2020年5月2日 星期六

93年大學指考數學乙詳解


93學年度指定科目考試試題
數學乙
第壹部分:選擇題
一、單選題

解:


{{EDB+DBE=90ABE+DBE=90EDB=ABE¯BE//¯ACABE=BAP=πθEDB=πθ¯CD=¯CE+¯ED=¯ABsinBAP+¯BDcosBDE=asin(πθ)+bcos(πθ)=asinθbcosθ(2)



解:
{A(0,y)B(x,0)C(m,n),¯AC:¯CB=2:1{m=2x3n=y3{x=3m2y=3n¯AB,x2+y2=k()9m24+9n2=k9m24+9n2=k2m2(2k/3)2+n2(k/3)2=1(1)

3. 統 計 學 家 克 利 夫 蘭 對人 體 的 眼 睛 詳 細 研 究 後 發 現 : 我 們 的 眼 睛 看 到 圖 形 面 積的 大 小 與 此 圖 形 實 際 面 積 的 0.7 次 方 成 正 比 。 例 如 : 大 圖 形 是 小 圖 形 的 3 倍 ,眼 睛 感 覺 到 的 只有 30.7 (約 2.16)倍 。 觀 察 某 個 國 家地圖 , 感 覺 全 國 面 積 約 為 某 縣面 積 的 10 倍 , 試 問 這 國 家 的 實 際 面 積 大 約 是 該 縣 面 積 的 幾 倍 ?
[已 知 log20.3010,log30.4771,log70.8451]
(1) 18 倍
(2) 21 倍
(3) 24 倍
(4) 27 倍
(5) 36 倍

解:xx0.7=100.7logx=1logx=107=1.4286{log2=0.301logy=0.4286log3=0.47710.42860.3010.47710.301=y232y=2.725logx=1.4286=1+0.4286=log10+log2.725=log27.25x=27.25(4)



解:
從圖形可知:d越大,則機率P越小,而且呈現一遞減的曲線;
(1)×:P=1/9(2)×:(3)×:(4)×:9d=125(15)d1(5):9d=1log(1+1d)=1(5)

二、多選題
5. 在 空 間中,一平 面 與一正 立 方 體 相 截 , 若 在 平 面 的 兩 側 各有正 立 方 體 的 4 個頂 點 , 則 其 截 面 的 形 狀 可 能 是下列 哪 種 圖 形 ?
(1) 三角 形
(2) 四 邊 形
(3) 五 邊 形
(4) 六 邊 形
(5) 八 邊 形


解:

(2,4)

6. 某 校 要 從 高一 的 「 忠 、 孝 、 仁 、 愛 」 四個 班 級 中隨 機 選 取一 個 班 級 進 行 數 學抽 測。考 慮甲、乙兩 種 抽 樣 方 法:甲 方 法 是 從四個 班 級 的 導 師中 隨 機 選 取 一人 ,被 選中導 師 的 班 級 為 抽 測 班 級 ;乙 方 法 是 從 所有 高一學生中 隨 機 選 取一名學生 , 被 選中學 生 的 班 級 為 抽 測 班 級 。 若 各 班人 數 都 不 相 同 , 其 中「 愛 」 班人 數最 多 。 則 下列 敘 述有 哪 些 是 正 確 的 ?
(1) 甲方 法 中, 每 位 高一學 生 被 抽 測 的 機 率 相 等
(2) 乙 方 法 中 , 每 位 高一學 生 被 抽 測 的 機 率 相 等
(3) 甲 方 法 中 , 四個 班 級 被 抽 測 的 機 率 相 等
(4) 乙 方 法 中 , 四 個 班 級 被 抽 測 的 機 率 相 等
(5) 「 愛 」 班 被 抽 測 的 機 率 , 使 用甲方 法 較 使 用乙方 法 高

解:
(1):1/41/4(2)×:(3):(1)1/4(4)×:(2)(5)×:1,3

三、選填題


解:
α,βx2+ax+(a2)=0{α+β=aαβ=a2|αβ|2=(α+β)24αβ=a24(a2)=a24a+8=(a2)2+44a=2|αβ|2




解:
8=26,35,44C42C76+C43C75+C44C74=42+84+35=161



122232....C102C82C62C42C22;C22C82C62C42C225×C22C82C62C42C22C102C82C62C42C22=5C102=545=19




解:
{A(0,0,2)B(5,8,3)AB(5t,8t,t+2),t>0;{C(0,7,a)D(s,7,a)CD(s,7,a),s>0;ABCD{5t=s8t=7t+2=a{t=7/8a=t+2=7/8+2=23/8



解:
;{O(0,0)A(1,0)B(0,1){S=3I=0OAB=1/23a+c=1/2(1){O(0,0)A(1,0)B(1,0){S=4I=0OAB=14a+c=1(2)(1)(2){a=1/2c=1{A(1,0)B(0,2)C(1,0){S=4I=1ABC=24a+b+c=22+b1=2b=1{a=1/2b=1c=1

第貳部份:非選擇題
1. 南北生技農場今年生產一種植物共 1 萬公斤,該植物每 200 公斤可提煉 1 公斤的中草藥,每 5 公斤可製成 1 公斤的健康食品。中草藥每公斤可獲利 5000 元,健康食品每公斤可獲利 100 元;根據市場調查每年中草藥最大需求量為 30 公斤,健康食品最大需求量是 1800 公斤。如果南北生技農場決定提煉中草藥 x 公斤,並製成健康食品 y 公斤,設 P 為其可獲利潤。

(1) 試以 x,y 表示 P。
(2) 如果想獲得最大利潤,則 x,y 的值為何?說明理由。

(1)P=5000x+100y(2){0x300y18000200x+5y10000{O(0,0)A(30,0)B(0,1800)C(5,1800)D(30,800){P(O)=0P(A)=150000P(B)=180000P(C)=205000P(D)=230000{x=30y=800230000


2. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特(W/m2)來衡量,一般人能感覺出聲音的最小強度為 I0=1012(W/m2)

當測得的聲音強度為 I(W/m2) 時,所產生的噪音分貝數 d 為d(I)=10logII0
(1) 一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為 1012(W/m2),求其產生的噪音分貝數。
(2) 汽車製造廠測試發現,某新車以每小時 60 公里速度行駛時,測得的聲音強度為 104(W/m2),試問此聲音強度產生的噪音為多少分貝?
(3) 棒球比賽場中,若一支瓦斯汽笛獨鳴,測得的噪音為 70 分貝,則百支瓦斯汽笛
同時同地合鳴,被測得的噪音大約為多少分貝?
(1)d(I)=10logII0=10log10121012=10log1=100=0(2)d(I)=10logII0=10log1041012=10log108=108=80(3)d(I)=70=10logI1012logI1012=7I1012=107I=1012×107=105d(100I)=d(100×105)=d(103)=10log1031012=10log109=10×9=90

-- END   (僅供參考)  --

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