92學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分：選擇題一、單選題
解：
$$令\overline{AC}=a，利用餘弦定理\cos \angle C = {a^2+200^2-1500^2 \over 2\times a\times 200} \Rightarrow {1\over 2}= { a^2-2210000\over 400a}\\ \Rightarrow a^2-200a-2210000=0 \Rightarrow x={200\pm\sqrt{8880000}\over 2}=100+100\sqrt{222} (負值不合)\\ \approx 100(1+15) = 1600 ，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$
2.某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況，依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類。統計發現高收入的人口一直是低收入人口的兩倍，且知在高收入的人口中，每年有四成會轉變為低收入。請問在低收入的人口中，每年有幾成會轉變為高收入﹖請選出正確的選項。
(1) 6 成
(2) 7 成
(3) 8 成
(4) 9 成
解：
$$假設\cases{低收人口數=a\\ 每年有b人從低收入轉為高收入} \Rightarrow \cases{高數入人數:2a\Rightarrow 2a\times 60\%+b =1.2a+b\\ 低收入人收:a \Rightarrow a-b+0.8a =1.8a-b} \\\Rightarrow 高收入人口仍是低收入的2倍: 1.2a+b= 2(1.8a-b) \Rightarrow 2.4a=3b \Rightarrow b=0.8a，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$
解：
$$鏡射矩陣A=\begin{bmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta\\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta\end{bmatrix}，其中\theta為直線L與X軸正向的角度；\\本題\theta=120^\circ，見上圖，因此A= \begin{bmatrix} \cos 240^\circ & \sin 240^\circ\\ \sin 240^\circ & -\cos 240^\circ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt 3/2\\ -\sqrt 3/2 & 1/2 \end{bmatrix}\\ (1)\bigcirc: AB =\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \Rightarrow B=A^{-1}\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt 3/2\\ -\sqrt 3/2 & 1/2 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\\qquad = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt 3/2\\ -\sqrt 3/2 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & \sqrt 3/2\\ \sqrt 3/2 & -1/2 \end{bmatrix}\\ \qquad\Rightarrow BA= \begin{bmatrix} 1/2 & \sqrt 3/2\\ \sqrt 3/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt 3/2\\ -\sqrt 3/2 & 1/2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0& -1 \end{bmatrix}=AB \\(2)\bigcirc: A+B = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt 3/2\\ -\sqrt 3/2 & 1/2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1/2 & \sqrt 3/2\\ \sqrt 3/2 & -1/2 \end{bmatrix}=0 \\(3)\times: B無法化成 \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}，其中\alpha為旋轉角度 \\(4)\bigcirc: B^{-1}=\begin{bmatrix} 1/2 & \sqrt 3/2\\ \sqrt 3/2 & -1/2 \end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix} 1/2 & \sqrt 3/2\\ \sqrt 3/2 & -1/2 \end{bmatrix} =-A\\，故選\bbox[red,2pt]{(1,2,4)} $$
$$(1)\bigcirc: 7^{1000} < 1.254\times 10^{845} \Rightarrow 7^{1000} < 10\times 10^{845} =10^{846}\Rightarrow \log_{10}7^{1000} < \log_{10} 10^{846}=846 \\ \qquad \Rightarrow 1000\log_{10}7 < 846 \Rightarrow \log_{10}7 < 0.846 \\ (2)\bigcirc: 1.253 \times 10^{845} < 7^{1000} \Rightarrow 10^{845} < 7^{1000} \Rightarrow 845 < 1000\log_{10}7 \Rightarrow 0.845 < \log_{10}7 \\(3) \bigcirc: \cases{\log_{10}7 < 0.846 \Rightarrow 100\log_{10}7 < 84.6\\ \log_{10}(5\times 10^{84}) =84+ \log_{10}5 =84+(1-\log_{10}2) = 84+1-0.301=84.699} \\ \qquad \Rightarrow 100\log_{10}7 < 84.6< 84.699= \log_{10}(5\times 10^{84}) \Rightarrow 7^{100} < 5\times 10^{84} \\(4)\times: \cases{\log_{10}7 > 0.845 \Rightarrow 10\log_{10}7 > 8.45 \\ \log_{10}(2\times 10^8) =8+\log_{10} 2 =8.301} \Rightarrow 10\log_{10}7 >\log_{10}(2\times 10^8) \Rightarrow 7^{10}> 2\times 10^8\\，故選\bbox[red,2pt]{(1,2,3)}$$
解：
$$(1)\bigcirc: 綠色 ({1\over 4}A_n)< 藍色(正方形) \Rightarrow {1\over 4}A_n< 1 \Rightarrow A_n < 4\\ (2) \bigcirc: 棕色(四分之一圓) < 綠色 ({1\over 4}A_n) \Rightarrow {1\over 4} \pi <{1\over 4}A_n \Rightarrow \pi < A_n \\ (3) \bigcirc: A_n周長 > 圓周長=2\pi =6.28 > 5\\ (4) \bigcirc: 求交點\cases{x^2/n^2 +y^2=1 \\ x^2+y^2/n^2=1} \Rightarrow 在第一象限的交點P_n=({n\over \sqrt{n^2+1}},{n\over \sqrt{n^2+1}}) \\ \qquad 以\overline{OP_n}為對角線的正方形面積={n\over \sqrt{n^2+1}} \times {n\over \sqrt{n^2+1}} = {n^2 \over n^2+1} \Rightarrow A_n ={4n^2\over n^2+1} \\\qquad \Rightarrow \lim_{n\to \infty} A_n = \lim_{n\to \infty} {4n^2 \over n^2+1} = 4\\，故選\bbox[red,2pt]{(1,2,3,4)}$$
$$ (1) \bigcirc: 6是平均數\Rightarrow (2+4+4 +5+5 +6 +7+8+11+x+y) \div 11 =6 \Rightarrow x+y=14 \\(2) \bigcirc:6是中位數 \Rightarrow 比6小的有5個:2,4,4,5,5 \Rightarrow 比6大的也有5個: 7,8,11,x,y \Rightarrow x,y\ge 6 \\ \qquad \Rightarrow (x,y)=(6,8), (7,7),(8,6) \Rightarrow x,y < 9 \\(3)\times: 由(2)知: y最大為8\\ (4)\times: 當x=y=6時,標準差最小 \Rightarrow 最小的標準差\\ \qquad =\sqrt{(4^2+2^2+2^2+1^1+1^2+1^2 +2^2+5^2)\div 11} \approx 2.3 <3\\故選\bbox[red,2pt]{(1,2)}$$
解：
$$\cases{f(x)為首項為1的三次多項式\Rightarrow f(x)圖形為右上左下型\\f(x)-k=0有三相異實根\Rightarrow f(x)=0有兩個極值} \\\Rightarrow y=f(x)及y=f(x)-k(將y=f(x)往下移k)之相對圖形如上;\\ (1) \bigcirc:\cases{f(x)-4=0的根為b及d\\ f'(x)=0的根為b及c} \Rightarrow 有共同實根b \\(2)\bigcirc:\cases{f(x)=0的根為a及c\\ f'(x)=0的根為b及c} \Rightarrow 有共同實根c \\ (3) \times: \cases{y=f(x)+3的圖形為將y=f(x)往上移3 \Rightarrow f(x)+3=0只有一實根且小於a\\ y=f(x)-6的圖形為將y=f(x)往下移6 \Rightarrow f(x)-6=0只有一實根且大於d} \\\qquad \Rightarrow f(x)+3=0的實根小於f(x)-6=0的實根 \\ (4)\bigcirc: \cases{y=f(x)+5的圖形為將y=f(x)往上移5 \Rightarrow f(x)+5=0只有一實根且小於a\\ y=f(x)-2的圖形為將y=f(x)往下移2 \Rightarrow f(x)-2=0有三實根且介於於a與d之間} \\\qquad \Rightarrow f(x)+5=0的實根小於f(x)-2=0的任一實根\\，故選 \bbox[red, 2pt]{(1,2,4)}$$
$$\cases{f(x)為首項為1的三次多項式\Rightarrow f(x)圖形為右上左下型\\f(x)-k=0有三相異實根\Rightarrow f(x)=0有兩個極值} \\\Rightarrow y=f(x)及y=f(x)-k(將y=f(x)往下移k)之相對圖形如上;\\ (1) \bigcirc:\cases{f(x)-4=0的根為b及d\\ f'(x)=0的根為b及c} \Rightarrow 有共同實根b \\(2)\bigcirc:\cases{f(x)=0的根為a及c\\ f'(x)=0的根為b及c} \Rightarrow 有共同實根c \\ (3) \times: \cases{y=f(x)+3的圖形為將y=f(x)往上移3 \Rightarrow f(x)+3=0只有一實根且小於a\\ y=f(x)-6的圖形為將y=f(x)往下移6 \Rightarrow f(x)-6=0只有一實根且大於d} \\\qquad \Rightarrow f(x)+3=0的實根小於f(x)-6=0的實根 \\ (4)\bigcirc: \cases{y=f(x)+5的圖形為將y=f(x)往上移5 \Rightarrow f(x)+5=0只有一實根且小於a\\ y=f(x)-2的圖形為將y=f(x)往下移2 \Rightarrow f(x)-2=0有三實根且介於於a與d之間} \\\qquad \Rightarrow f(x)+5=0的實根小於f(x)-2=0的任一實根\\，故選 \bbox[red, 2pt]{(1,2,4)}$$
三、選填題(36%)
解：
$$假設B(0,0,0)，依題意\triangle ABC為邊長4的正\triangle，因此\cases{A(2,2\sqrt 3,0)\\ B(0,0,0)\\ C(4,0,0)}，相對位置如上圖;\\ 又 \overline{OA}= \overline{OB}= \overline{OC}，因此O在 \triangle ABC 重心P的正上方，即直線\overline{PO}\bot \triangle ABC \\ \Rightarrow P=(A+B+C)/3 = (2,{2\over 3}\sqrt 3,0) \Rightarrow O=(2,{2\over 3}\sqrt 3,k),k為一常數;\\ 由\cases{\overrightarrow {OA}=(0,{4\over 3}\sqrt 3,-k) \\ \overrightarrow{BC}=(4,0,0) \\ \vec v=\overrightarrow{BA} =(2,2\sqrt 3,0)} \Rightarrow \vec u=\overrightarrow {OA} \times \overrightarrow{BC} =(0,k,{4\over 3}\sqrt 3) \\ \Rightarrow \vec v 在\vec u的投影長為\sqrt 3 \Rightarrow {\vec v \cdot \vec u \over |\vec u|} ={2\sqrt 3 k\over \sqrt{k^2 +16/3}} =\sqrt 3 \Rightarrow k=4/3 \Rightarrow a=\overline{OA}= \sqrt{0+{16\over 3}+{16\over 9}}\\ = \bbox[red, 2pt]{8\over 3}$$
$$假設B(0,0,0)，依題意\triangle ABC為邊長4的正\triangle，因此\cases{A(2,2\sqrt 3,0)\\ B(0,0,0)\\ C(4,0,0)}，相對位置如上圖;\\ 又 \overline{OA}= \overline{OB}= \overline{OC}，因此O在 \triangle ABC 重心P的正上方，即直線\overline{PO}\bot \triangle ABC \\ \Rightarrow P=(A+B+C)/3 = (2,{2\over 3}\sqrt 3,0) \Rightarrow O=(2,{2\over 3}\sqrt 3,k),k為一常數;\\ 由\cases{\overrightarrow {OA}=(0,{4\over 3}\sqrt 3,-k) \\ \overrightarrow{BC}=(4,0,0) \\ \vec v=\overrightarrow{BA} =(2,2\sqrt 3,0)} \Rightarrow \vec u=\overrightarrow {OA} \times \overrightarrow{BC} =(0,k,{4\over 3}\sqrt 3) \\ \Rightarrow \vec v 在\vec u的投影長為\sqrt 3 \Rightarrow {\vec v \cdot \vec u \over |\vec u|} ={2\sqrt 3 k\over \sqrt{k^2 +16/3}} =\sqrt 3 \Rightarrow k=4/3 \Rightarrow a=\overline{OA}= \sqrt{0+{16\over 3}+{16\over 9}}\\ = \bbox[red, 2pt]{8\over 3}$$
B. 彩票公司每天開獎一次，從 1、2、3 三個號碼中隨機開出一個。開獎時，如果開出的號碼和前一天相同，就要重開，直到開出與前一天不同的號碼為止。如果在第一天開出的號碼是 3，則在第五天開出號碼同樣是 3 的機率是？(以最簡分數表示)
解：
$$開獎的號碼為3\bigcirc\bigcirc \bigcirc \bigcirc \Rightarrow 共有2\times 2\times 2\times 2=16種情形;\\ 開獎的號碼為3\bigcirc\bigcirc \bigcirc 3 \Rightarrow 共有31213, 31313,31323,32123,32323,32313，6種情形;\\ 因此機率為{6\over 16} =\bbox[red, 2pt]{3\over 8}$$
$$開獎的號碼為3\bigcirc\bigcirc \bigcirc \bigcirc \Rightarrow 共有2\times 2\times 2\times 2=16種情形;\\ 開獎的號碼為3\bigcirc\bigcirc \bigcirc 3 \Rightarrow 共有31213, 31313,31323,32123,32323,32313，6種情形;\\ 因此機率為{6\over 16} =\bbox[red, 2pt]{3\over 8}$$
解：
$$ 令\cases{A(8,4) \\B(9,11) \\C(15,5) \\D(16,12)} \Rightarrow \overline{AD}與\overline{BC}的交點O(12,8) \Rightarrow 半長軸長a= \overline{AC} = \overline{CD} = \overline{BD} = \overline{AB} \\ \Rightarrow a^2 = \overline{OC}^2 + \overline{OD}^2 =18+ 32=50 \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{\sqrt{50}} $$
$$ 令\cases{A(8,4) \\B(9,11) \\C(15,5) \\D(16,12)} \Rightarrow \overline{AD}與\overline{BC}的交點O(12,8) \Rightarrow 半長軸長a= \overline{AC} = \overline{CD} = \overline{BD} = \overline{AB} \\ \Rightarrow a^2 = \overline{OC}^2 + \overline{OD}^2 =18+ 32=50 \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{\sqrt{50}} $$
解：
$$與直線L:x-y+4=0平行的直線M:x-y+k=0，且直線M與曲線相切，如上圖；\\ L與M的距離即為所求，因此將M代入曲線\Rightarrow (x+k)^2 + 2x(x+k)+x^2 -2x+6(x+k) +1=0 \\ \Rightarrow 4x^2 +(4k+4)x +k^2+6k+1=0 恰有一解 \Rightarrow 判別式 (4k+4)^2 -16(6k+1)=0 \Rightarrow 32k=0\\ \Rightarrow k=0 \Rightarrow M:x-y=0 \Rightarrow \text{dist}(L,M) = \left| \cfrac{4}{\sqrt 2}\right| ={2\sqrt 2} = \sqrt{\bbox[red, 2pt]8}$$
-- END (僅供參考) --
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回覆刪除對！已修訂
刪除第七題：題目沒要求(x,y)為整數
回覆刪除再者，x+y=14的狀況下(4)的舉例並不洽當