109學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗試題本數學(B)詳解
$$\sin 2\theta={1\over 2} \Rightarrow 2\sin \theta\cos \theta={1\over 2} \Rightarrow \sin\theta \cos\theta= {1\over 4} \Rightarrow (\sin \theta+\cos \theta)^2\\ = 1+2\sin \theta\cos \theta= 1+2\times {1\over 4}= {3\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：$$\cases{\sin \theta<0 \\ \cos\theta<0 } \Rightarrow \pi <\theta < {3\over 2}\pi，故選\bbox[red,2pt]{(C)} $$
3. 某一個電腦的過關遊戲中，從據點A到據點C必須經過據點B。若從據點A 到據點B 可以
選擇的路徑有 2 條，從據點 B 到據點 C 可以選擇的路徑有 3 條，則從據點 A 到據點 C 有
幾種走法？
(A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 9
解：$$2\times 3=6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：$$f(x)=x+\pi^2 \Rightarrow f'(x)=1+0=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解：$$\cases{\sin \theta={\sqrt 7\over 4} \Rightarrow \cos \theta=\pm {3\over 4}\\ {\pi \over 2} < \theta < \pi \Rightarrow \cos \theta <0} \Rightarrow \cos \theta=-{3\over 4}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
6. 已知甲、乙兩人同時投資不同股票且兩人的投資互不影響。 若甲的獲利機率為 0.5，乙的獲利機率為 0.8，則兩人同時獲利的機率為何？
(A) 0.8 (B) 0.65 (C) 0.5 (D) 0.4
解：$$0.5\times 0.8=0.4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：$$-1\le x\le 5 \Rightarrow (x+1)(x-5) \le 0 \Rightarrow x^2-4x-5\le 0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
8. A 公司提供的免費午餐有素食及葷食二種選擇。根據某員工在公司的用餐習慣，用素食
的隔天再用素食的機率為 0.8， 而用葷食的隔天用素食的機率為 0.5。若該員工星期二用葷食，則星期四用素食的機率為何？
(A) 0.25 (B) 0.4 (C) 0.64 (D) 0.65
解：
$$\cases{P(葷→葷→素)= 0.5\times 0.5=0.25\\ P(葷→素→素)= 0.5\times 0.8=0.4} \Rightarrow 0.4+0.25=0.65，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
解：$$\cases{P(X\ge \mu+2\sigma)= 0.5-0.34-0.135=0.025 \\85=65+20 = \mu+2\sigma} \Rightarrow P(X\ge 85)=0.025 \\\Rightarrow 成績高於85的人數為3600\times 0.025 =90 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
10. 已知某班學生期中考數學科平均成績為 45 分。若老師將每位學生數學科成績加 20 分，則該科的統計資料中平均數、中位數、眾數、標準差在下列敘述中何者正確？
(A) 僅平均數加 20 分
(B) 僅平均數、中位數加 20 分
(C) 僅標準差未加 20 分
(D) 全部都加 20 分
解：$$平均數、中位數、眾數都增加20，標準差不變，故選\bbox[red,2pt]{(C\)}。$$
解：$$(a+{1\over a})=2 \Rightarrow (a+{1\over a})^2= a^2+{1\over a^2}+2 =4 \Rightarrow a^2+{1\over a^2}=2 \\\Rightarrow (a+{1\over a})(a^2+{1\over a^2})=2\times 2 =4 \Rightarrow a^3+{1\over a^3}+a+{1\over a}=4 \Rightarrow a^3+{1\over a^3}+2=4 \\ \Rightarrow a^3+{1\over a^3}=2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：$$\cases{A為y=x^2與x=-3的交點\Rightarrow A(-3,9) \\B為y=x^2與x=1的交點\Rightarrow B(1,1)} \Rightarrow \overline{AB}的斜率為 {9-1 \over -3-1}=-2\\ \cases{(A)斜率=-2 \\(B)斜率=-1/2 \\(C) 斜率=1/2 \\ (D)斜率=2}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解：$$f(x)=p(x)(x+1)^3+(x^2-2x+3)= p(x)(x+1)^3+(x+1)^2-4x+2 \\ \Rightarrow (x+1)^2除f(x)的餘式為-4x+2 =ax+b \Rightarrow a+b=-4+2=-2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解：$$\cases{A(0,0) \\B(1,0) \\C(1,1)\\D(0,2)} \Rightarrow \cases{\overleftrightarrow{AB}: y=0 \\ \overleftrightarrow{BC}: x=1 \\ \overleftrightarrow{CD}: x+y=1 \\ \overleftrightarrow{AD}: x=0 \\} \Rightarrow ABCD區域\cases{0\le x \le 1\\ 0\le y\le 2 \\ 0\le x+y\le 2}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
解：$$\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = -b_1\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ c_2 & c_3 \end{vmatrix} +b_2 \begin{vmatrix}a_1 & a_3 \\ c_1 & c_3 \end{vmatrix} -b_3\begin{vmatrix}a_1 & a_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} \\ \Rightarrow \begin{vmatrix}1 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \Rightarrow \cases{a=-2 \\ x=2 \\ b=1 \\ y=-2 \\ c=-1 \\ z=2} \\ \Rightarrow a+b+c+ x+y+z =0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$
解：
$$\int_{-2}^2 (30x^5-16x^7-20x^3)\;dx = \left. \left[ 5x^6-2x^8-5x^4\right] \right|_{-2}^2 = 0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：$${x^2 \over 25}-{y^2 \over 16}=1的漸近線為{x\over 5}=\pm {y\over 4},即y=\pm {4\over 5}x；由於雙曲線與其漸近線不相交，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
解：$$(x-3)^2+ (y-2)^2=1 \Rightarrow \cases{圓心O(3,2) \\ 半徑r=1} \Rightarrow dist(O,L)= {9+8+8\over \sqrt{3^2+4^2}} = 5 > r=1 \\ \Rightarrow 直線L與圓不相交\Rightarrow dist(P,L)=dist(O,L)-r= 5-1= 4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
20. A 學校桌球校隊有甲、乙、丙、丁、戊五位選手，有一天 A 學校桌球校隊與他校進行友誼賽。由於時間關係，只進行單打、雙打比賽各一場，且兩場比賽同時進行。 若任意推出選手參賽(不考慮默契等因素)，則 A 學校可推出的參賽選手名單有多少種？
(A) 12 (B) 30 (C) 125 (D) 243
解：
五位選手挑一位參加單打，有5種選法；剩下四人挑兩人參加雙打，有\(C^4_2=6\)種選法；因此名單有\(5\times 6=30\)種，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：$$x^3-x^2-11x+3 =(x+3)(x^2-4x+1) = (x+3)(x-\alpha)(x-\beta) \Rightarrow \cases{\alpha+\beta=4 \\ \alpha\beta=1} \\ \Rightarrow |\alpha-\beta|^2 =(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta= 4^2-4=12 \Rightarrow |\alpha-\beta|= \sqrt{12}= 2\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解：$$\cases{y=C(x-h)^2為左右對稱的拋物線\\ (-1,4)及(5,4) 在y=4上} \Rightarrow 拋物線的頂點在x={-1+5 \over 2}=2 \Rightarrow h=2\\ 又拋物線經過(-1,4) \Rightarrow 4=C(-1-h)^2=C(-1-2)^2=9C \Rightarrow C={4\over 9}\\ \Rightarrow C+h={4\over 9}+ 2={22\over 9}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：$$\cases{A(3,1)\\ B(2,-3) \\C(7,-1) \\ D(x,y)}\Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB}=(-1,-4) \\ \overrightarrow{AC} =(4,-2) \\ \overrightarrow{CD}= (x-7,y+1)} \Rightarrow \overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{CD} \Rightarrow (-1,-4)+2(4,-2)=(x-7,y+1) \\\Rightarrow (7,-8)=(x-7,y+1) \Rightarrow \cases{x=14 \\ y=-9} \Rightarrow x+y=5，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
24. 某部以“尋寶”為主題的電影中，男主角進到第二道關卡時看到了一扇巨大的鐵門，門邊有 100 個按鈕，每個按鈕都有一個數字，分別是從 1 到 100。牆上有一個過關提示，上面印著： “有一個等差數列，其第 11 項和第 16 項分別為 31 和 56，按下該數列第 20 項數字的按鈕，鐵門就會打開”，則按下哪一個數字的按鈕就會開門？
(A) 65 (B) 76 (C) 83 (D) 99
解：$$\cases{a_{11}=31 \\ a_{16}=56} \Rightarrow \cases{a_1+10d=31 \\ a_1+15d=56} \Rightarrow \cases{a_1=-19 \\d=5} \Rightarrow a_{20}= a_1+19d = -19+19\times 5=76\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$
25. 某甲沿著馬路向正前方一棟大樓直線前進，抬頭看大樓頂端的仰角為 30 度，走了 100 公尺後，第二次抬頭看大樓頂端，此時的仰角為 45 度，則第二次抬頭看大樓時距離大樓還有多遠？$$(A)25(\sqrt 3-1) \qquad (B)50(\sqrt 3+1) \qquad (C)100(\sqrt 3-1) \qquad (D) 100(\sqrt 3+1)$$
解：
$$大樓高\overline{AB}= \overline{AC} = \overline{AD}\div \sqrt 3 \Rightarrow x={x+100 \over \sqrt 3} \Rightarrow (\sqrt 3-1)x=100\\ \Rightarrow x={100\over \sqrt 3-1}={100(\sqrt 3+1) \over 2} = 50(\sqrt 3+1)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
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