110年基北區海大附中特招-數學詳解

基北區國立臺灣海洋大學附屬基隆海事高級中等學校

110 學年度高級中等學校特色招生

考試分發入學 數學科題本

解答： $$\cases{甲繞一圈費時480\div 2=240秒 \\乙繞一圈費時480\div 3=160秒 \\丙繞一圈費時480\div 4=120秒 } \qquad \Rightarrow 240,160,120的最小公倍數=480秒=8分鐘\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$390\text{ppm} = {390 \over 1000000}= {390\over 10^6} =390\times 10^{-6}=3.9\times 10^{-4}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$連續10個奇數，也就是公差為2的等差數列\langle a_n\rangle,其中a_n=a_1+2(n-1),n=1-10\\a_3+a_9=26 \Rightarrow (a_1+2\times 2)+ (a_1+2\times 8)=2a_1+20=26 \Rightarrow a_1=3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$15與20兩數的倍數和，其個位數一定是0或5；\\現在總金額64的個位數是4，一定是7的倍數造成的，而7\times 2=14，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$a:b:c=2:3:7 \Rightarrow \cases{a=2k\\ b=3k\\ c=7k}；\\ 又a-b+4=c-2b \Rightarrow 2k-3k+4=7k-6k \Rightarrow -k+4=k \Rightarrow k=2\Rightarrow b=3k=6\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$小淇5次考試得分為a_1,a_2,a_3,a_4,a_5，且a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=80\times 5=400\\小優5次考試得分為b_1,b_2,b_3,b_4,b_5，\\ 且b_1=a_1+10,b_2=a_1-7,b_3=a_3+10,b_4=a_4+10,b_5=a_5-8\\因此小優5次總分為400+(10-7+10+10-8)=400+15=415，平均為415\div 5=83\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$頂角為a度，且a\ge 70；三角形內角和=a+2x =180 \Rightarrow 2x \le (180-70) \Rightarrow x\le 55\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$(2,a)代入2x+3y=7 \Rightarrow 4+3a=7 \Rightarrow a=1；\\再將(2,a)=(2,1)代入3x-2y=b \Rightarrow 6-2=b \Rightarrow b=4；\\因此a+b=1+4=5，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\sqrt{114^2-64^2-50^2} =\sqrt{(114+64)(114-64)-50^2} =\sqrt{178\times 50-50^2} =\sqrt{50(178-50)} \\ =\sqrt{50\times 128} =\sqrt{25\times 2\times 128} =\sqrt{25\times 256} =\sqrt{5^2\times 16^2} =5\times 16=80，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：

$$\cases{延長\overline{CP}交\overline{AB}於D \\ 延長\overline{BP}交\overline{AC}於E}，見上圖；則\angle APD = \angle 1+\angle 4=75^\circ \Rightarrow \angle ADP=180^\circ-30^\circ-75^\circ = 75^\circ\\ \Rightarrow \cases{\angle ADP=\angle APD=75^\circ \Rightarrow \overline{AD}=\overline{AP}=\sqrt 2\\ \angle CDA=\angle CAD=75\circ \Rightarrow \overline{CA}=\overline{CD} = \overline{CP} + \overline{PD} =2+a，其中\overline{PD}=a}  \\ 因此\cases{\angle ACD=\angle DAP=30^\circ \\ \angle APD=\angle CDA=75^\circ } \Rightarrow \triangle ADP \sim \triangle CAD (AAA) \Rightarrow {\overline{AD}\over \overline{DP}}= {\overline{CA}\over \overline{AD}} \Rightarrow {\sqrt 2\over a} ={a+2\over \sqrt 2} \\ \Rightarrow a^2+2a-2=0 \Rightarrow a=\sqrt 3-1 \Rightarrow \overline{AC}=2+a=\sqrt 3+1\\ 同理，\triangle DPB \sim \triangle PCA (AAA) \Rightarrow {\overline{DP} \over \overline{PB}} ={\overline{PC}\over \overline{AC}} \Rightarrow {\sqrt 3-1\over \overline{PB}} ={2\over \sqrt 3+1} \Rightarrow \overline{PB}=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$由題意可知:\cases{\angle B= \angle 1+24^\circ\\ \angle 3=\angle 2+76^\circ}；由於ABCD為等腰梯形，因此\cases{\angle A=\angle 2+\angle 3 =\angle D\\ \angle B=\angle C}\\ \triangle ADE \Rightarrow \angle 1+\angle 2+\angle D=180^\circ \Rightarrow \angle 1+\angle 2+\angle 2+\angle 3 =\angle 1+2\angle 2 +(\angle 2+76^\circ)\\=\angle 1+3\angle 2+76^\circ =180^\circ  \Rightarrow \angle 1+3\angle 2=104^\cdots (1)\\ \overline{AD}\parallel \overline{BC} \Rightarrow \angle A+\angle B= \angle 2+\angle 3+\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle 2+(\angle 2+76^\circ)+ (\angle 1+24^\circ)=180\circ\\ \Rightarrow \angle 1+2\angle 2=80^\circ \cdots(2)\\ 由(1)及(2)可得\cases{\angle 1=32\circ\\ \angle 2=24^\circ}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：

$$只有(B)符合原圖有兩個「T」交接處(紅圈圈)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$\cases{\cases{ab \lt ac\\ ab^2\lt abc} \Rightarrow b\gt 0 \\ \cases{ab \gt bc\\ a^2b\lt abc} \Rightarrow a\lt 0} \Rightarrow ab \lt 0又ab \gt bc \Rightarrow bc \lt 0 \Rightarrow c \lt 0(因為b\gt 0)\\因此我們有\cases{a,c \lt 0\\ b\gt 0} \Rightarrow b最大，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$移3步，每步不是左就是右，只有2種可能，因此3步有2^3=8種可能；\\移3步走到灰格子內的走法:左\to左\to右，左\to右\to左，右\to左\to左，只有3種走法；\\因此機率為{3\over 8}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{\angle B=90^\circ \\\overline{AB}=5-1=4\\ \overline{BC}=5} \Rightarrow \overline{AC}^2=5^2 +4^2=41 \Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{41} =\overline{AC'} \\ \Rightarrow \overline{OC'}=\overline{AC'}-\overline{OA}=\sqrt{41}-1 \Rightarrow a=1-\sqrt{41}\\ \cases{6.5^2=42.25\\6^2=36} \Rightarrow 6\lt \sqrt{41} \lt 6.5 \Rightarrow -6.5 \lt -\sqrt{41} \lt -6 \Rightarrow 1-6.5 \lt 1-\sqrt{41} \lt 1-6\\ \Rightarrow -5.5 \lt a\lt -5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$假設a\le b\le c，則(a+15)\div 2=17 \Rightarrow a=19；\\因此\cases{若b=c=19 \Rightarrow abc \lt 19\times 20\times 21\\ 若b=c=99\Rightarrow abc \gt 19\times 20\times 21\\ 若b=20,c=21 \Rightarrow abc=19\times 20\times 21}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：

$$對同弧的圓周角相等 \Rightarrow  \cases{\angle A=\angle C\\ \angle B=\angle D} \Rightarrow \triangle ADP \sim \triangle CBP (AAA) \Rightarrow {x\over x-6}={y+10\over y } \\ \Rightarrow xy=xy+10x-6y-60 \Rightarrow 5x-3y=30，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$條件1:小武13票\Rightarrow 其他兩人獲得40-13=27票，因此兩人之一至少得14票(當選)\\\qquad\qquad\Rightarrow 小武不會當選\\條件2:阿文19票\Rightarrow 其他兩人獲得40-19=21票，小武可能得20票(另一人得1票) \\\qquad\qquad \Rightarrow 小武可能會當選\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$令\overline{AP}=x \Rightarrow 0\le x\le 22 \Rightarrow \overline{BP}=22-\overline{AP}=22-x \Rightarrow \overline{AP}\times \overline{BP}= x(22-x)\\ =-x^2+22x=-(x^2-22x+11^2)+11^2 =-(x-11)^2+121 \Rightarrow 當x=11時，有最大值121\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$四邊形ABCD，四個內角大小為\angle A\le \angle B \le \angle C \le \angle D =(\angle A+18^\circ) \\  兩極端情形\cases{\angle B=\angle C=\angle D=\angle A+18^\circ \Rightarrow 內角和= \angle A+3(\angle A+18^\circ)=360^\circ \\ \angle B=\angle C=\angle A,\angle D=\angle A+18^\circ \Rightarrow 內角和=4\angle A+18^\circ=360^\circ} \\ \Rightarrow \cases{4\angle A =360^\circ-3\times 18^\circ = 306^\circ\\ 4\angle A=360^\circ-18^\circ =342^\circ } \Rightarrow \cases{\angle A=76.5^\circ \\ \angle A=85.5^\circ} \Rightarrow 76.5^\circ \le \angle A \le 85.5^\circ\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\cases{n=1 \Rightarrow \cases{甲=1/2\\ 乙=4/3} \Rightarrow 乙\gt 甲\\ n=4\Rightarrow \cases{甲=1/16\\ 乙=4/81} \Rightarrow 甲\gt 乙}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：

$$至少3張紙片重疊區域=矩形ABCD+矩形EFGH-正方形EQCP\\ =8\sqrt 3\times 6\sqrt 3+4\sqrt 3\times 6\sqrt 3-(2\sqrt 3)^2 =144+72-12=204，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$求\overline{AB}中點C，在\overrightarrow{CG}上找一點P，使得\overline{GP}=2\overline{CG}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$延長\overline{PC}及\overline{PB}分別交延長弦\overline{Q_2R_1}於Q及R，見上圖；\\ 弦\overline{Q_2R_1}= 弦\overline{Q_1P_2} \Rightarrow   \overline{QR_1}=\overline{QP_2} \Rightarrow \overline{QA}=\overline{QC} \Rightarrow \angle QAC =\angle QCA =57^\circ \\\Rightarrow \angle Q=180^\circ-2\times 57^\circ= 66^\circ \Rightarrow \angle R=180^\circ -\angle P-\angle Q=60^\circ；\\同理，\overline{RA}= \overline{RB} \Rightarrow \angle RAB=\angle RBA= (180^\circ-60^\circ)\div 2=60^\circ \\ \Rightarrow \angle 1=180^\circ-60^\circ-57^\circ=63^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$前年冰棒數量a \Rightarrow 去年a(1+20\%)=1.2a \Rightarrow 今年1.2a(1+200\%)=3.6a\\ \Rightarrow 今年比前年多3.6a-a=2.6a，即多2.6倍，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考，歷年特招詳解