109學年度四技二專統測--數學(A)詳解

109學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統一入學測驗試題本數學(A)詳解

1. 若在 1 和 2 之間插入二個數，使其成等比數列，則這二個數的乘積為何？

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

解：
$$\cases{首項a \\ 公比r\\ 插入的二數分別為x,y} \Rightarrow \cases{a=1 \\ ar= x \\ ar^2 = y \\ ar^3 = 2} \Rightarrow xy= ar\times ar^2 = a^2r^3=1\times 2=2， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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2. 由 5 位三年級、 4 位二年級、 3 位一年級的學生組成一糾察隊。 今欲從此隊的學生中任選一位當隊長，若每位學生被選到的機會均等，則隊長為二年級學生的機率為何？
(A)1/12  (B) 1/5  (C) 1/4  (D) 1/3
解： $$\cfrac{二年級學生數}{所有學生數} =\cfrac{4}{5+4+3}= \cfrac{4}{12}=1/3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$利用長除法 \Rightarrow f(x)=3x^3-7x^2+4x-6 = (3x^2-x+2)(x-2)-2 \\=((x-2)(3x+5)+12)(x-2)-2 \\ = (3x+5)(x-2)^2+12(x-2)-2 = (3(x-2)+11)(x-2)^2+12(x-2)-2 \\ =3(x-2)^3 +11(x-2)^2 +12(x-2)-2 \equiv a+ b(x-2)+c(x-2)^2 +d(x-2)^3 \\ \Rightarrow \cases{a=-2 \\ b=12 \\ c=11 \\ d=3} \Rightarrow a-b-c-d=-2-12-11-3=-28，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$f(x)=q(x)(x-{1\over 3})+r \Rightarrow 6f(x)=q(x)(6x-2)+6r \Rightarrow f(x)={1\over 6}q(x)(6x-2)+r \\ \Rightarrow \cases{商式={1\over 6}q(x) \\ 餘式=r}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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5. 某班有 30 位學生，其中 20 位男生、 10 位女生。今任選二位擔任班長和副班長，若規定其中一位是男生，另一位是女生，則共有幾種選法？

(A) 200 (B) 400 (C) 435 (D) 870

解：

$$\cases{班長是男生,副班長是女生有C^{20}_1C^{10}_1=200種選法\\ 班長是女生,副班長是男生有C^{20}_1C^{10}_1=200種選法} \Rightarrow   共有 200+200=400種選法，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$  

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解： $$f(x)=2x^3 +x^2-7x-6 = (x+1)(2x^2-x-6) = (x+1)(2x+3)(x-2)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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7. 某校舉辦新生盃網球個人賽，比賽採單淘汰制，也就是比賽一場輸的就淘汰，勝的晉級到下一輪比賽。若有 32 位新生參加比賽，則共要舉辦多少場比賽，才會產生冠軍？
(A)31  (B) 32 (C) $\cfrac{32\times 31}{2}$  (D) $32\times 31$
解：
第1輪要辦32/2=16場比賽，第2輪要辦16/2=8場比賽，第3輪要辦8/2=4，第4輪要辦4/2=2場比賽，最後要辦一場決賽，共舉辦1+2+4+8+16 = 31場比賽，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$-1< x< 2 \Rightarrow (x+1)(x-2) < 0 \Rightarrow x^2-x-2< 0 \Rightarrow -2x^2+2x+4 >0 \\ \Rightarrow \cases{a=-2\\ b=4} \Rightarrow (x-a)(x-b)=(x+2)(x-4)=0 \Rightarrow x^2-2x-8=0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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9. 某次模擬考有 10000 人參加，若小明的百分等級是 95，則小明的排名會在下列哪個區間？
(A) [ 401 , 500 ] (B) [ 501 , 600 ] (C) [ 9401 , 9500 ] (D) [ 9501 , 9600 ]
解：
領先95%的人，即領先9500人，因此小明的排名在1000-9500=500之前，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$(A) \times: 9,10,11,16,17,18,23,24,25顯然不是等差數列\\ (B) \bigcirc: \cases{a_1=9\\ a_4=16 \\ a_7= 23} \Rightarrow {a_1+a_7 \over 2} ={9+23 \over 2}=16 = a_4 \\(C) \bigcirc: a_1+\cdots +a_9=153 = 9\times 17 =9a_5 \\(D)\bigcirc: \cases{a_1+a_5+a_9=9+17+25=51 \\ a_3+a_5 +a_7 =11+17+23=51}\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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11. 某班期中考的數學成績平均分數為 48 分，標準差為 8 分。今將每人的分數都乘以 a 再加2 分，若調整後成績的標準差為 10 分，則調整後成績的平均分數為幾分？

(A) 58 (B) 60 (C) 62 (D) 64

解：
$$\cases{\sigma(X)=8 \\ \sigma(aX+2)=10} \Rightarrow 8a=10 \Rightarrow a=5/4 \Rightarrow \mu(aX+2)= a\mu(x)+2 = {5\over 4} \times 48+2 =62\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\cases{m_1= {3-(-3) \over 1/2-7/2} =-2 \\ m_2=1/3 \\ m_3=0} \Rightarrow m_2> m_3 >m_1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\log_{10}(x-5)-2\log_{(x-5)}10=1 \Rightarrow \log_{10} (x-5)-2\cfrac{\log_{10}10}{\log_{10}(x-5)} =1 \Rightarrow \log_{10} (x-5)-\cfrac{2}{\log_{10}(x-5)} =1 \\ \Rightarrow \left(\log_{10}(x-5) \right)^2 -\log_{10}(x-5)-2=0 \Rightarrow (\log_{10}(x-5)-2)(\log_{10}(x-5)+1)=0  \\ \Rightarrow \cases{\log_{10}(x-5)= 2\\ \log_{10}(x-5)= -1} \Rightarrow \cases{x-5=10^2=100 \\ x-5=10^{-1}=1/10} \Rightarrow \cases{x=105\\ x=51/10} \Rightarrow 2\alpha\beta = 2\times 105 \times \cfrac{51}{10} \\ =21\times 51=1071，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$正弦定理: \cfrac{\overline{BC}}{\sin A}=2R \Rightarrow \cfrac{8}{4/5}=10=2R \Rightarrow R=5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$餘弦定理: \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta =2\times 3\times \cos 60^\circ=3 \Rightarrow (3\vec a-\vec b) \cdot (\vec a+2\vec b)=3|\vec a|^2+5\vec a\cdot \vec b-2|\vec b|^2 \\ =3\times 2^2+5\times 3-2\times 3^2 = 12+15-18=9，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A(-2,7)至直線3x-4y=6的距離為h=\left| \frac{-6-28-6}{\sqrt{3^2+4^2}}\right| =8\\ \triangle ABC面積=\overline{BC}\times h\div 2=16 \Rightarrow \overline{BC} =16\times 2\div 8=4，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\cases{A(5,2) \\ B(-1,-6)} \Rightarrow \cases{圓心O為A,B的中點\Rightarrow O({5-1\over 2},{2-6 \over 2})=(2,-2) \\ 半徑r={1\over 2}\overline{AB}= {1\over 2}\sqrt{6^2+8^2}=5}\\ \Rightarrow 圓方程式: (x-2)^2+(y+2)^2=5^2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\cases{\sin{8\pi \over 3} =\sin({8\pi \over 3}-2\pi) =\sin{2\pi \over 3} = {\sqrt 3\over 2} \\ \cos(-{\pi \over 6})= {\sqrt 3\over 2} \\ \tan{13\pi\over 4} =\tan({13\pi\over 4}-2\pi) =\tan{5\pi\over 4} =1} \Rightarrow \sin{8\pi \over 3}+ \cos(-{\pi \over 6}) +\tan{13\pi\over 4} ={\sqrt 3\over 2}+{\sqrt 3\over 2}+1\\=1+\sqrt 3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$ 。

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解： $$\cases{火(0,0)\\ 甲(-2,-5) \\ 乙(4,7) \\丙(x,y) \\ \overline{甲丙}:\overline{丙乙}=2:1} \Rightarrow \cases{x={2\times 4-2\over 2+1} =2\\ y={2\times 7-5\over 2+1} =3} \Rightarrow \overline{火丙}= \sqrt{2^2+3^2} =\sqrt{13}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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20. 某超商舉辦買飲料電腦抽獎活動，獎項分別有任 2 瓶 1 元、 任 2 瓶 49 折、 任 2 瓶 59 折、任 2 瓶 69 折、任 2 瓶 79 折、任 2 瓶 89 折。由於大家都不知道各獎項的中獎比例，因此某人號召參加抽獎的網友告知抽到的獎項。統計 100 次抽獎的結果如圖(一)。 事後又

再統計另外 50 次抽獎的次數分配表如表(二)，則此 150 次抽獎的統計結果， 任 2 瓶 79 折

的百分比為多少？

解：
$$\cases{100人的結果:60\% =60次\\ 50人的結果: 36次} \Rightarrow 150人的結果:60+36=96次，比率為{96\over 150} = {32 \over 50}= 64\% \\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\cases{y=2^x \\ y=2^x+3} \Rightarrow \cases{x=\log_2 y \\ x=\log_2 (y-3)} \Rightarrow \log_2 y-\log_2 (y-3)=4 \Rightarrow \log_2 {y\over y-3}=4 \\ \Rightarrow {y \over y-3 }=2^4=16 \Rightarrow y=16y-48 \Rightarrow 15y=48 \Rightarrow y={16 \over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$該聯立不等式形成的封閉區間(如上圖)各頂點坐標\cases{A(0,3) \\ B(2/3,2) \\ C(1,0) \\ O(0,0)}，並令f(x,y) =5x+2y \\\Rightarrow \cases{f(A)=6 \\ f(B)=22/3 \\ f(C)=5 \\ f(O)=0} \Rightarrow 最大值為22/3，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解： $$f(x)=-2\sin^2x -\sin x+2 = -2(\sin^2 x+{1\over 2}\sin x+({1\over 4})^2)+{1\over 8}+2 = -2(\sin x+ {1\over 4})^2+{17\over 8} \\ \Rightarrow 當\sin x= -{1\over 4}時,f(x)有最大值{17\over 8}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$令\overline{AB}交Y軸於C點，見上圖；因此\angle AOC = 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ \Rightarrow \angle AOB= 57^\circ +63^\circ = 120^\circ；\\由餘弦定理 \cos \angle AOB = \cfrac{\overline{OA}^2 +\overline{OB}^2 -\overline{AB}^2}{2\times \overline{OA}\times \overline{OB}} \Rightarrow \cos 120^\circ = \cfrac{450^2+750^2 -\overline{AB}^2}{2\times 450 \times 750} \\ \Rightarrow \overline{AB}^2 = 450^2+750^2+\cfrac{1}{2}\times 2\times 450\times 750= (750+450)^2-750\times 450 \\ = 1200^2-337500 =1050^2 \Rightarrow \overline{AB}=1050，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$3\le |2x-1| \le 12 \Rightarrow \cases{3\le 2x-1 \le 12 \\ -12\le 2x-1 \le -3} \Rightarrow \cases{ 2 \le x\le 13/2 \\ -11/2 \le x \le -1} \Rightarrow x=\cases{2,3,\dots,6\\ -5,-4,\dots ,-1} \\ \Rightarrow 共有5+5=10個整數解，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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