臺中市立文華高級中等學校106學年度第2次教師甄選
一、填充題
解答:f(x)=(x2+2x+3)(x2+2x−2)+5x2+10x+4=(x2+2x)2+(x2+2x)−6+5(x2+2x)+4=(x2+2x)2+6(x2+2x)−2⇒f′(x)=2(x2+2x)(2x+2)+6(2x+2)因此f′(x)=0⇒x=−1⇒f(−1)=1−6−2=−7⇒(α,m)=(−1,−7)解答:log2x+logx8−6=0⇒logxlog2+3log2logx−6=0⇒(logx)2−6log2(logx)+3(log2)2=0⇒{logα+logβ=6log2logαlogβ=3(log2)2⇒(logα)2+(logβ)2=(logα+logβ)2−2logαlogβ=30(log2)2⇒logαβ+logβα=logβlogα+logαlogβ=(logα)2+(logβ)2logαlogβ=30(log2)23(log2)2=10
解答:logB=I+f,其中I是首數,f是尾數⇒logA=(I−1)+(f+log5)⇒A=10I+f+log5−1=B10log5−1=B×510=B2⇒A−B+152=−B2+152=0⇒B=15⇒A=152⇒A+B=152+15=452
解答:(m2+1)x2−4mx+2=0⇒x=2m±√2m2−2m2+1⇒{α=2m+√2m2−2m2+1β=2m−√2m2−2m2+1⇒{α−3β=−4m+4√2m2−2m2+12αβ=4m2+1;由題意知:2αβ=α−3β⇒−m+√2m2−2=1⇒2m2−2=(m+1)2=m2+2m+1⇒m2−2m−3=0⇒m=3(m=−1⇒2x2+4x+2=0⇒x=−1,違反正根)
解答:(1+2x)n=n∑k=0Cnk2kxk⇒x3的係數為Cn323=4n(n−1)(n−2)3⇒1an=34⋅1n(n−1)(n−2)=38(1(n−1)(n−2)−1n(n−1))⇒100∑k=31an=38(12⋅1−13⋅2+13⋅2−14⋅3+⋯+199⋅98−1100⋅99)=38(12−19900)=38⋅49499900=494926400
解答:{全塗:34+3=84一區不塗:4×32×4=144相鄰二區不塗:4×3×4=48對面二區不塗:42×2=32⇒共有84+144+48+32=308種塗法
解答:x+y+z+w=20,1≤x,y,z,w≤6⇒x+y+z+w=16,0≤x,y,z,w≤5(x,y,z,w)排列數(5,5,5,1)4!/3!=4(5,5,4,2)4!/2=12(5,5,3,3)4!/(2!2!)=6(5,4,4,3)4!/2!=12(4,4,4,4)1⇒共有4+12+6+12+1=35種買法
解答:任取5數,a1−a5,滿足{a3=6(a1+⋯+a5)÷5=6a1a2a3a4a5126101113691114681191023681191015671181024671181025671089346710893567945678,共有16組數字,則中位數為6且平均數也為6中位數為6=16C52×C52=425
解答:f(x)=|x+22220172x+2018201920172201823x+20192|⇒f(x)的x3係數為6,則abc=−f(0)6;而f(0)=|222201720182019201722018220192|=2|111201720182019201722018220192|=2|111012040358072|=2|11−1010040352|=2(2−0)=4⇒abc=−46=−23註:原題行列式最後一個元素3x+2019應修訂為3x+20192,才能與公布之答案對應
解答:y=3sin2x+4√3sinxcosx−cos2x=3−4cos2x+2√3sin(2x)=3−2(cos(2x)+1)+2√3sin(2x)=2√3sin(2x)−2cos(2x)+1=4(√32sin(2x)−12cos(2x))+1=4sin(2x−π6)+1⇒當2x−π6=3π2,即x=56π時y有最小值−4+1=−3;因此(a,m)=(56,−3)
解答:
sinθ=45⇒cosθ=35⇒cos2θ=cos2θ−sin2θ=−725假設∠POX=α,則{∠XOP1=α,其中P1為P以¯OX的對稱點∠P2OY=θ−α,其中P2為P以¯OY的對稱點;因此∠P1OP2=(θ−α)+θ+α=2θ⇒cos∠P1OP2=102+102−¯P1P222×10×10⇒¯P1P2=10√2−2cos2θ=10√2+1425=10√6425=16△PQR周長=¯PR+¯PQ+¯QR=¯P2R+¯P1Q+¯QR=¯P1P2=16解答:
圓C:(x−7)2+(y+4)2=5⇒{圓心O(7,−4)半徑r=√5;A(5,2)與y軸的對稱點A′,則A′=(−5,2),¯A′O與y軸的交點即為P、與圓C的交點即為Q;因此¯PA+¯PQ=¯PA′+¯PQ=¯A′O−r=√122+62−√5=5√5
解答:
{⇀PA+2⇀PB+3⇀PC=⇀CA=⇀CP+⇀PA⇀QA+2⇀QB+3⇀QC=2⇀AB=2⇀AQ+2⇀QB⇀RA+2⇀RB+3⇀RC=3⇀BC=3⇀BR+3⇀RC⇒{⇀PB+2⇀PC=0⇀QA+⇀QC=0⇀RA+5⇀RB=0⇒{|⇀PB|=2|⇀PC||⇀QA|=|⇀QC||⇀RA|=5|⇀RB|⇒{△AQR:△ABC=1⋅5:2⋅6=5:12△BPR:△ABC=1⋅2:6⋅3=1:9△CPQ:△ABC=1⋅1:2⋅3=1:6⇒△ABC△PQR=11−512−19−16=11−2536=3611解答:
{0≤α≤π/3π/2≤β≤3π/4⇒{0≤sinα≤√3/2−1/√2≤cosβ≤0因此{x=5sinα+cosβy=4cosβ+sinα⇒{sinα=(4x−y)/19cosβ=(5y−x)/19⇒{0≤(4x−y)/19≤√3/2−1/√2≤(5y−x)/19≤0令{L1:4x=yL2:4x−y=19√3/2L3:x=5yL4:5y−x=−19/√2⇒{d=dist(L1,L2)=19√32√17L1,L2與L3,L4分別交於P(0,0),Q(−1/√2),R,S⇒¯PQ=√17√2⇒PQRS面積=dׯPQ=19√32√17×√17√2=19√64解答:

邊長為1的正六邊形,任取3頂點的三角形面積有三種尺寸,如上圖;{面積為√3/4的有6個面積為√3/2的有12個面積為3√3/4的有2個⇒期望值√34×620+√32×1220+3√34×220=920√3
解答:f(x)=x4−2x3+3x−(∫x2(3t3−7t2+5t−1)dt)−6⇒{f(2)=16−16+6−0−6=0f′(x)=4x3−6x2+3−(3x3−7x2+5x−1)⇒f′(2)=11−(5)=6limh→0f(2+3h)4h=limh→0f(2+3h)−f(2)4h=limh→034⋅f(2+3h)−f(2)3h=34f′(2)=34⋅6=92
解答:f(x)=√3−x+√5x−4⇒f′(x)=−12√3−x+52√5x−4=5√3−x−√5x−42√3−x⋅√5x−4f′(x)=0⇒5√3−x=√5x−4⇒75−25x=5x−4⇒x=7930⇒f(7930)=√3−7930+√796−4=√1130+√556=√1130+ 5√11√30=6√11√30=√3305
解答:A=[1−5−51]=P[600−4]P−1,其中P=[11−11],P−1=[1/2−1/21/21/2]⇒An=[11−11][6n00(−4)n][1/2−1/21/21/2]=[6n(−4)n−6n(−4)n][1/2−1/21/21/2]=[(6n+(−4)n)/2(−6n+(−4)n)/2(−6n+(−4)n)/2(6n+(−4)n)/2]=[abcd]⇒b=−6n+(−4)n2
解答:¯AB=√92+122=15,令¯BP=a,則¯PA=54−15−a=39−a⇒△ABP=√s(s−a)(s−39+a)(s−15),s=54/2=27⇒△ABP=√27(27−a)(a−12)(12)令f(a)=(27−a)(a−12)=−a2+39a−324⇒f(39/2)為極大值⇒△ABP最大值=√27(27−392)(392−12)(12)=√27⋅152⋅152⋅12=18×152=135
解答:方程式a2|x|−8x2+5|x|−1對稱y軸,因此α+β=0⇒α−2β=α+2α=3α=34⇒α=14⇒a1/2−12+54=1⇒√a=14⇒a=116
解答:f(x)=x4−2x3+3x−(∫x2(3t3−7t2+5t−1)dt)−6⇒{f(2)=16−16+6−0−6=0f′(x)=4x3−6x2+3−(3x3−7x2+5x−1)⇒f′(2)=11−(5)=6limh→0f(2+3h)4h=limh→0f(2+3h)−f(2)4h=limh→034⋅f(2+3h)−f(2)3h=34f′(2)=34⋅6=92
解答:f(x)=√3−x+√5x−4⇒f′(x)=−12√3−x+52√5x−4=5√3−x−√5x−42√3−x⋅√5x−4f′(x)=0⇒5√3−x=√5x−4⇒75−25x=5x−4⇒x=7930⇒f(7930)=√3−7930+√796−4=√1130+√556=√1130+ 5√11√30=6√11√30=√3305
解答:
△ABC三邊長{¯BC=x¯AC=y¯AB=z,及邊長上的高{¯AF=5¯BE=6¯CD=10,如上圖;則x,y,z滿足題意{x=√y2−25+√z2−25y=√x2−36+√z2−36z=√x2−100+√y2−100;△ABC面積=12⋅5⋅x=12⋅6⋅y=12⋅10⋅z=k⇒{x=2k/5y=k/3z=k/5令s=(x+y+z)/2=7k/15,則△ABC面積=√s(s−x)(s−y)(x−z)=√7k15⋅k15⋅2k15⋅4k15⋅=2√14152k2=k⇒k=1522√14⇒x+2y+4z=2k5+2k3+4k5=2815k=2815⋅1522√14=15√14解答:A=[1−5−51]=P[600−4]P−1,其中P=[11−11],P−1=[1/2−1/21/21/2]⇒An=[11−11][6n00(−4)n][1/2−1/21/21/2]=[6n(−4)n−6n(−4)n][1/2−1/21/21/2]=[(6n+(−4)n)/2(−6n+(−4)n)/2(−6n+(−4)n)/2(6n+(−4)n)/2]=[abcd]⇒b=−6n+(−4)n2
解答:¯AB=√92+122=15,令¯BP=a,則¯PA=54−15−a=39−a⇒△ABP=√s(s−a)(s−39+a)(s−15),s=54/2=27⇒△ABP=√27(27−a)(a−12)(12)令f(a)=(27−a)(a−12)=−a2+39a−324⇒f(39/2)為極大值⇒△ABP最大值=√27(27−392)(392−12)(12)=√27⋅152⋅152⋅12=18×152=135
解答:方程式a2|x|−8x2+5|x|−1對稱y軸,因此α+β=0⇒α−2β=α+2α=3α=34⇒α=14⇒a1/2−12+54=1⇒√a=14⇒a=116
您好:請問第8題的第一組答案1,2,6,7,8是不是不符合?謝謝
回覆刪除把1,2,6,7,8換成4,5,6,7,8就對了,謝謝提醒!! 已修訂
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