109學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗試題本數學(S)補考詳解
$$\overline{AB} =\sqrt{3^2+(5-a)^2}=5 \Rightarrow a^2-10a+9=0 \Rightarrow (a-1)(a-9)=0 \Rightarrow a=1或9， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
解：$$該直線方程式為y-2=2(x+1)，即2x-y+4=0 \Rightarrow 與坐標軸交於(-2,0)及(0,4) \\ \Rightarrow \triangle 面積= 2\times 4\div 2=4，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：$$|2-3x|< 6 \Rightarrow |3x-2|< 6 \Rightarrow -6 < 3x-2 < 6 \Rightarrow -4< 3x < 8 \Rightarrow -{4\over 3} < x < {8\over 3} \\\Rightarrow x=-1,0,1,2，共四個整數解，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：$$假設計程車行駛a公里\Rightarrow 85+5\times {a-1.5 \over 0.25}=155 \Rightarrow a=(155-85)\div 20+1.5=5，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：
$$利用正弦定理:{\overline{BC} \over \sin \angle A}={\overline{AC} \over \sin \angle B} \Rightarrow {\overline{BC} \over 1/3}={6 \over 1/4} \Rightarrow \overline{BC}=8，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：$$\cases{(A)\log_{1\over 2}{1\over 4} ={\log_2 {1\over 4} \over \log_2 {1\over 2}} ={-2\over -1}=2 \\ (B)\log_{1\over 2}1=0 \\(C) \log_{1\over 2} 2 = {\log_2 2 \over \log_2 {1\over 2} }={1\over -1}=-1 \\ (D) \log_{1\over 2} 4 = {\log_2 4 \over \log_2 {1\over 2} }={2\over -1}=-2} \Rightarrow (A)最大，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：
$$利用長除法(見上圖)可得商式為4x^2+x+1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：
$$三直線\cases{y=2x+2 \\ y=-3x+7 \\y=0}的交點為\cases{A(1,4) \\ B(-1,0)\\ C(7/3,0)}\Rightarrow \triangle ABC面積={1\over 2}\times \overline{BC}\times \text{dist}(A,\overline{BC}) \\={1\over 2}\times {10\over 3}\times 4 = {20\over 3}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$
解：$${a\over \sin \angle A} ={b\over \sin \angle B}={c\over \sin \angle C}=2R \Rightarrow \cases{a=2R\sin \angle A \\b=2R\sin \angle B\\ c=2R\sin \angle C} \\\Rightarrow {1\over a}\sin \angle A+ {1\over b}\sin \angle B+ {1\over c}\sin \angle C =1 \Rightarrow {\sin \angle A \over 2R\sin \angle A} +{\sin \angle B \over 2R\sin \angle B} +{\sin \angle C \over 2R\sin \angle C} ={3\over 2R}=1 \\ \Rightarrow R=3/2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$
解：
$$\cases{\vec a=(3,2) \\\vec b=(-2,1)} \Rightarrow \cases{\vec a+\vec b=(1,3) \\ \vec a+\alpha \vec b=(3-2\alpha,2+\alpha)} \Rightarrow (\vec a+\vec b)\cdot (\vec a+\alpha \vec b)=0 \Rightarrow 3-2\alpha+6+3\alpha=0\\ \Rightarrow \alpha=-9，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
解：
$$令\overline{AB}=a \Rightarrow \overline{AC}=\sqrt 3a \Rightarrow \overline{AD} = {\sqrt 3\over 2}a \Rightarrow \overline{BD} =\sqrt{a^2 + 3a^2/4}= {\sqrt 7\over 2}a \\\Rightarrow \sin \angle ABD= (\sqrt 3a /2)/(\sqrt 7 a/2)={\sqrt 3\over \sqrt 7}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
解：
$$令圓心A，半徑r，見上圖，則直角\triangle AED \Rightarrow r^2=(r-36)^2+72^2 \Rightarrow r=90，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：
$$圓C:x^2+y^2=4 \Rightarrow \cases{圓心O(0,0) \\ 半徑r=2} \Rightarrow \text{dist}(O,L)={5\over \sqrt{3^2+4^2}}=1 < r \Rightarrow L與C交二點\\，即D與E(見上圖) ;令與直線L平行的兩直線L'與L''\Rightarrow \cases{L'過圓心O 且與圓交於A,B兩點\\ L''與圓相切於Q點} \\\Rightarrow A、B、Q三點至L的距離皆為1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：$$a_k= C^n_k \Rightarrow {a_4\over a_{n-2}} =6 \Rightarrow {C^n_4 \over C^n_{n-2}}= 6 \Rightarrow {2!\times n(n-1)(n-2)(n-3) \over 4!\times n(n-1)} ={(n-2)(n-3) \over 12}=6\\ \Rightarrow n^2-5n-66=0 \Rightarrow (n-11)(n+6)=0 \Rightarrow n=11，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：$$三個3、兩個6與一個9的排列數為\cfrac{6!}{3!2!}=60，因此機率為1/60，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$
解：$$每人成績加5分，中位數也增加5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
解：
$$圓心O(1,1)至直線L:5x+12y=0的距離\text{dist}(O,L)={5+12 \over \sqrt{5^2+12^2}} ={17\over 13} > 圓半徑r=1\\ \Rightarrow 圓至L的最遠距離={17\over 13}+r={30\over 13}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：
$$此題相當於求兩圖形\cases{y=\cos x \\ y=\log_{10}x} 的交點數；\\\cases{y=\cos x的週期為2\pi且當x=2n\pi(n為整數)時，y=1 \\ y=\log_{10}x為一遞增函數，且過(1,0)，圖形僅在一、四象限};\\又 \cases{\cos 2\pi=1 > \log_{10}2\pi \\ \cos 4\pi=1 < \log_{10}4\pi } \Rightarrow \log_{10} x> \cos x, \forall x \ge 2\pi \Rightarrow 兩圖形交於三點(見上圖)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$
解：
$$1645\times {997 \over 1000}-(500000-1645)\times {3\over 1000} =1645\times {997 \over 1000}+1645\times {3\over 1000}- 500000\times { 3\over 1000} \\ =1645-1500 =145，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$
解：
$$一場比賽有兩人對戰，無論輸贏或平分，兩人得分總和為10；\\假設共有n人參賽 \Rightarrow 共有C^n_2場比賽 \Rightarrow 總得分10C^n_2 =8200 \\\Rightarrow {n(n-1) \over 2}=820 \Rightarrow n^2-n-1640=0 \\ \Rightarrow (n-41)(n+40)=0 \Rightarrow n=41，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：$$4^{n-1} > 100000 \Rightarrow (n-1)\log 4>\log 100000=5 \Rightarrow n={5\over \log 4}+1 ={5\over 2\log 2}+1 \\= {5\over 2\times 0.301}+1 \approx 9.3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：$$3\sin x+ 4\cos x = 5({3\over 5} \sin x+{4\over 5}\cos x) =5(\cos \theta\sin x +\sin \theta\cos x) =5\sin(\theta+x) \\\Rightarrow \cases{最小值=-5 \\ 最大值=5}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：
$$對同弧的圓周角有相同的角度 \Rightarrow \cases{\angle DBC=\angle DAC= 60^\circ \\ \angle BDC= \angle BAC=45^\circ};\\ 在\triangle BCD中，利用正弦定理:{\overline{BC} \over \sin \angle BDC} ={\overline{CD} \over \sin \angle DBC} \Rightarrow {6 \over \sin 45^\circ} ={\overline{CD} \over \sin 60^\circ} \\\Rightarrow \overline{CD} = 6\times {\sin 60^\circ \over \sin 45^\circ} =6 \times {\sqrt 3\over \sqrt 2} =3\sqrt 6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：
$$該封閉區域各頂點坐標分別為\cases{A(0,0) \\ B(3,0) \\C(3,2) \\D(2,3) \\E(0,1)} \Rightarrow \cases{f(A)=-5 \\f(B)=-2 \\f(C)=2 \\f(D) =3 \\f(E)=-3} \Rightarrow 最大值為3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$
解：
$$假設2x^2+10x+k=0的兩根分別為\alpha及\alpha+1 \Rightarrow \cases{\alpha+(\alpha+1)= -10/2 \cdots(1)\\ \alpha(\alpha+1)= k/2 \cdots(2)};\\ 由(1)知\alpha=-3 代入(2) \Rightarrow k/2=(-3)(-3+1)=6 \Rightarrow k=12，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
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