93年大學指考數學乙詳解

93學年度指定科目考試試題

數學乙

第壹部分：選擇題
一、單選題

解：

$$\cases{\cases{\angle EDB+\angle DBE= 90^\circ \\ \angle ABE+\angle DBE= 90^\circ} \Rightarrow \angle EDB=\angle ABE \\ \overline{BE} //\overline{AC} \Rightarrow \angle ABE= \angle BAP=\pi -\theta} \Rightarrow \angle EDB = \pi-\theta\\ \overline{CD} = \overline{CE} +\overline{ED} = \overline{AB} \sin \angle BAP+ \overline{BD} \cos \angle BDE = a\sin (\pi-\theta)+ b\cos(\pi-\theta) \\ =a\sin \theta-b\cos \theta，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

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解：

$$令\cases{A(0,y)\\ B(x,0) \\ C(m,n)},又 \overline{AC}:\overline{CB}=2:1 \Rightarrow \cases{m={2x\over 3} \\n= {y\over 3}} \Rightarrow \cases{x={3m\over 2} \\ y=3n}\\ 線段\overline{AB}的長度是固定的,即\sqrt{x^2+y^2} =k(定值) \Rightarrow \sqrt{{9m^2 \over 4} +9n^2} =k \Rightarrow {9m^2 \over 4} +9n^2=k^2 \\ \Rightarrow \cfrac{m^2}{(2k/3)^2} + \cfrac{n^2}{(k/3)^2}=1為一橢圓，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

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3. 統 計 學 家 克 利 夫 蘭 對人 體 的 眼 睛 詳 細 研 究 後 發 現 ： 我 們 的 眼 睛 看 到 圖 形 面 積的 大 小 與 此 圖 形 實 際 面 積 的 0.7 次 方 成 正 比 。 例 如 ： 大 圖 形 是 小 圖 形 的 3 倍 ，眼 睛 感 覺 到 的 只有 \(3^{0.7}\) (約 2.16)倍 。 觀 察 某 個 國 家地圖 ， 感 覺 全 國 面 積 約 為 某 縣面 積 的 10 倍 ， 試 問 這 國 家 的 實 際 面 積 大 約 是 該 縣 面 積 的 幾 倍 ？
[已 知 \(\log 2\approx 0.3010, \log \approx 3 0.4771, \log 7 \approx 0.8451\)]
(1) 18 倍
(2) 21 倍
(3) 24 倍
(4) 27 倍
(5) 36 倍

解：$$設實際是x倍，即x^{0.7}=10 \Rightarrow 0.7\log x=1 \Rightarrow \log x= {10\over 7} = 1.4286\\ 由\cases{\log 2=0.301 \\ \log y= 0.4286 \\ \log 3=0.4771} \Rightarrow {0.4286-0.301 \over 0.4771-0.301} ={y-2 \over 3-2} \Rightarrow y=2.725 \\ \Rightarrow \log x=1.4286 = 1+0.4286 = \log 10+\log 2.725 = \log 27.25 \\ \Rightarrow x=27.25，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

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解：
從圖形可知：d越大，則機率P越小，而且呈現一遞減的曲線;
$$ (1) \times:  P=1/9為一水平線，不是曲線 \\(2) \times: 也是一直線\\ (3) \times: 凹向上的拋物線，非遞減\\ (4)\times : \sum_{d=1}^9 {2\over 5}\cdot ({1 \over 5})^d \ne 1 \\(5) \bigcirc: 遞減且\sum_{d=1}^9 \log(1+{1\over d}) =1\\，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$

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二、多選題

5. 在 空 間中，一平 面 與一正 立 方 體 相 截 ， 若 在 平 面 的 兩 側 各有正 立 方 體 的 4 個頂 點 ， 則 其 截 面 的 形 狀 可 能 是下列 哪 種 圖 形 ？

(1) 三角 形

(2) 四 邊 形

(3) 五 邊 形

(4) 六 邊 形

(5) 八 邊 形

解：

$$如上圖，故選 \bbox[red, 2pt]{(2,4)}$$

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6. 某 校 要 從 高一 的 「 忠 、 孝 、 仁 、 愛 」 四個 班 級 中隨 機 選 取一 個 班 級 進 行 數 學抽 測。考 慮甲、乙兩 種 抽 樣 方 法：甲 方 法 是 從四個 班 級 的 導 師中 隨 機 選 取 一人 ，被 選中導 師 的 班 級 為 抽 測 班 級 ；乙 方 法 是 從 所有 高一學生中 隨 機 選 取一名學生 ， 被 選中學 生 的 班 級 為 抽 測 班 級 。 若 各 班人 數 都 不 相 同 ， 其 中「 愛 」 班人 數最 多 。 則 下列 敘 述有 哪 些 是 正 確 的 ？

(1) 甲方 法 中， 每 位 高一學 生 被 抽 測 的 機 率 相 等

(2) 乙 方 法 中 ， 每 位 高一學 生 被 抽 測 的 機 率 相 等

(3) 甲 方 法 中 ， 四個 班 級 被 抽 測 的 機 率 相 等

(4) 乙 方 法 中 ， 四 個 班 級 被 抽 測 的 機 率 相 等

(5) 「 愛 」 班 被 抽 測 的 機 率 ， 使 用甲方 法 較 使 用乙方 法 高

解：
$$(1)\bigcirc: 四位老師中，每位老師被抽中的機率都是1/4，也就是學生被抽中的機率也是1/4 \\(2)\times: 愛班學生人數最多代表愛班的學生被抽中的機率最高\\ (3)\bigcirc: 理由同(1)，機率都是1/4\\ (4)\times: 理由同(2) \\(5)\times: 甲方法的機率都一樣\\，故選\bbox[red, 2pt]{1,3}$$

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三、選填題

解：
$$\alpha ,\beta 為x^2+ax+(a-2)=0的兩根\Rightarrow \cases{\alpha+ \beta =-a \\ \alpha\beta =a-2} \Rightarrow |\alpha -\beta|^2 = (\alpha+\beta)^2 -4\alpha\beta =a^2-4(a-2) \\ =a^2-4a+8 = (a-2)^2+4 \ge 4 \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{2}時，|\alpha-\beta| 有最小值2$$

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解：

$$8人組隊=2男6女, 3男5女,4男4女，共三種情形，\\因此組隊方法有C^4_2C^7_6 +C^4_3C^7_5 +C^4_4C^7_4 = 42+ 84+ 35= \bbox[red,2pt]{161}種$$

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解：

$$第1天取2位，第2天再取剩下的2位，第3天再取剩下的2位....，共有C^{10}_2C^8_2 C^6_2C^4_2C^2_2 取法;\\ 某一天取到阿貴與阿美，共有C^2_2C^8_2C^6_2C^4_2C^2_2 種取法，\\ 因此所求機率為\cfrac{5\times C^2_2C^8_2C^6_2C^4_2C^2_2}{C^{10}_2C^8_2 C^6_2C^4_2C^2_2 } = \cfrac{5}{C^{10}_2}= \cfrac{5}{45}=\bbox[red, 2pt]{1\over 9}$$

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解：

$$\cases{A(0,0,2) \\ B(5,8,3)} \Rightarrow 射線\overrightarrow{AB}方程式(5t,8t,t+2),t>0; \\  又\cases{C(0,7,a) \\ D(s,7,a)} \Rightarrow 射線\overrightarrow{CD}方程式(s,7,a),s>0;\\ 因此射線\overrightarrow{AB}與射線\overrightarrow{CD}的交點為 \cases{5t=s \\ 8t=7 \\ t+2=a} \Rightarrow \cases{t=7/8 \\ a=t+2=7/8+2= \bbox[red, 2pt]{23/8}}$$

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解：

$$只要三頂點為格子點的三角形都符合該公式，因此只要找簡單的三角形代入即可;\\ \cases{O(0,0)\\ A(1,0) \\ B(0,1) } \Rightarrow \cases{S=3\\ I=0 \\ \triangle OAB=1/2} \Rightarrow 3a+c = 1/2 \cdots(1)\\ \cases{O(0,0)\\ A(-1,0) \\ B(1,0) } \Rightarrow \cases{S=4\\ I=0 \\ \triangle OAB=1} \Rightarrow 4a+c = 1 \cdots(2)\\ 由(1)及(2)可知\cases{a=1/2 \\ c=-1} \\ 又\cases{A(-1,0) \\ B(0,2) \\C(1,0)} \Rightarrow \cases{S=4\\ I=1 \\ \triangle ABC=2} \Rightarrow 4a+b+c=2 \Rightarrow 2+b-1=2 \Rightarrow b=1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{a=1/2\\ b=1\\ c=-1}}$$

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第貳部份：非選擇題

1. 南北生技農場今年生產一種植物共 1 萬公斤，該植物每 200 公斤可提煉 1 公斤的中草藥，每 5 公斤可製成 1 公斤的健康食品。中草藥每公斤可獲利 5000 元，健康食品每公斤可獲利 100 元；根據市場調查每年中草藥最大需求量為 30 公斤，健康食品最大需求量是 1800 公斤。如果南北生技農場決定提煉中草藥 x 公斤，並製成健康食品 y 公斤，設 P 為其可獲利潤。

(1) 試以 x，y 表示 P。

(2) 如果想獲得最大利潤，則 x，y 的值為何？說明理由。

解：$$(1) \bbox[red, 2pt]{P=5000x+100y} \\(2)限制條件\cases{0\le x \le 30\\ 0\le y \le 1800 \\ 0\le 200x+5y \le 10000} \Rightarrow 該封閉區域頂點為\cases{O(0,0) \\ A(30,0) \\ B(0,1800) \\C(5,1800) \\D(30,800)} \Rightarrow \cases{P(O)=0 \\ P(A)=150000 \\ P(B)=180000\\ P(C)=205000 \\P(D)=230000} \\ \Rightarrow 當\bbox[red, 2pt]{\cases{x=30\\ y=800}}時，有最大利潤230000$$

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2. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特(\(W / m^2\))來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為 \(I_0 = 10 ^{-12} (W / m^2)\)；

當測得的聲音強度為 \(I (W / m^2)\) 時，所產生的噪音分貝數 d 為\(d(I)=10\cdot \log{I\over I_0}\)。

(1) 一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為 \(10^{-12} (W / m^2)\)，求其產生的噪音分貝數。

(2) 汽車製造廠測試發現，某新車以每小時 60 公里速度行駛時，測得的聲音強度為 \(10^{-4} (W / m^2)\)，試問此聲音強度產生的噪音為多少分貝？

(3) 棒球比賽場中，若一支瓦斯汽笛獨鳴，測得的噪音為 70 分貝，則百支瓦斯汽笛

同時同地合鳴，被測得的噪音大約為多少分貝？

解：$$(1) d(I)=10 \cdot \log{I\over I_0} = 10\cdot \log {10^{-12} \over 10^{-12}} = 10 \cdot \log 1= 10\cdot 0 = \bbox[red, 2pt]{0}分貝 \\(2)d(I)=10 \cdot \log{I\over I_0} = 10\cdot \log {10^{-4} \over 10^{-12}} = 10\cdot \log 10^8= 10\cdot 8= \bbox[red, 2pt]{80}分貝 \\(3)d(I)=70= 10 \cdot \log {I \over 10^{-12}} \Rightarrow \log {I\over 10^{-12}}=7 \Rightarrow {I \over 10^{-12}} =10^7 \Rightarrow I= 10^{-12}\times 10^7 =10^{-5} \\ \Rightarrow d(100I) = d(100\times 10^{-5}) = d(10^{-3}) =10\cdot \log{10^{-3} \over 10^{-12}} =10 \cdot \log 10^9 =10\times 9= \bbox[red, 2pt]{90}分貝$$

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-- END   (僅供參考)  --