92學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分:選擇題一、單選題
解:
令¯AC=a,利用餘弦定理cos∠C=a2+2002−150022×a×200⇒12=a2−2210000400a⇒a2−200a−2210000=0⇒x=200±√88800002=100+100√222(負值不合)≈100(1+15)=1600,故選(2)
2.某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況,依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類。統計發現高收入的人口一直是低收入人口的兩倍,且知在高收入的人口中,每年有四成會轉變為低收入。請問在低收入的人口中,每年有幾成會轉變為高收入﹖請選出正確的選項。
(1) 6 成
(2) 7 成
(3) 8 成
(4) 9 成
解:
假設{低收人口數=a每年有b人從低收入轉為高收入⇒{高數入人數:2a⇒2a×60%+b=1.2a+b低收入人收:a⇒a−b+0.8a=1.8a−b⇒高收入人口仍是低收入的2倍:1.2a+b=2(1.8a−b)⇒2.4a=3b⇒b=0.8a,故選(3)
解:
鏡射矩陣A=[cos2θsin2θsin2θ−cos2θ],其中θ為直線L與X軸正向的角度;本題θ=120∘,見上圖,因此A=[cos240∘sin240∘sin240∘−cos240∘]=[−1/2−√3/2−√3/21/2](1)◯:AB=[−100−1]⇒B=A−1[−100−1]=[−1/2−√3/2−√3/21/2]−1[−100−1]=[−1/2−√3/2−√3/21/2][−100−1]=[1/2√3/2√3/2−1/2]⇒BA=[1/2√3/2√3/2−1/2][−1/2−√3/2−√3/21/2]=[−100−1]=AB(2)◯:A+B=[−1/2−√3/2−√3/21/2]+[1/2√3/2√3/2−1/2]=0(3)×:B無法化成[cosα−sinαsinαcosα],其中α為旋轉角度(4)◯:B−1=[1/2√3/2√3/2−1/2]−1=[1/2√3/2√3/2−1/2]=−A,故選(1,2,4)
(1)◯:71000<1.254×10845⇒71000<10×10845=10846⇒log1071000<log1010846=846⇒1000log107<846⇒log107<0.846(2)◯:1.253×10845<71000⇒10845<71000⇒845<1000log107⇒0.845<log107(3)◯:{log107<0.846⇒100log107<84.6log10(5×1084)=84+log105=84+(1−log102)=84+1−0.301=84.699⇒100log107<84.6<84.699=log10(5×1084)⇒7100<5×1084(4)×:{log107>0.845⇒10log107>8.45log10(2×108)=8+log102=8.301⇒10log107>log10(2×108)⇒710>2×108,故選(1,2,3)
解:
(1)◯:綠色(14An)<藍色(正方形)⇒14An<1⇒An<4(2)◯:棕色(四分之一圓)<綠色(14An)⇒14π<14An⇒π<An(3)◯:An周長>圓周長=2π=6.28>5(4)◯:求交點{x2/n2+y2=1x2+y2/n2=1⇒在第一象限的交點Pn=(n√n2+1,n√n2+1)以¯OPn為對角線的正方形面積=n√n2+1×n√n2+1=n2n2+1⇒An=4n2n2+1⇒limn→∞An=limn→∞4n2n2+1=4,故選(1,2,3,4)
解:
(1)◯:6是平均數⇒(2+4+4+5+5+6+7+8+11+x+y)÷11=6⇒x+y=14(2)◯:6是中位數⇒比6小的有5個:2,4,4,5,5⇒比6大的也有5個:7,8,11,x,y⇒x,y≥6⇒(x,y)=(6,8),(7,7),(8,6)⇒x,y<9(3)×:由(2)知:y最大為8(4)×:當x=y=6時,標準差最小⇒最小的標準差=√(42+22+22+11+12+12+22+52)÷11≈2.3<3故選(1,2)
解:
{f(x)為首項為1的三次多項式⇒f(x)圖形為右上左下型f(x)−k=0有三相異實根⇒f(x)=0有兩個極值⇒y=f(x)及y=f(x)−k(將y=f(x)往下移k)之相對圖形如上;(1)◯:{f(x)−4=0的根為b及df′(x)=0的根為b及c⇒有共同實根b(2)◯:{f(x)=0的根為a及cf′(x)=0的根為b及c⇒有共同實根c(3)×:{y=f(x)+3的圖形為將y=f(x)往上移3⇒f(x)+3=0只有一實根且小於ay=f(x)−6的圖形為將y=f(x)往下移6⇒f(x)−6=0只有一實根且大於d⇒f(x)+3=0的實根小於f(x)−6=0的實根(4)◯:{y=f(x)+5的圖形為將y=f(x)往上移5⇒f(x)+5=0只有一實根且小於ay=f(x)−2的圖形為將y=f(x)往下移2⇒f(x)−2=0有三實根且介於於a與d之間⇒f(x)+5=0的實根小於f(x)−2=0的任一實根,故選(1,2,4)
{f(x)為首項為1的三次多項式⇒f(x)圖形為右上左下型f(x)−k=0有三相異實根⇒f(x)=0有兩個極值⇒y=f(x)及y=f(x)−k(將y=f(x)往下移k)之相對圖形如上;(1)◯:{f(x)−4=0的根為b及df′(x)=0的根為b及c⇒有共同實根b(2)◯:{f(x)=0的根為a及cf′(x)=0的根為b及c⇒有共同實根c(3)×:{y=f(x)+3的圖形為將y=f(x)往上移3⇒f(x)+3=0只有一實根且小於ay=f(x)−6的圖形為將y=f(x)往下移6⇒f(x)−6=0只有一實根且大於d⇒f(x)+3=0的實根小於f(x)−6=0的實根(4)◯:{y=f(x)+5的圖形為將y=f(x)往上移5⇒f(x)+5=0只有一實根且小於ay=f(x)−2的圖形為將y=f(x)往下移2⇒f(x)−2=0有三實根且介於於a與d之間⇒f(x)+5=0的實根小於f(x)−2=0的任一實根,故選(1,2,4)
解:
假設B(0,0,0),依題意△ABC為邊長4的正△,因此{A(2,2√3,0)B(0,0,0)C(4,0,0),相對位置如上圖;又¯OA=¯OB=¯OC,因此O在△ABC重心P的正上方,即直線¯PO⊥△ABC⇒P=(A+B+C)/3=(2,23√3,0)⇒O=(2,23√3,k),k為一常數;由{→OA=(0,43√3,−k)→BC=(4,0,0)→v=→BA=(2,2√3,0)⇒→u=→OA×→BC=(0,k,43√3)⇒→v在→u的投影長為√3⇒→v⋅→u|→u|=2√3k√k2+16/3=√3⇒k=4/3⇒a=¯OA=√0+163+169=83
假設B(0,0,0),依題意△ABC為邊長4的正△,因此{A(2,2√3,0)B(0,0,0)C(4,0,0),相對位置如上圖;又¯OA=¯OB=¯OC,因此O在△ABC重心P的正上方,即直線¯PO⊥△ABC⇒P=(A+B+C)/3=(2,23√3,0)⇒O=(2,23√3,k),k為一常數;由{→OA=(0,43√3,−k)→BC=(4,0,0)→v=→BA=(2,2√3,0)⇒→u=→OA×→BC=(0,k,43√3)⇒→v在→u的投影長為√3⇒→v⋅→u|→u|=2√3k√k2+16/3=√3⇒k=4/3⇒a=¯OA=√0+163+169=83
B. 彩票公司每天開獎一次,從 1、2、3 三個號碼中隨機開出一個。開獎時,如果開出的號碼和前一天相同,就要重開,直到開出與前一天不同的號碼為止。如果在第一天開出的號碼是 3,則在第五天開出號碼同樣是 3 的機率是?(以最簡分數表示)
解:
開獎的號碼為3◯◯◯◯⇒共有2×2×2×2=16種情形;開獎的號碼為3◯◯◯3⇒共有31213,31313,31323,32123,32323,32313,6種情形;因此機率為616=38
開獎的號碼為3◯◯◯◯⇒共有2×2×2×2=16種情形;開獎的號碼為3◯◯◯3⇒共有31213,31313,31323,32123,32323,32313,6種情形;因此機率為616=38
解:
令{A(8,4)B(9,11)C(15,5)D(16,12)⇒¯AD與¯BC的交點O(12,8)⇒半長軸長a=¯AC=¯CD=¯BD=¯AB⇒a2=¯OC2+¯OD2=18+32=50⇒a=√50
令{A(8,4)B(9,11)C(15,5)D(16,12)⇒¯AD與¯BC的交點O(12,8)⇒半長軸長a=¯AC=¯CD=¯BD=¯AB⇒a2=¯OC2+¯OD2=18+32=50⇒a=√50
與直線L:x−y+4=0平行的直線M:x−y+k=0,且直線M與曲線相切,如上圖;L與M的距離即為所求,因此將M代入曲線⇒(x+k)2+2x(x+k)+x2−2x+6(x+k)+1=0⇒4x2+(4k+4)x+k2+6k+1=0恰有一解⇒判別式(4k+4)2−16(6k+1)=0⇒32k=0⇒k=0⇒M:x−y=0⇒dist(L,M)=|4√2|=2√2=√8
-- END (僅供參考) --
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刪除第七題:題目沒要求(x,y)為整數
回覆刪除再者,x+y=14的狀況下(4)的舉例並不洽當