109學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗試題本數學(S)詳解
$$(a,b)在第二象限\Rightarrow \cases{a<0 \\ b>0} \Rightarrow \cases{a^2>0 \\ -b<0} \Rightarrow (a^2,-b)在第四象限， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：$$\cases{(a,b)\cdot (2,1)=0 \\(a,b)=(4,1)+k(1,4)=(4+k,1+4k)} \Rightarrow (4+k,1+4k)\cdot (2,1)=0 \Rightarrow 8+2k+1+4k=0 \\ \Rightarrow 6k+9=0 \Rightarrow k=-3/2 \Rightarrow (a,b)=(4-3/2,1-6)=(5/2,-5) \Rightarrow a+b=-5/2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：$$當x,y皆為正值，則5x+3y+7 >0 ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：$$x^2-x-2<0 \Rightarrow (x-2)(x+1)<0 \Rightarrow -1 <x < 2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：
$$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow x={3\pi \over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$
解：$$(2x^3+x^2-x-1)(3x^2-x+3) \\= 6x^5-2x^4+6x^3+3x^4-x^3+3x^2-3x^3+x^2-3x-3x^2+x-3 \\=6x^5+x^4+2x^3+x^2-2x-3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$
解：
$$小明家剛好就是三家便利商店的外接圓圓心，也就是\overline{AB}的中垂線與\overline{BC}中垂線的交點\\，即\overline{DF}=600\div 2=300, \overline{BF}=800\div 2=400 \Rightarrow \overline{DB}=\sqrt {300^2+400^2}=500，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：
$$包含A與B的最小長方形為2\times 2，高度為2的長方形共有6個，高度為3的也有6個，\\共有12個，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$
解：$$\cases{\sin \alpha=4/5 \\ \sin \beta=5/13} \Rightarrow \cases{\cos \alpha=3/5 \\ \cos \beta=12/13} \Rightarrow \cos(\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin\beta \\={3\over 5}\times {12\over 13} + {4\over 5}\times {5\over 13} ={36+20 \over 65} ={56\over 65}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：
$$C\left({3\times (-5)+3\over 3+1},{3\times 3-1\over 3+1} \right) =(-3,2)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：$$\cases{P(X<68)=160/1000= 16\% \Rightarrow 68=\mu-\sigma\\ P(X>92)=25/1000= 2.5\% \Rightarrow 92=\mu+2\sigma} \Rightarrow \cases{\sigma=8 \\ \mu=76}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
解：$$挑選數值變化較大者 ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：$$三顆球編號之和大於12的情形:(2,5,6), (3,4,6), (3,5,6), (4,5,6)，共4種情形；\\6球取3球有C^6_3=20種情形，因此機率為{4\over 20} ={1\over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
解：$$1元硬幣有5種出法(0-4元)、十元硬幣有7種出法(0,10,20-60)、一百元鈔有3種出法(0,100,200)\\，因此共有5\times 7\times 3=105種出法，需扣除0元(每種鈔票都不出)，共有104種可能，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：$$f(x)=x^3-7x^2-kx+21 \Rightarrow f(3)=0 \Rightarrow 27-63-3k+21=0 \Rightarrow k=-5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
解：$$餘弦定理: \cos \angle A= {\overline{AC}^2 +\overline{AB}^2-\overline{BC}^2 \over 2\times \overline{AB}\times \overline{AC}} \Rightarrow {5\over 6}={225+256-\overline{BC}^2 \over 2\times 15\times 16} \Rightarrow \overline{BC}^2=81 \Rightarrow \overline{BC}=9\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$
解：
$$圓心O在x+4y-1=0上 \Rightarrow O(1-4t,t),t\in R \Rightarrow \overline{OA}= \overline{OB} \\\Rightarrow (1+4t)^2+(t+4)^2 = (3+4t)^2 + (t-2)^2 \Rightarrow 16t+17=20t+13 \Rightarrow t=1 \\ \Rightarrow O(1-4,1) =(-3,1)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$
解：$$3x^2+5x-2=0 \Rightarrow (3x-1)(x+2)=0 \Rightarrow \cases{x=1/3=\sin \theta\\ x=-2} \Rightarrow \cos \theta= 2\sqrt 2/3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：
$$\cases{A(0,0)\\ B(1,0) \\ C(1,1) \\D(0,1)} \Rightarrow \cases{(A)\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}= (1,1)\cdot (1,0)=1 \\(B)\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}= (1,1)\cdot (-1,1)=0 \\(C)\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD}= (1,1)\cdot (-1,0)=-1 \\(D) \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DA}= (1,1)\cdot (0,-1)=-1} \Rightarrow (A)最大，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：
$$餘弦定理: \cos \angle A= {\overline{AC}^2 +\overline{AB}^2-\overline{BC}^2 \over 2\times \overline{AB}\times \overline{AC}} \Rightarrow \cos 135^\circ = {80000+160000-\overline{BC}^2 \over 160000\sqrt 2} \\\Rightarrow -{1\over \sqrt 2}= {240000-\overline{BC}^2 \over 160000\sqrt 2} \Rightarrow \overline{BC}^2 =400000 \Rightarrow \overline{BC}=200\sqrt{10}\\ \Rightarrow 平均速度=200\sqrt{10}\div 10=20\sqrt{10}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：$$\log x=\log (3^{20}\times 5^{30}) = 20\log 3+30\log 5 =20\times 0.4771+30(1-0.301)= 30.512\\ \Rightarrow x為30+1=31位數，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：$$由題意知:\cases{標格=15甲+10乙\\ A營養素=30甲+10乙\\ B營養素=10甲+20乙}\\ (A)\cases{甲0\\ 乙9} \Rightarrow \cases{標格=90 \\ A營養素= 90\\ B營養素=180}\\ (B)\cases{甲8\\ 乙0} \Rightarrow \cases{標格=120 \\ A營養素= 240\\ B營養素=80}\\ (C)\cases{甲2\\ 乙3} \Rightarrow \cases{標格=60 \\ A營養素= 90\\ B營養素=80}\\ (D)\cases{甲3\\ 乙2} \Rightarrow \cases{標格=65 \\ A營養素= 110\\ B營養素=70(不符)}\\ (A)(B)(C)均符合要求，但(C)價格最低，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：$$\triangle ABC面積={1\over 2}\times \overline{AB} \times \overline{AC}\sin \angle A \Rightarrow {1\over 2}\times 5\times 8 \times \sin \angle A=10 \Rightarrow \sin \angle A={1\over 2} \\ \Rightarrow \angle A=30^\circ \Rightarrow 2\angle A=60^\circ \Rightarrow \cos 2\angle A= \cos 60^\circ ={1\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：
$$(A)y=10^x \xrightarrow{x,y互換}x=10^y \Rightarrow y=\log_{10} x \Rightarrow 與y=x對稱 \\(B) y=10^x-10為y=10^x向下平移 \\(D) y=100^{x/2} =10^x\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
25. 大雄參加銀行儲蓄存款，每年年初存入 1000 元，已知年利率 10 %，每年複利一次，試求至第 10 年年底的本利和為多少元？
(A) 17470 (B) 17490 (C) 17510 (D) 17530
解：
$$\sum_{r=1}^{10}1000(1+10\%)^r =1000\sum_{r=1}^{10}1.1^r= 1000\times {1.1(1-1.1^{10})\over 1-1.1} = 11000(1.1^{10}-1) \\=11000(2.59-1) =11000\times 1.59=17490，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$註:考卷所附資料: \(1.1^{10}=2.59\)，若用計算機，會得到答案(D)。
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