106年彰化女中教甄-數學詳解

國立彰化女子高級中學106年第一次教師甄選

一、填充題A部分 

1. 設$x,y,z\in R$，已知$\cases{x+y+z=3\\ xy+yz+zx= -9}$，求 $x$ 的最大值與最小值。

解答： $$\cases{x+y+z=3 \cdots(1)\\ xy+yz+zx= -9 \cdots(2)}，由(1)可知:y+z=3-x代入(2) \Rightarrow x(y+z)+yz=-9 \\ \Rightarrow x(3-x)+ yz=-9 \Rightarrow yz=x^2-3x-9 \Rightarrow (y-z)^2= (y+z)^2 -4yz \\= (3-x)^2-4(x^2-3x-9) = -3(x-5)(x+3) \ge 0 \Rightarrow -2 \le x\le 5\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{x的最大值=5\\ x的最小值=-2}}$$

2. 從 5,6,7,8 這四種數字中選出四個寫成四位數(數字可重複使用)； 若 5 的右邊不能緊接著 6，且 5 的右邊不能緊接著 7； 則這樣的四位數共有幾個？

解答： $$\begin{array}{c|cccc|c} 樣式 & 千&百&十 & 個& 數量\\\hline 4個5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 1\\\hdashline 3個5& 5 & 5 & 5 & 8 & 1\\ & 5 & 5 & 8&5 & 1\\ & 5 & 8 & 5 & 5& 1\\ & 6-8& 5 & 5 & 5& 3\\\hdashline 2個5 & 5 & 5 & 8 & 6-8 & 3 \\ & 5 &8 & 5 & 8 & 1 \\ & 5 & 8 & 6-8 & 5 & 3 \\ & 6-8 & 5 & 5 & 8 & 3\\ & 6-8 & 5 & 8 & 5 & 3\\ & 6-8 & 6-8 & 5 & 5 & 9\\\hdashline 1個5 & 5 & 8 & 6-8 & 6-8 & 9\\ & 6-8 & 5 & 8 & 6-8& 9 \\ & 6-8& 6-8 & 5 & 8& 9\\ & 6-8&6-8&6-8 & 5 & 27\\ \hdashline 沒有5 & 6-8 &6-8 & 6-8 &6-8 & 81\end{array}\\ 共有1+ 6+ 22+54+81= \bbox[red,2pt]{164}個$$

3. 某人擲兩顆骰子，若擲出之點數和為 9 時，可得 200 元，並可繼續投擲，若第二回又擲出點數和為 9，則又再得200 元，並可繼續投擲。重複此法直到點數和非 9 時，求此人所得的期望值。

解答： $$擲兩顆骰子點數和為 9 的情形為(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)，共有4種情形，機率為4/36=1/9，\\因此期望值為200\times {1\over 9}+200\times {1\over 9^2} + 200\times {1\over 9^3}+\cdots = 200\times {1/9\over 1-1/9} =200\times {1\over 8}= \bbox[red,2pt] {25}$$

4. 設直線 L 與函數$f(x)=-x^3+2x-5$的圖形交於相異三點 A、 B 、 C 。若 A、 B 、 C 三點的 x 坐標成等差數列，且$\overline{AC}=4\sqrt 5$，則直線$L$的方程式為 ______

解答： $$假設L:y=mx+b，則兩圖形\cases{y=f(x)=-x^3+2x-5\\ y=mx+b}的交點-x^3+2x-5=mx+b \\ \Rightarrow x^3+(m-2)x+b+5=0有三相異實根\alpha,\beta及\gamma (\alpha\lt \beta \lt \gamma)\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma = 0，\\又三根成等差，即\alpha+\gamma = 2\beta \Rightarrow \alpha+\beta+\gamma = 3\beta=0 \Rightarrow \beta=0 \Rightarrow (0,f(0))=(0,-5)為交點之一\\ \Rightarrow b=-5 \Rightarrow x^3+(m-2)x=0 之三相異實根為 \cases{\alpha = -\sqrt{2-m}\\ \beta=0\\ \gamma = \sqrt{2-m}} \\ \Rightarrow 三交點為\cases{A(-\sqrt{2-m},-m\sqrt{2-m}-5)\\ B(0,-5)\\ C(\sqrt{2-m},m\sqrt{2-m}-5)}；\\因此\overline{AC}=4\sqrt 5 \Rightarrow 4(2-m)+4m^2(2-m)=(4\sqrt 5)^2 \Rightarrow m^3-2m^2+m+18=0\\ \Rightarrow (m+2)(m^2-4m+9)=0 \Rightarrow m=-2 \Rightarrow L:\bbox[red,2pt]{y=-2x-5}$$

5. 已知空間中兩點 $A(7,6,3), B(5,-1,2)$ 與直線$L:{x-1\over 2} =y = {z-3\over -2}$，若 $P$為直線$L$上的動點，求$\overline{PA} +\overline{PB}$有最小值時的$P$點座標。

解答： $$\cases{A(7,6,3)\\ B(5,-1,2) \\ L:{x-1\over 2} =y = {z-3\over -2}} \Rightarrow L上的點P(2t+1,t,-2t+3)與A、B的距離和\overline{PA} +\overline{PB}\\= \sqrt{(2t-6)^2+ (t-6)^2 +(-2t)^2} +\sqrt{(2t-4)^2 +(t+1)^2 +(-2t+1)^2} \\ =\sqrt{9t^2-36t +72} +\sqrt{9t^2-18t+18} =3(\sqrt{(t-2)^2+ (0-2)^2} +\sqrt{(t-1)^2+(0-(-1))^2})\\ =3 (\overline{QS} +\overline{QT})，其中\cases{Q(t,0)\\ S(2,2)\\ T(1,-1)}\Rightarrow 最小值即為\overline{ST}，此時Q為\overline{ST}與x軸的交點；\\因此{t-1\over 2-1} = {0+1 \over 2+1} \Rightarrow t={4\over 3} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{P({11\over 3},{4\over 3},{1\over 3})}$$

6. 求$\lim_{n\to \infty}{\displaystyle(1^2+2^2+ \cdots +n^2)(1^5+2^5+ \cdots +n^5) \over \displaystyle(1^3+2^3+ \cdots + n^3)(1^4+2^4+ \cdots +n^4)}=$？

解答： $$\lim_{n\to \infty} \cfrac{(1^2+2^2+ \cdots +n^2) (1^5+2^5 +\cdots +n^5)}{(1^3+2^3+ \cdots +n^3) (1^4+2^4 +\cdots +n^4)} \\ = \cfrac{n^2\left(({1\over n})^2+({2\over n})^2+ \cdots +({n\over n})^2\right)n^5 \left(({1\over n})^5+ ({2\over n})^5 +\cdots +({n\over n})^5) \right)} {n^3\left(({1\over n})^3+ ({2\over n})^3+ \cdots + ({n\over n})^3\right) \left(({1 \over n})^4 + ({2 \over n})^4 +\cdots + ({n\over n})^4\right)}  \\ = \cfrac{\left(\sum_{k=1}^n ({k\over n})^2\right) \left( \sum_{k=1}^n ({k\over n})^5\right)}{ \left(\sum_{k=1}^n ({k\over n})^3\right) \left( \sum_{k=1}^n ({k\over n})^4\right)} = \cfrac{\left({1\over n}\sum_{k=1}^n ({k\over n})^2\right) \left({1\over n} \sum_{k=1}^n ({k\over n})^5\right)}{ \left({1\over n}\sum_{k=1}^n ({k\over n})^3\right) \left({1\over n} \sum_{k=1}^n ({k\over n})^4\right)} \\ =\cfrac{\left(\int_0^1 x^2\;dx \right)\left(\int_0^1 x^5\;dx \right)}{\left( \int_0^1 x^3\;dx \right)\left( \int_0^1 x^4\;dx \right)} =\cfrac{{1\over 3} \times {1\over 6}}{{1\over 4}\times {1\over 5}} ={20\over 18} =\bbox[red,2pt]{10\over 9}$$

7. $\triangle ABC$中，$\angle C=135^\circ，\overline{BC}=4$，點$D$為$\overline{BC}$中點，則$\tan \angle BAD$的最大值為 _______

解答： 

$$作\overline{AE}\bot \overline{DE}及\overline{AF} \bot \overline{BF}，其中E、F均在\overleftrightarrow{AC}上，如上圖；\\\angle C=135^\circ \Rightarrow \angle ECD=45^\circ \Rightarrow \triangle ECD及\triangle FCB均為等腰直角三角形\Rightarrow \cases{\overline{CE} =\overline{EF}= \sqrt 2\\ \overline{BF}=2\sqrt 2};\\令\overline{AC}=a \Rightarrow \tan \angle BAD = \tan (\angle BAF-\angle DAE) ={\tan \angle BAF-\tan \angle DAE \over 1+\tan \angle BAF \tan \angle DAE} \\=f(a) ={{2\sqrt 2\over a+2\sqrt 2}-{\sqrt 2\over a+\sqrt 2} \over 1+{2\sqrt 2\over a+2\sqrt 2}\times {\sqrt 2\over a+\sqrt 2}} ={\sqrt 2a\over a^2+3\sqrt 2a +8}，因此f'(a)=0 \Rightarrow {-\sqrt 2a^2+8\sqrt 2\over (a^2+3\sqrt 2a +8)^2}=0 \\\Rightarrow a=2\sqrt 2 (-2\sqrt 2不合,\because a \gt 0)\Rightarrow \tan \angle BAD最大值=f(2\sqrt 2)={4\over 8+ 12+8} ={4\over 28} =\bbox[red,2pt]{1\over 7}$$

二、填充題B部分

1. 求$2016^{2019} +2018^{2019}$ 除以$2017^2$的餘數

解答： $$2016^{2019} +2018{2019} =(2017-1)^{2019} +(2017+1)^{2019} \\ =\sum_{k=0}^{2019}C^{2019}_k \left(2017^k(-1)^{2019-k} + 2017^k\right) =2\sum_{k=1}^{1010}C^{2019}_{2k-1} 2017^{2k-1} \\ \equiv 2C^{2019}_12017\mod 2017^2 \equiv 2\times 2019\times 2017 \mod 2017^2 \\\equiv 2\times (2017+2)\times 2017 \mod 2017^2 \equiv 4\times 2017 \mod 2017^2\\ =\bbox[red,2pt]{8068}$$

2. 若方程式$x^4+8x^3-2x^2 +kx-5=0$的四個實根分別為$a、b、c、d$，而方程式 ${1\over x-a} +{1\over x-b} + {1\over x-c} + {1\over x-d} =0$的實根為 $-6,-1,1$，則$k$ = _______

解答： $$f(x)=x^4+ 8x^3-2x^2+kx-5 =(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) \\ \Rightarrow f'(x)=4x^3+24x^2 -4x+k \\= (x-a)(x-b)(x-c) +(x-b)(x-c)(x-d)  + (x-a)(x-c)(x-d) + (x-a)(x-b)(x-d)\\ 而 {1\over x-a} +{1\over x-b} +{1\over x-c} +{1\over x-d} =0 ，等號兩邊同乘(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) \\ \Rightarrow (x-a)(x-b)(x-c) +(x-b)(x-c)(x-d)  + (x-a)(x-c)(x-d) + (x-a)(x-b)(x-d)=0 \\ \Rightarrow f'(x)=0的根為-6,-1,1 \Rightarrow f'(x)=4(x+6)(x+1)(x-1) \Rightarrow k=f'(0)= \bbox[red,2pt]{-24}$$

3. 當$f(t)=|t^2-(-1)|+ \sqrt{t^4-20t^2-4t+145}$有最小值時，此時的$t$值為何？

解答： 

$$f(t)=|t^2-(-1)| + \sqrt{t^4-20t^2-4t+145} =|t^2-(-1)| + \sqrt{(t^2-12)^2 +(2t-1)^2} \\= \overline{PQ} + (P至y=-1的距離)，其中\cases{P(2t,t^2)，即P在x^2=4y上\\ Q(1,12)}\qquad，見上圖；\\因此P在兩圖形\cases{x=1\\ x^2=4y}的交點上，f(t)有最小值；此時，2t=1 \Rightarrow t=\bbox[red,2pt]{1\over 2}$$

4. 設 $0\lt x\lt {\pi\over 2}$， 若 $\tan x=m$ 時，函數 $f(x)= {16\over \sin^6 x} +{81 \over \cos^6 x}$有最小值為$n$，求數對$(m,n)$ 之值

解答： $$若f(x)={16\over \sin^6 x} +{81\over \cos ^6x}，則f'(x)=0 \Rightarrow {16\cos x\over \sin^7 x} ={81\sin x\over \cos^7 x} \Rightarrow 16\cos^8 x=81 \sin^8 x \\ \Rightarrow \tan ^8x ={16\over 81} \Rightarrow \tan x= \sqrt{2\over 3} \Rightarrow \cases{\sin x = \sqrt 2/\sqrt 5\\ \cos x=\sqrt 3/\sqrt 5} \Rightarrow f(\tan^{-1} \sqrt{2\over 3}) = {16\over 8/5^3} +{81\over 27/ 5^{3}} \\ =2\cdot 5^3+3 \cdot 5^3 = 5^4=625 \Rightarrow 當\tan x= \sqrt{2\over 3}時，f(x)有最小值625，即(m,n)= \bbox[red,2pt]{(\sqrt{2\over 3},625)}$$

5. 袋中有 2 顆紅球、 2 顆黃球與 1 顆綠球。袋中每球被取出的機率相同。從袋中每次取出一球，取後不放回。若取出的球未滿三色則繼續取球；若取出的球累積到三色都至少有一顆即停止取球。則取球次數的期望值為何？

解答： $$\begin{array}{} 次數 & 排列 & 排列數 &機率  \\\hline 3& RYG & 3!& 3!\times {2\over 5}\times {2\over 4}\times {1\over 3} ={2\over 5} \\\hdashline 4 & (RRY)G & 3 & 3\times {2\over 5}\cdot {1\over 4}\cdot {2\over 3}\cdot {1\over 2}={1\over 10}\\ & (YYR)G & 3 & 3\times {2\over 5}\cdot {1\over 4}\cdot {2\over 3}\cdot {1\over 2}={1\over 10}\\ & (RRG)Y & 3 & 3\times {2\over 5}\cdot {1\over 4}\cdot {1\over 3}\cdot {2\over 2} ={1\over 10}\\ &(YYG)R & 3 & 3\times {2\over 5}\cdot {1\over 4}\cdot {1\over 3}\cdot {2\over 2} ={1\over 10}\\\hdashline 5 & (RRYY)G & {4!\over 2!2!}=6 & 6\times {2\over 5}\cdot {1\over 4}\cdot {2\over 3}\cdot {1\over 2}\cdot {1\over 1} ={1\over 5} \\\hline\end{array} \\\Rightarrow 次數的期望值=3\times {2\over 5}+4\times {4\over 10}+5\times {1\over 5}= \bbox[red,2pt]{19\over 5}$$

6. 若 $f(x)$ 為二次實係數多項式函數，且滿足 $\cases{ 1\le f(2013) \le 5\\ 3\le f(2014) \le 13 \\ 2\le f(2015) \le 8}$，則 $f(2017)$的最大值為何？

解答： $$假設f(x)=ax^2 +bx+c，因此\cases{f(2013)= a\cdot 2013^2+b \cdot 2013+c \\ f(2014) = a\cdot 2014^2 +b\cdot 2014+c\\ f(2015) = a\cdot 2015^2 + b\cdot 2015+ c \\ f(2017)=a\cdot 2017^2+ b\cdot 2017+c}；\\ 假設f(2017)=p\cdot f(2013)+q \cdot f(2014) +r \cdot f(2015) \\\Rightarrow \cases{p\cdot 2013^2 + q\cdot 2014^2 + r\cdot 2015^2 = 2017^2 \cdots(1) \\ 2013p+ 2014q +2015r=2017 \cdots(2) \\ p+q+r = 1 \cdots(3)},\\因此\cases{(1)-2013 \times (2) \Rightarrow 2014q +2015\cdot 2r=2017\cdot 4 \cdots(4) \\(2)-2013\times (3) \Rightarrow q+2r=4 \cdots(5) }；\\ 再將(4)-2014\times (5) 可得2r= 3\cdot 4=12 \Rightarrow r=6 代入(5)可得q+12=4 \Rightarrow q=-8，\\ 最後再將\cases{q=-8\\ r=6} 代入(3) \Rightarrow p-8+6=1 \Rightarrow p=3\\由於\cases{1\le f(2013) \le 5 \\ 3\le f(2014) \le 13 \\ 2\le f(2015) \le 8} \Rightarrow p(2017) \le 3\times 5-8\times \color{blue}{3}+6\times 8 = \bbox[red,2pt]{39}$$

7. 將多項式 $(a+b+c)^{2017} +(a-b-c)^{2017}$ 展開並合併同類項，試問化簡後共有幾項？

解答： $$\cases{(a+(b+C))^{2017}= \sum_{k=0}^{2017} {2017\choose k}a^{2017-k}(b+c)^{ k} \\ (a-(b+C))^{2017}= \sum_{k=0}^{2017} {2017\choose k}a^{2017-k}(-1)^{ k}(b+c)^{ k}} \\ \Rightarrow (a+(b+C))^{2017}+(a-(b+C))^{2017} = 2\sum_{k=0}^{1008} {2017\choose 2k} a^{2017-2k}(b+c)^{2k}\\ \Rightarrow 共有項數\sum_{k=0}^{1008}(2k+1) =1009\times 1 +2\times 1008\times 1009\div 2 =\bbox[red,2pt]{1018081}$$

8. 將 $(1,2,3,4,5,6,7)$ 重新排列成$(a_1,a_2,a_3,a_4, a_5,a_6,a_7)$，若重排呈現$a_1+a_2+a_3 \ge a_5+a_6+ a_7$，則稱此重排是「前重」的，例如(3,4,5,6,7,1,2)、 (7,3,1,6,5,4,2)均為「前重」的重排。依此定義能排出「前重」的重排的機率為___

解答： $$1+2+\cdots + 7 = 8\times 7\div 2=28 \Rightarrow 中間數字a_4必須是偶數，前後才會等重；\\若a_4=2，則前=後=13，例:前=(3,4,6)、後=(1,5,7)\\若a_4=4，則前=後=12，例:前=(1,5,6)、後=(2,3,7)\\若a_4=6，則前=後=11，例:前=(1,3,7)、後=(2,4,5)\\以上每種排列數均為3!\times 3!\times 2= 72，共有72\times 3=216種；\\因此前後等重的機率p={216\over 7!} ={3\over 70} \Rightarrow 不等重機率為1-p={67\over 70} \Rightarrow 前 \gt 後的機率為(1-p)/2 \\ \Rightarrow 前重的機率= p+{1-p\over 2} ={1+p\over 2} =\bbox[red,2pt]{73\over 140}$$

三、計算題

1. 請以各種不同的解題方法求點到直線距離。 題目：求點 $P(8,7)$ 到直線 $L:4x-3y+19=0$ 的距離。 說明 1：請於每種方法概述該法的主要解題結構，再列出解題過程。 說明 2： 每種方法得 3 分，本題上限 12 分。

解答： $$方法一:{|32-21+19|\over \sqrt{4^2+3^2}} =6\\ 方法二:(8,7)至(t,(4t+19)/3)的最小值\\方法三:在L上任找一點Q(0,19/3)，\overrightarrow{PQ}在L法向量上的投影長...\\方法四: 在L上任找兩異兩點Q、R，由三邊長可得\triangle PQR面積 ={1\over 2}\overline{QR}\times h，h即為P至L距離$$

2. 數列 $\langle a_n\rangle$ 滿足 $\cases{a_1=6\\ a_n= 2a_{n-1}-4n+13, n\ge 2}$，則$a_{50}$是幾位數？(已知$\log 2\approx 0.3010, \log 3\approx 0.4771, \log 7 \approx 0.8451$)

解答： $$a_n=2a_{n-1}-4n+13 \Rightarrow a_n-4n=2(a_{n-1}-4(n-1))+5 \\ \Rightarrow b_n=2b_{n-1}+5，其中\cases{b_1=a_1-4=6-4=2\\ b_n=a_n-4n,n\ge 2 }\\\Rightarrow b_{50}= 2b_{49}+5 =2(2b_{48}+5)+5 =2^{49}b_1+ 5(1+2+2^2 +\cdots +2^{48})\\ =2^{50} +5\cdot ({2^{49}-1})= 7\cdot 2^{49}-5 \\ \Rightarrow a_{50}= b_{50}+4\times 50= 7\cdot 2^{49}+150 \\\Rightarrow \log (7\cdot 2^{49}) =\log 7+ 49\times \log 2= 0.8451+ 49\times 0.301= 15.5941 \Rightarrow a_{50}是\bbox[red,2pt]{16}位數$$

3. 空間座標中，聯立不等式 $\cases{x^2+y^2 \le 1\\ y^2+z^2 \le 1}$ 的所有點所形成的體積為何？

解答： $$兩個圓柱體的交集稱為牟合方蓋，其體積公式為{16\over 3}R^3，R=1代入為\bbox[red,2pt]{16\over 3}$$

4. 證明： ${1\over 15} \lt \cfrac{C^{100}_{50}}{ 2^{100}}\lt {1\over 10}$

解答： $$p=\cfrac{C^{100}_{50}}{2^{100}} =\cfrac{100\cdot 99\cdot 98\cdots 1}{\left((50\cdot 2)(49\cdot 2)(48\cdots 2)\cdots (1\cdot 2)\right)^2 } = \cfrac{100\cdot 99\cdot 98\cdots 1}{\left(100\cdot 98\cdot 96\cdots   2\right)^2 } = \cfrac{99\cdot 97\cdot 95\cdots 1}{ 100\cdot 98\cdot 96\cdots   2 } \\並令q= \cfrac{100\cdot 98\cdot 96\cdots 2}{101\cdot 99 \cdot 97 \cdots 1}及r=\cfrac{98\cdot 96\cdot 94\cdots 2}{99\cdot 97\cdot 95 \cdots 1}， 則pq={1\over 101},pr ={1\over 100}\\由於p \lt q \Rightarrow p^2 \lt pq = {1\over 101} \lt {1\over 100} \Rightarrow p^2 <{1\over 100}  \Rightarrow p < {1\over 10} \cdots(1)\\ 又p=\cfrac{99\cdot 97\cdot 95\cdots 1}{ 100\cdot 98\cdot 96\cdots   2 }={1\over 2}\times \cfrac{99\cdot 97\cdot 95\cdots 1}{ 100\cdot 98\cdot 96\cdots   4 } \gt {1\over 2}\times \cfrac{98\cdot 96\cdot 94\cdots 2}{99\cdot 97\cdot 95 \cdots 1} ={1\over 2}r \\ \Rightarrow p^2 \gt {1\over 2}pr= {1\over 200} \gt {1\over 225} \Rightarrow p \gt {1\over \sqrt {225}}={1\over 15} \cdots(2) \\ 由(1)及(2)可知: \bbox[red,2pt]{{1\over 15}\lt p\lt {1\over 10}}$$