overrightarrow{OC} -{1\over 2}\overrightarrow{OE} \Rightarrow P 在 \triangle OAB 內\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

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解  $$A= \begin{bmatrix}1 & 1 \\3 & 4 \end{bmatrix}  \Rightarrow A^{-1}= \begin{bmatrix}4 & -1 \\-3 & 1 \end{bmatrix}  \Rightarrow B=I+A+A^{-1}= \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}1 & 1 \\3 & 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4 & -1 \\-3 & 1 \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix}6 & 0 \\0 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow BA=\begin{bmatrix}6 & 0 \\0 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 \\3 & 4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6 & 6 \\18 & 24 \end{bmatrix}，故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$

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解  $$\begin{cases}|x-\sqrt{101}|<5  \\ |x-\sqrt{38}|>3\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} -5+\sqrt{101}<x< 5+\sqrt{101} \\ x >3+\sqrt{38}或 x<-3+\sqrt{38}\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} 4 \le x \le 15 \\ x \ge 10或 x\le 3 \end{cases}  \\ \Rightarrow 10\le x \le 15 \Rightarrow 有六個整數點，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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解
$$\log (a^2)+\log b>1  \Rightarrow \log (a^2b) > \log 10 \Rightarrow a^2b>10\\ \Rightarrow (a,b) = (2,3-6),(3,2-6),(4,1-6),(5,1-6),(6,1-6)，共有4+5+6+6+6=27種\\ \Rightarrow 機率為27/36= 3/4，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

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解

$$f(x)=-\sqrt 3 x^3 \Rightarrow f(-x)=\sqrt 3 x^3=-f(x) \Rightarrow f(x)為奇函數\\ \Rightarrow (\cos \theta,\sin \theta) 對稱原點的坐標為 Q=(-\cos \theta,-\sin \theta) =(-\cos \theta,\sin (-\theta))，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

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二、多選題

解
$$\begin{cases}滿足條件A  \Rightarrow (1,3,1), (1,3,3),(1,3,5)\\ 滿足條件B \Rightarrow (1,3,2),(1,3,5)\end{cases}  ,只能滿足條件A或條件B，不能都滿足 \\\Rightarrow (1,3,1), (1,3,2), (1,3,3) \Rightarrow 未知點數可能為1,2,3，故選\bbox[red,2pt]{(1,2)}$$

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解

$$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = |\overrightarrow{OP} ||\overrightarrow{OQ} | \cos \theta = 2\times 2\times \cos\theta = 4\cos \theta = \begin{cases}2 & \theta = 60^\circ,如: \angle P_1OQ_1\\-2 &  \theta = 120^\circ,如: \angle Q_1OQ_2\\ -4 &  \theta = 180^\circ,如: \angle P_1OQ_2 \\ -2&  \theta = 240^\circ,如: \angle P_1OP_2\end{cases} \\，故選\bbox[red,2pt]{(4,5)}$$

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解
$$(1)\bigcirc: f(0)=-4<0\\ (2) \times: \begin{cases}f(x)=f(-x) \Rightarrow 圖形對稱y軸\\0<x<y \Rightarrow f(x)<f(y)\\ f(0)=-4為最小值 \end{cases} \Rightarrow f(x)有兩實根\\ (3) \times: 由(2)及(4)可知: 一實根介於0與1,另一實根介於0與-1之間；\\因此若有有理根應為\pm 2/3, 但f(\pm 2/3)\ne 0 \\(4)\bigcirc:  \begin{cases}f(0)=-4\\ f(1) =10\end{cases}  \Rightarrow f(0)\times f(1)<0 \Rightarrow 存在x\in[0,1],使得f(x)=0 \\(5) \times: \begin{cases}f(1)=10\\ f(2) =48+44-4>0\end{cases}  \Rightarrow f(1)\times f(2)>0 \Rightarrow 無根介於1與2之間\\故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}$$

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解 

$$\begin{cases}\log a=1.1\\ \log b=2.2 \\ \log c=3.3 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} a=10^{1.1}\\ b= 10^{2.2} \\ c=10^{3.3} \end{cases}  \\(A)\times: \begin{cases} a+c= 10^{1.1}+ 10^{3.3}  = 10^{2.2}(10^{-1.1}+10^{1.1}) \\ 2b=2\times 10^{2.2}\end{cases} \Rightarrow a+c\ne 2b\\(B)\times: a=10^{1.1}=10\times 10^{0.1} = 10\times \sqrt[10]{10}>10\\(C)\bigcirc: \begin{cases}\log 2000=\log (2\times 10^3)= \log 2+\log 10^3=0.301+ 3=3.301\\ \log 1000=3 \end{cases}\\ \qquad \Rightarrow 3<3.3<3.301 \Rightarrow 1000<c< 2000 \\(D)\times: 2a=2\times 10^{1.1} \ne 10^{2.2}\\(E)\bigcirc: {b\over a}=10^{1.1} = {c\over b}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(3,5)}$$

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解
$$(1)\times: 2013年至2018年為逐年遞增\\(2) \times: 2015年為181.3千人，2016年為176.4千人，沒有逐年遞增\\(3) \bigcirc: 1070.9萬人的百分之五為535.45千人，每年男性農業人口皆小於最少的2011年\\(4) \times: 小於49歲包含39歲以下及40-49歲兩個群族，在2018年65歲以上的農業就業人口為184.9\\，小於49歲為72+78.8=150.8< 184.9\\ (5)\times: 79.4-69.1=10.3千人大於一萬人\\故選\bbox[red,2pt]{(1,3)}$$

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解

$$(1)\times: \begin{cases}\triangle OAB為正\triangle  \Rightarrow \overline{OB} =\overline{OA}\\ \triangle OAC為正\triangle  \Rightarrow \overline{OC} =\overline{OA}\end{cases}  \Rightarrow   \overline{OB} =\overline{OC},又\angle BOC=30^\circ \\\qquad\Rightarrow \angle OBC={180^\circ -30^\circ \over 2}=75^\circ  \Rightarrow \angle OBC> \angle BOC \Rightarrow \overline{OC} > \overline{BC} \\(2)\bigcirc: 理由同(1)\\(3)\times: \begin{cases}\triangle OAB面積={1\over 2}\times \overline{OB}^2 \times \sin \angle AOB \\ \triangle OBC面積={1\over 2}\times \overline{OB}^2 \times \sin \angle BOC \end{cases},由於\angle AOB=60^\circ > \angle BOC=30^\circ \\ \qquad \Rightarrow \triangle OBC面積小於\triangle OAB面積\\(4)\bigcirc:  \begin{cases}\overline{OC}= \overline{AC}\\ \overline{OB}=\overline{AB} \\ \overline{OB} = \overline{OB}\end{cases}  \Rightarrow \triangle CAB \cong \triangle COB \Rightarrow \angle CAB=\angle COB =30^\circ \\(5)\times: 在\overline{OA}找一點P，使得\overline{BP} \bot \overline{OA};並令\overline{BC}=c, \overline{OC}=\overline{OB}=a, \overline{PB}=\overline{PC}=b,則a>b;\\   \Rightarrow \begin{cases}\cos \angle BOC= {2a^2-c^2 \over 2a^2} = 1-c^2/2a^2\\ \cos \angle BPC = {2b^2-c^2 \over 2b^2} = 1-c^2/2b^2\end{cases}  \Rightarrow c^2 =(1-\cos \angle BOC)2a^2 = (1-\cos \angle BPC)2b^2 \\ \Rightarrow (1-\cos \angle BOC)a^2= (1-\cos \angle BPC)b^2 \Rightarrow 1-\cos \angle BOC<1-\cos \angle BPC\\ \Rightarrow \cos \angle BPC<\cos \angle BOC \Rightarrow \angle BPC >\angle BOC=30^\circ \Rightarrow 兩平面夾角大於30^\circ\\ 故選\bbox[red, 2pt]{(2,4)}$$

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第貳部分：選填題

解
$$原售價:200\times 5=1000 \Rightarrow 利潤=1000-200=800\\第1次調降: 利潤為800\times 0.5=400；第2次調降: 利潤為400\times 0.5=200；\\第3次調降: 利潤為200\times 0.5=100 \Rightarrow 售價為200+100=\bbox[red, 2pt]{300}元。$$

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解

$$\begin{cases}黑黑黑:機率為{1\over 2}\times {1\over 3}\times {1\over 3}= {1\over 18} \\ 白白白:機率為{1\over 2}\times {1\over 3}\times {1\over 3}= {1\over 18} \end{cases}  \Rightarrow 按三次均同色的機率為{1\over 18}+{1\over 18}= \bbox[red, 2pt]{{1\over 9}}$$

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解 

$$\begin{cases}2x+y=10與x-2y+15=0的交點為A=(1,8) \\ 2x+y=10與x-2y=0的交點為B=(4,2) \end{cases} \\ 令f(x,y)=3x-y \Rightarrow  \begin{cases}f(A)=3-8=-5 \\ f(B)=12-2=10 \end{cases}  \Rightarrow c的最小值為\bbox[red, 2pt]{-5}$$

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解

$$\cos \angle BAD= {\overline{AD}^2+ \overline{AB}^2-\overline{BD}^2 \over 2\times \overline{AD}\times \overline{AB}} \Rightarrow \cos 135^\circ={4+2-\overline{BD}^2 \over 2\times 2\times \sqrt 2} \Rightarrow -{1\over \sqrt 2}={6- \overline{BD}^2 \over 4\sqrt 2}\\ \Rightarrow \overline{BD}=\sqrt {10}\Rightarrow  \begin{cases}\overline{OB}= m\\ \overline{OD}=\sqrt{10}-m \end{cases} \Rightarrow  \overline{AO}^2 =\begin{cases} \overline{AB}^2-\overline{OB}^2 = 2-m^2\\ \overline{AD}^2-\overline{OD}^2 = 4- (\sqrt{10}-m)^2\end{cases}  \\  \Rightarrow 2-m^2= 4- (\sqrt{10}-m)^2 \Rightarrow m={4\over \sqrt{10}}  \Rightarrow \overline{AO}^2= \overline{AB}^2-m^2=2-{16\over 10}= {4\over 10}\\  \Rightarrow \overline{AO}= {2\over \sqrt{10}} \Rightarrow  \overline{AC}= {4\over \sqrt{10}} = \bbox[red, 2pt]{2\sqrt{10} \over 5}$$

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解 

$$\begin{cases}A(1,7,2)\\ B(2,-6,3) \\ C(0,-4,1)\\ 交點P\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \overline{BC}直線方程式: {x-2\over -2}={y+6\over 2}={z-3\over -2}\Rightarrow P=(t+2,-t-6,t+3),t\in R \\ \overrightarrow{BC}=(-2,2,-2) \\ \overrightarrow{AP}=(t+1,-t-13,t+1) \end{cases}\\  \Rightarrow \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BC}=0 \Rightarrow (t+1,-t-13,t+1) \cdot (-2,2,-2)=0 \Rightarrow t+1+t+13+t+1=0\\ \Rightarrow 3t+15=0 \Rightarrow t=-5 \Rightarrow P=(-5+2,5-6,-5+3) = \bbox[red, 2pt]{(-3,-1,-2)}$$

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$$假設該等腰梯形ABCD(如上圖)在平面坐標上，其原點O為\overline{AB}之中點，\\則該梯形各頂點坐標為\begin{cases} A(2,0)\\ B(-2,0)\\ C(-3,-14) \\ D(3,-14)\end{cases} \Rightarrow 拋物線方程式為為 y=a(x-2)(x+2)，\\將D代入可得 -14=a\times 1\times 5 \Rightarrow a=-{14\over 5} \Rightarrow y=-{14\over 5}(x^2-4) \Rightarrow x^2=-{5\over 14}y+4\\ \Rightarrow x^2=4\times -{5\over 56}(y-{56\over 5}) \Rightarrow 焦距為\left| -{5\over 56}\right|=\bbox[red, 2pt]{5\over 56}$$

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解

$$\overline{QT}=2\sqrt 3 \Rightarrow \overline{OQ}= \sqrt 3\\ \overline{PO}\bot \overline{OQ} \Rightarrow \overline{PO}=\sqrt {\overline{PQ}^2-\overline{QO}^2}= \sqrt{4-3}=1 \Rightarrow \angle QPO = 60^\circ  \Rightarrow \angle QPT = 120^\circ \\\Rightarrow \begin{cases}扇形PQST面積= {120^\circ \over 360^\circ}\times \overline{PQ}^2 \times \pi = {4\over 3}\pi \\ \triangle PQT面積= \overline{QT}\times \overline{PO} \div 2= \sqrt 3 \\ 半圓QRT面積= \overline{QO}^2\times \pi \div 2= {3\over 2}\pi\end{cases}\\  \Rightarrow 灰色面積=半圓QRT面積-(扇形PQST面積-\triangle PQT面積)= {3\over 2}\pi-({4\over 3}\pi-\sqrt 3)\\ ={1\over 6}\pi +\sqrt 3 \Rightarrow  \bbox[red, 2pt]{\begin{cases}a =1/6 \\b=3\end{cases}}$$

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-- END --