93學年度指定科目考試試題
數學乙
第壹部分:選擇題一、單選題
解:
{{∠EDB+∠DBE=90∘∠ABE+∠DBE=90∘⇒∠EDB=∠ABE¯BE//¯AC⇒∠ABE=∠BAP=π−θ⇒∠EDB=π−θ¯CD=¯CE+¯ED=¯ABsin∠BAP+¯BDcos∠BDE=asin(π−θ)+bcos(π−θ)=asinθ−bcosθ,故選(2)
解:
[已 知 log2≈0.3010,log≈30.4771,log7≈0.8451]
(1) 18 倍
(2) 21 倍
(3) 24 倍
(4) 27 倍
(5) 36 倍
解:設實際是x倍,即x0.7=10⇒0.7logx=1⇒logx=107=1.4286由{log2=0.301logy=0.4286log3=0.4771⇒0.4286−0.3010.4771−0.301=y−23−2⇒y=2.725⇒logx=1.4286=1+0.4286=log10+log2.725=log27.25⇒x=27.25,故選(4)
從圖形可知:d越大,則機率P越小,而且呈現一遞減的曲線;
(1)×:P=1/9為一水平線,不是曲線(2)×:也是一直線(3)×:凹向上的拋物線,非遞減(4)×:9∑d=125⋅(15)d≠1(5)◯:遞減且9∑d=1log(1+1d)=1,故選(5)
5. 在 空 間中,一平 面 與一正 立 方 體 相 截 , 若 在 平 面 的 兩 側 各有正 立 方 體 的 4 個頂 點 , 則 其 截 面 的 形 狀 可 能 是下列 哪 種 圖 形 ?
(1) 三角 形
(2) 四 邊 形
(3) 五 邊 形
(4) 六 邊 形
(5) 八 邊 形
如上圖,故選(2,4)
6. 某 校 要 從 高一 的 「 忠 、 孝 、 仁 、 愛 」 四個 班 級 中隨 機 選 取一 個 班 級 進 行 數 學抽 測。考 慮甲、乙兩 種 抽 樣 方 法:甲 方 法 是 從四個 班 級 的 導 師中 隨 機 選 取 一人 ,被 選中導 師 的 班 級 為 抽 測 班 級 ;乙 方 法 是 從 所有 高一學生中 隨 機 選 取一名學生 , 被 選中學 生 的 班 級 為 抽 測 班 級 。 若 各 班人 數 都 不 相 同 , 其 中「 愛 」 班人 數最 多 。 則 下列 敘 述有 哪 些 是 正 確 的 ?
(1) 甲方 法 中, 每 位 高一學 生 被 抽 測 的 機 率 相 等
(2) 乙 方 法 中 , 每 位 高一學 生 被 抽 測 的 機 率 相 等
(3) 甲 方 法 中 , 四個 班 級 被 抽 測 的 機 率 相 等
(4) 乙 方 法 中 , 四 個 班 級 被 抽 測 的 機 率 相 等
(5) 「 愛 」 班 被 抽 測 的 機 率 , 使 用甲方 法 較 使 用乙方 法 高
(1)◯:四位老師中,每位老師被抽中的機率都是1/4,也就是學生被抽中的機率也是1/4(2)×:愛班學生人數最多代表愛班的學生被抽中的機率最高(3)◯:理由同(1),機率都是1/4(4)×:理由同(2)(5)×:甲方法的機率都一樣,故選1,3
三、選填題
解:
α,β為x2+ax+(a−2)=0的兩根⇒{α+β=−aαβ=a−2⇒|α−β|2=(α+β)2−4αβ=a2−4(a−2)=a2−4a+8=(a−2)2+4≥4⇒a=2時,|α−β|有最小值2
α,β為x2+ax+(a−2)=0的兩根⇒{α+β=−aαβ=a−2⇒|α−β|2=(α+β)2−4αβ=a2−4(a−2)=a2−4a+8=(a−2)2+4≥4⇒a=2時,|α−β|有最小值2
解:
8人組隊=2男6女,3男5女,4男4女,共三種情形,因此組隊方法有C42C76+C43C75+C44C74=42+84+35=161種
解:
第1天取2位,第2天再取剩下的2位,第3天再取剩下的2位....,共有C102C82C62C42C22取法;某一天取到阿貴與阿美,共有C22C82C62C42C22種取法,因此所求機率為5×C22C82C62C42C22C102C82C62C42C22=5C102=545=19
解:
{A(0,0,2)B(5,8,3)⇒射線→AB方程式(5t,8t,t+2),t>0;又{C(0,7,a)D(s,7,a)⇒射線→CD方程式(s,7,a),s>0;因此射線→AB與射線→CD的交點為{5t=s8t=7t+2=a⇒{t=7/8a=t+2=7/8+2=23/8
解:
只要三頂點為格子點的三角形都符合該公式,因此只要找簡單的三角形代入即可;{O(0,0)A(1,0)B(0,1)⇒{S=3I=0△OAB=1/2⇒3a+c=1/2⋯(1){O(0,0)A(−1,0)B(1,0)⇒{S=4I=0△OAB=1⇒4a+c=1⋯(2)由(1)及(2)可知{a=1/2c=−1又{A(−1,0)B(0,2)C(1,0)⇒{S=4I=1△ABC=2⇒4a+b+c=2⇒2+b−1=2⇒b=1⇒{a=1/2b=1c=−1
第貳部份:非選擇題
1. 南北生技農場今年生產一種植物共 1 萬公斤,該植物每 200 公斤可提煉 1 公斤的中草藥,每 5 公斤可製成 1 公斤的健康食品。中草藥每公斤可獲利 5000 元,健康食品每公斤可獲利 100 元;根據市場調查每年中草藥最大需求量為 30 公斤,健康食品最大需求量是 1800 公斤。如果南北生技農場決定提煉中草藥 x 公斤,並製成健康食品 y 公斤,設 P 為其可獲利潤。
(1) 試以 x,y 表示 P。
(2) 如果想獲得最大利潤,則 x,y 的值為何?說明理由。
解:(1)P=5000x+100y(2)限制條件{0≤x≤300≤y≤18000≤200x+5y≤10000⇒該封閉區域頂點為{O(0,0)A(30,0)B(0,1800)C(5,1800)D(30,800)⇒{P(O)=0P(A)=150000P(B)=180000P(C)=205000P(D)=230000⇒當{x=30y=800時,有最大利潤230000
2. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特(W/m2)來衡量,一般人能感覺出聲音的最小強度為 I0=10−12(W/m2);
當測得的聲音強度為 I(W/m2) 時,所產生的噪音分貝數 d 為d(I)=10⋅logII0。
(1) 一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為 10−12(W/m2),求其產生的噪音分貝數。
(2) 汽車製造廠測試發現,某新車以每小時 60 公里速度行駛時,測得的聲音強度為 10−4(W/m2),試問此聲音強度產生的噪音為多少分貝?
(3) 棒球比賽場中,若一支瓦斯汽笛獨鳴,測得的噪音為 70 分貝,則百支瓦斯汽笛
同時同地合鳴,被測得的噪音大約為多少分貝?
解:(1)d(I)=10⋅logII0=10⋅log10−1210−12=10⋅log1=10⋅0=0分貝(2)d(I)=10⋅logII0=10⋅log10−410−12=10⋅log108=10⋅8=80分貝(3)d(I)=70=10⋅logI10−12⇒logI10−12=7⇒I10−12=107⇒I=10−12×107=10−5⇒d(100I)=d(100×10−5)=d(10−3)=10⋅log10−310−12=10⋅log109=10×9=90分貝
-- END (僅供參考) --
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