103學年度臺北市聯合轉學考-高中升高二-數學科詳解

臺北市高級中等學校 103 學年度聯合轉學考招生考試
升高二數學科試題

一、單選題

解：
$$\sqrt{x^2+{1\over x^2}+2}= \sqrt{(x+{1\over x})^2} =\left| x+{1\over x}\right| =\left| \sqrt 3-2+{1\over \sqrt 3-2}\right| \\=\left| \sqrt 3-2+{\sqrt 3+2\over (\sqrt 3-2)(\sqrt 3+2)} \right| = \left| \sqrt 3-2-\sqrt 3-2\right|=|-4|=4， 故選：\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$|x-7|<a 有5個整數解 \Rightarrow x-7=-2,-1,0,1,2 \Rightarrow a=3， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$(A)最多為六次\\(B)最多為六次\\(C)餘式最多為四次(可能三、二、或一次)\\(D) f(x)=p(x)(3x+4)+6 = 3p(x)(x+{4\over 3})+6  \Rightarrow 餘式仍為6\\(E)f(x)=(2x-3)q(x) = (6x-9){1\over 3}q(x)\\， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$(A)\bigcirc: \begin{cases} a=((a-b)+(a+b)) \div 2 \\ b= ((a+b)-(a-b)) \div 2 \end{cases} \Rightarrow a,b均為有理數\\(B)\times: \begin{cases} a=\sqrt 3 \\ b= -\sqrt 3 \end{cases} \Rightarrow a+b=0 為有理數\\(C)\times: b=0 \Rightarrow ab=0為有理數\\(D) \times: (\sqrt 2)^2=2為有理數,但\sqrt 2不是有理數\\(E) \times: \begin{cases} a=-4 \\ b= \sqrt 2 \end{cases} \Rightarrow a+b\sqrt 2=0,ab\ne 0\\， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$(x+1)(x-4)\ge 0 \Rightarrow x\ge 4或x\le -1\\ (A)\times: (x+1)(4-x)\ge 0 \Rightarrow (x+1)(x-4)\le 0 \Rightarrow -1\le x \le 4\\(B)\times: { (x+1) \over (x-4)} \ge 0 \Rightarrow x\ne 4\\(C)\bigcirc: (x+1)(x-4)(x^2-2x+3) = (x+1)(x-4)((x-1)^2+2) \ge 0 \Rightarrow (x+1)(x-4)\ge 0\\(D) \times: (x+1)^2 (x-4)\ge 0 \Rightarrow x-4\ge 0\\(E) \times: (x+1)(-2x+8)\ge 0 \Rightarrow (x+1)(x-4)\le 0\\， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$f(x)=4^x-3\cdot 2^{x+1}+5 = (2^x)^2-6\cdot 2^x+5 = (2^x-5)(2^x-1)\\ \Rightarrow f(1)=(-3)\times 1=-3為最小值， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$\begin{cases}\log 3^{10}=10\log 3= 10\times 0.4771=4.771 \\ \log 2^{16} =16\log 2 = 16\times 0.301 = 4.816 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} 3^{10}為5位數 \\  2^{16} 為5位數 \end{cases}\Rightarrow a= 3^{10}+2^{16}為5位數或6位數\\ {3^{10}+2^{16}\over 2} \ge \sqrt{3^{10}\times 2^{16}} \Rightarrow a\ge 2\sqrt{3^{10}\times 2^{16}} \Rightarrow \log a \ge \log\left( 2\sqrt{3^{10}\times 2^{16}} \right) \\= \log 2+{1\over 2}(10\log 3+16\log 2) = 0.301+{1\over 2}(10\times 0.4771+ 16\times 0.301) =5.0945\\  \Rightarrow a為6位數， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$a_n=a_1+(n-1),n\ge 2 \Rightarrow \begin{cases}a_1+a_2=2a_1+1 \\ a_2+a_4=(a_1+1)+(a_1+3)=2a_1+4\\ a_3+a_5= (a_1+2) +(a_1+4) =2a_1+6 \end{cases} \\ \Rightarrow (a_2+a_4)^2 = (a_1+a_2)(a_3+a_5)  \Rightarrow (2a_1+4)^2 = (2a_1+1)(2a_1+6)\\ \Rightarrow 4a_1^2+16a_1+16=4a_1^2+14a_1+6 \Rightarrow a_1=-5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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9. 為因應風潮，台鐵決定將開往動物園的電聯車漆上可愛動物圖案。電聯車共有7 節車廂，由左至右分別編號為第 1 至第 7 車廂，現在打算將其中三節車廂分別漆上貓熊、企鵝、馬來貘圖案，且馬來貘圖案的車廂編號必須是這三節中編號最大的；除此之外，剩下四節車廂則漆上相同的無尾熊圖案。請問安排這 7節車廂圖案順序的方法共有多少種？

(A) 68

(B) 70

(C) 136

(D) 1680

(E) 2450

解：
$$7節車廂選3節來漆貓熊、企鵝、馬來貘圖案，共有C^7_3=35種選法，\\其中馬來貘圖案的車廂編號已經固定(最大號)，剩下兩種動物圖案有2 種漆法，\\一共有35\times 2=70，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\left( x-{2\over x}\right)^7= \sum_{n=0}^7 C^7_nx^n(-{2\over x})^{7-n} \Rightarrow x^5的係數(n=6)= C^7_6\cdot (-2) = -14，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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11. 設甲袋內有紅球 1 個、白球 2 個；乙袋內有紅球 2 個、白球 1 個。今先從甲袋中取出一球放入乙袋，再從乙袋中取出一球放回甲袋，稱之為一局。求一局操作完後， 甲袋恰有紅球 1 個、白球 2 個的機率為何？

(A) 1/3  (B) 2/9  (C) 4/9  (D) 1/12  (E) 7/12

解：
$$依題意一局操作後與原狀態相同，即從甲取出一球放入乙，再從乙取出相同的球放回甲，\\ 共有兩種情況: \begin{cases} 從甲取出紅球放入乙，再從乙取出紅球放回甲,機率為{1\over 3}\times {3\over 4} = {1\over 4} \\ 從甲取出白球放入乙，再從乙取出白球放回甲,機率為{2\over 3}\times {2\over 4} = {1\over 3}\end{cases}\\ \Rightarrow 機率為{1\over 4}+{1\over 3} ={7\over 12}，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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12. 小春、 小夏兩人一同參加路跑活動，在路跑結束後有個抽獎，從 100 位路跑參與者中抽出 3 位幸運兒，贈送知名品牌運動套裝。 已知小夏被抽中的情況下，則小春也被抽中的機率為下列何者？

(A)2/33  (B) 2/99  (C) 3/100 (D) 1/1650  (E) 200/297

解：

$$100抽3，其中一定要有小夏，相當99取2的次數，即C^{99}_2；\\100抽3，其中一定要有小夏及小春，相當98取1的次數，即C^{98}_1；\\因此所求之機率為C^{98}_1\div C^{99}_2 = 2/99，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$數字變化大的標準差大，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

$$(A)\times: 水平線的相關係數不是1\\(B) \times: r=1與r=-1相關程度是一樣的\\ (C)\times: 相關係數與迴歸直線斜率並不相同\\(D)\times: 若r=1 \Rightarrow -6r=-6超出相關係數範圍\\(E) \bigcirc: r與m正負號相同\\，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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二、多重選擇題

解：

$$(A)\bigcirc: P^{179}_6 ={179! \over 173!} = 179\times 178 \times 177\times 176\times 175 \times 174,其中177與174皆為3的倍數 \\\qquad \Rightarrow P^{179}_6 為9的倍數\\(B) \times: 2^{99}的質因數中只有2\\(C) \bigcirc: 372^3+528^3=(372+528)(372^2-372\cdot 528+528^2) = 900(372^2-372\cdot 528+528^2)\\ (D) \bigcirc: 8^{25}+1 =(8+1)(8^4-8^3+8^2-8+1)為9的倍數\\(E) \bigcirc: 10^{84}+215  \Rightarrow 各位數數字相加=1+2+1+5=9 \Rightarrow 10^{84}+215為9的倍數\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)}$$

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解： $$(A)\times: f(i+1)=0 \Rightarrow f(-i+1)=0, 不是f(i-1)=0\\ (B)\bigcirc: \begin{cases} f(1)<0 \\ f(\sqrt 5)>0 \end{cases} \Rightarrow 有一整數根\alpha 且1<\alpha <\sqrt 5 \Rightarrow \alpha=2\\(C) \bigcirc: 兩虛根為1\pm i及一實根2\\(D) \bigcirc: f(x)= (x-1-i)(x-1+i)(x-2) = (x^2-2x+2)(x-2) ={1\over 3}(3x^2-6x+6)(x-2)\\(E) \times: 令g(x)=f(x)-x為三次式，至少有一實根，即g(x)=0 =f(x)-x \Rightarrow f(x)=x\\，故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}$$

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解：
$$(A)\bigcirc: y=10^x \xrightarrow{x,y互換}x=10^y \equiv y=\log_{10}x \Rightarrow 對稱y=x\\(B) \times: 兩圖形:\begin{cases} y= \log_{10}x \\ y=x \end{cases}無交點 \Rightarrow \log_{10}x = x無實數解\\(C) \times: 理由同(B)\\(D) \bigcirc: 圖形y=\log_{10}x 在y=x^2的下方，所以\log_{10}x<x^2\\(E) \times: 兩圖形皆在y軸的右側，不可能對稱y軸\\，故選\bbox[red,2pt]{(AD)}$$

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解：
$$S(n)= \sum_{k=1}^n a_k = -n^2+16n+17 = -(n-17)(n+1)\\(A) \times: a_1=S(1)=16\times  2=32\\ (B) \times: a_2= S(2)-S(1) = (15\times 3)-32=13\\(C) \bigcirc: 令\begin{cases} m=1995 \\ n=2013 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} S(2012) = -1995 \times 2013 =-mn\\S(2013) = -1996\times 2014 = -(m+1)(n+1) \\ S(2014) = -1997\times 2015 =-(m+2)(n+2)\end{cases} \\ \Rightarrow  \begin{cases} a_{2014} = S(2014)-S(2013) = -(m+2)(n+2)+(m+1)(n+1) =-(m+n)-3\\ a_{2013}= S(2013)-S(2012) =-(m+1)(n+1)+mn = -(m+n)-1 \end{cases} \\ \Rightarrow a_{2014} =a_{2013} -2\\(D) \times: a_3=S(3)-S(2) = 14\times 4-15\times 3=11 \Rightarrow  \begin{cases}a_1=32 \\ a_2=13 \\a_3=11\end{cases} \Rightarrow (a_3-a_2)\ne (a_2-a_1)\\(E) \bigcirc: \sum_{k=1}^{18}= S(18) = -1\times 19 <0\\，故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}$$

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解： $$(A)\times: A、B並非獨立事件，故不能保證P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\\(B) \bigcirc: A、B為互斥事件 \Rightarrow A\cap B= \emptyset \Rightarrow P(A\cap B)=0 \ne P(A)\cdot P(B) \Rightarrow A、B相關\\(C) \bigcirc: P(A'\cap B')=1-P(A\cup B) =1-(P(A)+P(B)-P(A\cap B)) \\=1-(P(A)+P(B)-P(A)P( B)) = 1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) = (1-P(A))(1-P(B))\\ =P(A')P(B') \Rightarrow P(A'\cap B')= P(A')P(B') \Rightarrow A'、B' 亦為獨立\\(D) \times:  A、B為獨立事件 \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B) 不一定為0，即不一定互斥\\(E) \times: 獨立並不符遞移律\\，故選\bbox[red,2pt]{(BC)}$$

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解題僅供參考