國立中央大學附屬中壢高級中學105學年度第 1次教師甄選
一、填充題
解答:√an=2√an+1+√anan+1⇒√an√anan+1=2√an+1√anan+1+√anan+1√anan+1⇒1√an+1=21√an+1⇒bn+1=2bn+1,其中{bn=1√anb1=1√a1=1⇒bn=2bn−1+1=2(2bn−2+1)+1=22bn−2+2+1=⋯=2n−1b1+2n−2+2n−3+⋯+1=1+2+22+⋯+2n−1=2n−1⇒1√an=2n−1⇒an=1(2n−1)2=122n−2n+1+1解答:令α=x−[x],則0≤α<1;將[x]=x−α代回原式⇒4x2−20(x−α)+23=0⇒4x2−20x+23=−20α⇒4(x−52)2−2=−20α⇒−20<4(x−52)2−2≤0⇒{4(x−52)2≤2−18<4(x−52)2⇒0≤4(x−52)2≤2⇒52−1√2≤x≤52+1√2⇒[x]=1,2,3將[x]值代回原式⇒{[x]=1[x]=2[x]=3⇒{4x2+3=0(無解)4x2−17=04x2−37=0⇒x=√172,√372
解答:
√x2+(mx−3m+2)2+√x2+(mx−3m+10)2=10⇒√x2+(mx−3m−(−2))2+√x2+(mx−3m−(−10))2=10上述方程式相當於求兩圖形{直線L:y=m(x−3)橢圓Γ:√x2+(y+2)2+√x2+(y+10)2=10的交點;而Γ:{焦點F1(0,−2)焦點F2(0,−10)2a=10⇒{中心點O(0,−6)a=5b=3c=4⇒Γ:x29+(y+6)225=1依題意有兩相異實根,即交點數為2;橢圓的切線方程式:y−k=m(x−h)±√b2m2+a2,其中(h,k)為中心點⇒y+6=mx±√9m2+25經過(3,0)⇒6=3m±√9m2+25⇒9m2+25=(3m−6)2⇒m=1136,另外一根m=∞,即x=−3⇒m>1136,兩圖形有兩交點;
解答:
解答:
{A,B,C,D在同一圓上¯AB=¯BC=¯AD⇒ABCD為一等腰梯形⇒令{A(−15/2,0)B(15/2,0)圓心O(0,a),見上圖;作¯BP⊥¯CD及¯AQ⊥¯CD⇒¯CP=(¯CD−¯AB)÷2=5/2;在直角△BPC中,¯BP=√152−(5/2)2=52√35⇒C(10,52√35);圓半徑r=¯OB=¯OC⇒(152)2+a2=102+(52√35−a)2⇒a=32√35⇒r=√(152)2+a2=3√15⇒正方形A′B′C′D′面積=(2r)×(2r)=(6√15)2=540
解答:將↔AB:y=m(x−4)+1代入xy=1⇒mx(x−4)+x=1⇒mx2+(1−4m)x−1=0⇒兩根之和=4m−1m=4×2(∵兩根之平均=4)⇒m=−14⇒↔AB:x+4y=8因此xy=1上的點C(t,1/t)至↔AB的距離d=|t+4/t−8|√17≤|4−8|√17=4√1717(∵t+4t≥2√t⋅4t=4)
解答:令a=10100,則[101000010100+1]=[a100a+1]=[((a+1)−1)100a+1]=[100∑k=0C100k(a+1)k−1(−1)100−k]=[1a+1−C1001+C1002(a+1)−⋯+C100100(a+1)99]=[1a+1+很大的正整數]=很大的正整數=−C1001+C1002(a+1)−⋯+C100100(a+1)99⋯(1)由於C100m(a+1)n=C100m(Cnnan+Cnn−1an−1+⋯+Cn1a+1)=100k+C100m因此(1)=100K+(C100100−C10099+⋯+C1002−C1001+C1000)−C1000,m,n,k∈N=100K+(1+(−1))100−1=100k−1≡99mod100,K∈N⇒[101000010100+1]÷100的餘數為99
解答:limn→∞(n√1+32n+n√32n+52n+⋯+n√(2m−1)2n+(2m+1)2n)=limn→∞(32n√(13)2n+1+52n√(35)2n+1+⋯+(2m+1)2n√(2m−12m+1)2n+1)=32+52+⋯+(2m+1)2=m∑k=1(2k+1)2=4m∑k=1k2+4m∑k=1k+m∑k=11=23m(m+1)(2m+1)+2m(m+1)+m因此原式⇒limm→∞23m(m+1)(2m+1)+2m(m+1)+mm3=43
解答:
[x+12]=k,k∈Z⇒k≤x+12<k+1⇒x∈[2k−1,2k+1)⇒x介於兩個連續奇數之間;log2{log2(|x−[x+12]|)}<0⇒0<log2(|x−[x+12]|)<1⇒1<|x−[x+12]|<2⇒{1<x−[x+12]<2−2<x−[x+12]<−1⇒{x+1<[x+12]<x+2x−2<[x+12]<x−1⇒所圍區域為四條水平線(見上圖),即−4<x<−2或2<x<4,但x≠±3
解答:(a,b,c)代表3個箱子內的物品數,由於箱子相同,不計算a,b,c的排列(9,0,0)→分法=1(8,1,0)→C98=9,(7,2,0)→C97=36,(6,3,0)→C96=84,(5,4,0)→C95=126;(7,1,1)→C97=36,(6,2,1)→C96C32=252,(5,3,1)→C95C43=504,(5,2,2)→C95C42÷2=378;(4,4,1)→C94C51÷2=315,(4,3,2)→C94C53=1260;(3,3,3)→C93C63÷3!=280共有1+9+36+84+126+36+252+504+378+315+1260+280=3281種分法
解答:
解答:(a,b,c)代表3個箱子內的物品數,由於箱子相同,不計算a,b,c的排列(9,0,0)→分法=1(8,1,0)→C98=9,(7,2,0)→C97=36,(6,3,0)→C96=84,(5,4,0)→C95=126;(7,1,1)→C97=36,(6,2,1)→C96C32=252,(5,3,1)→C95C43=504,(5,2,2)→C95C42÷2=378;(4,4,1)→C94C51÷2=315,(4,3,2)→C94C53=1260;(3,3,3)→C93C63÷3!=280共有1+9+36+84+126+36+252+504+378+315+1260+280=3281種分法
解答:
△OAB:正弦定理⇒|→z|sinα=|→w|sin(π−θ)=|→w|sinθ⇒sinθ=|→w||→z|sinα=110sinα⇒sin2θ=sin2α100≤1100⇒tan2θ=sin2θcos2θ=sin2θ1−sin2θ=11−sin2θ−1≤11−1/100−1=199
二、計算題
解答:(1)x2f(x)=35x5+12ax4−13x3+2∫x0tf(t)dt兩邊微分⇒2xf(x)+x2f′(x)=3x4+2ax3−x2+2xf(x)⇒f′(x)=3x2+2ax−1⇒f(x)=x3+ax2−x+C,C為常數f(0)=0⇒C=0⇒f(x)=x3+ax2−x(2)f(x)=x3+ax2−x=0⇒x(x2+ax−1)=0⇒x=0,α,β,其中{α=−a−√a2+42β=−a+√a2+42⇒{α2+β2=(α+β)2−2αβ=a2+2α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)=−a3−3aα4+β4=(α2+β2)2−2α2β2=(a2+2)2−2=a4+4a2+2⇒S(a)=∫0αf(x)dx−∫β0f(x)dx=[14x4+13ax3−12x2]|0α−[14x4+13ax3−12x2]|β0=−14α4−13aα3+12α2−14β4−13aβ3+12β2=−14(α4+β4)−13a(α3+β3)+12(α2+β2)=−14(a4+4a2+2)−13a(−a3−3a)+12(a2+2)=112a4+12a2+123S′(a)=0⇒13a3+a=0⇒a(a2+3)=0⇒當a=0時,S(a)有最小值S(0)=12
解答:ω=cos2π7+isin2π7⇒ω7=1(2−ω)(2−ω3)(2−ω5)=(4−2ω−2ω3+ω4)(2−ω5)=8−2ω−ω2−4ω3+2ω4−4ω5+2ω6⇒實部=8−2cos2π7−cos4π7−4cos6π7+2cos8π7−4cos10π7+2cos12π7=8−2cos2π7−cos4π7+4cosπ7−2cosπ7−4cos4π7+2cos2π7=8+2cosπ7−5cos4π7⇒虛部=−2sin2π7−sin4π7−4sin6π7+2sin8π7−4sin10π7+2sin12π7=−2sin2π7−sin4π7−4sinπ7−2sinπ7+4sin4π7−2sin2π7=−6sinπ7−4sin2π7+3sin4π7因此欲求之解為8+2cosπ7−5cos4π7+i(−6sinπ7−4sin2π7+3sin4π7)
解答:ω=cos2π7+isin2π7⇒ω7=1(2−ω)(2−ω3)(2−ω5)=(4−2ω−2ω3+ω4)(2−ω5)=8−2ω−ω2−4ω3+2ω4−4ω5+2ω6⇒實部=8−2cos2π7−cos4π7−4cos6π7+2cos8π7−4cos10π7+2cos12π7=8−2cos2π7−cos4π7+4cosπ7−2cosπ7−4cos4π7+2cos2π7=8+2cosπ7−5cos4π7⇒虛部=−2sin2π7−sin4π7−4sin6π7+2sin8π7−4sin10π7+2sin12π7=−2sin2π7−sin4π7−4sinπ7−2sinπ7+4sin4π7−2sin2π7=−6sinπ7−4sin2π7+3sin4π7因此欲求之解為8+2cosπ7−5cos4π7+i(−6sinπ7−4sin2π7+3sin4π7)
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解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
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